安徽省黄山市徽州区第一中学2023-2024学年高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

安徽省黄山市徽州区第一中学2023-2024学年高二数学第一学期期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（）A.4 B.8C.16 D.322．在平行六面体中，，，，则（）A. B.5C. D.33．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率A. B.C. D.4．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.5．设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．在等差数列中，，，则数列的公差为（）A.1 B.2C.3 D.48．已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，设以为对角线的椭圆内接平行四边形的一组邻边斜率分别为，则（）A.1 B.C. D.9．在中，角所对的边分别为，，，则外接圆的面积是（）A. B.C. D.10．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为（）A. B.C. D.11．下列说法中正确的是A.命题“若，则”的逆命题为真命题B.若为假命题，则均为假命题C.若为假命题，则为真命题D.命题“若两个平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题.12．下列双曲线中，以为一个焦点，以为一个顶点的双曲线方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高二被抽取的人数为__.14．动直线，恒过的定点是________15．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积为_________________16．如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，E为PD的中点.（1）证明：PB∥面AEC；（2）设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求点A到平面PBC的距离.18．（12分）已知函数.（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.19．（12分）已知圆：，直线：．圆与圆关于直线对称（1）求圆的方程；（2）点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、．求四边形面积的取值范围20．（12分）已知点是椭圆上的一点，且椭圆的离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）两动点在椭圆上，总满足直线与的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值.21．（12分）记数列的前n项和为，已知点在函数的图像上（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前9项和22．（10分）为让“双减”工作落实到位，某中学积极响应上级号召，全面推进中小学生课后延时服务，推行课后服务“”模式，开展了内容丰富、形式多样、有利于学生身心成长的活动.该中学初一共有700名学生其中男生400名、女生300名.为让课后服务更受欢迎，该校准备推行体育类与艺术类两大类活动于2021年9月在初一学生中进行了问卷调查.（1）调查结果显示：有的男学生和的女学生愿意参加体育类活动，其他男学生与女学生都不愿意参加体育类活动，请完成下边列联表.并判断是否有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关？愿意参加体育活动情况性别愿意参加体育类活动不愿意参加体育类活动合计男学生女学生合计（2）在开展了两个月活动课后，为了了解学生的活动课情况，在初一年级学生中按男女比例分层抽取7名学生调查情况，并从这7名学生中随机选择3名学生进行展示，用X表示选出进行展示的3名学生中女学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635参考公式：，其中.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2、B【解析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.【详解】解：，所以，所以，故选：B.3、C【解析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件则；本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.4、C【解析】作出辅助线，找到异面直线与所成角，进而利用余弦定理及勾股定理求出各边长，最后利用余弦定理求出余弦值.【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为，由勾股定理得：，，∴故选：C5、A【解析】计算出复数即可得出结果.【详解】由于，对应的点的坐标为，在第一象限，故选：A.6、C【解析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.【详解】若是严格递增数列，显然，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”必要条件；对任意的正整数n都成立，所以中不可能同时含正项和负项，，即，或，即，当时，有，即，是严格递增数列，当时，有，即，是严格递增数列，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”充分条件故选：C7、B【解析】将已知条件转化为的形式，由此求得.【详解】在等差数列中，设公差为d，由，，得，解得.故选：B8、C【解析】根据椭圆的对称性和平行四边形的性质进行求解即可.【详解】是椭圆上关于原点对称两点，所以不妨设，即，因为平行四边形也是中心对称图形，所以也是椭圆上关于原点对称的两点，所以不妨设，即，，得：，即，故选：C9、B【解析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.【详解】因为，所以，由余弦定理得，，所以，设外接圆的半径为，由正统定理得，，所以，所以外接圆的面积是.故选：B.10、D【解析】由复数除法求得后可得其共轭复数【详解】由题意，∴故选：D11、D【解析】A中，利用四种命题的的真假判断即可；B、C中，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题；D中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性【详解】对于A，命题“若，则”的逆命题是：若，则；因为也成立.所以A不正确；对于B，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题，所以B错误；C错误；对于D，“平面向量满足”，则不共线的否命题是，若“平面向量满足”，则共线；由知：，一定有，，所以共线，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题12、C【解析】设出双曲线方程，根据题意，求得，即可选择.【详解】因为双曲线的一个焦点是，故可设双曲线方程为，且；又为一个顶点，故可得，解得，则双曲线方程为：.故选：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用分层抽样可求得的值，再利用分层抽样可求得高二被抽取的人数.【详解】高一年级抽取的人数为：人，则，则高二被抽取的人数，故答案为：.14、【解析】将直线方程转化为，从而可得，即可得到结果.【详解】∵，∴∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直线恒过定点（2，2）故答案为：15、【解析】由已知设出，，，分别在中和在中运用余弦定理表示，得到关于x与y的关系式，再在中运用勾股定理得到关于x与y的又一关系式，联立可解得x，y，从而分析出正三棱锥是，，两两垂直的正三棱锥，所以三棱锥的外接球就是以为棱的正方体的外接球，再通过正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径，再求出球的体积.【详解】在中，设，，，,，因为点，点分别是，的中点，所以，，在中，，在中，，整理得，因为是边长为的正三角形，所以，又因为，所以，由，解得，所以又因为是边长为的正三角形，所以，所以，所以，，两两垂直，则球为以为棱的正方体的外接球，则外接球直径为，所以球的体积为,故答案为.【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球的体积，破解关键在于熟悉正三棱锥的结构特征，运用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱锥的棱的关系，继而分析出正三棱锥的外接球是以正三棱锥中互相垂直的三条棱为棱的正方体的外接球，利用正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求解更方便快捷，属于中档题16、【解析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的垂直平分线方程，可求得点的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点的横坐标的取值范围.【详解】设直线的方程为，联立，整理可得，因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根设点、，设的中点为，则，，直线的垂直平分线的方程为，令，则.因为，所以故点的横坐标的取值范围.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)设BD交AC于点O，连结EO，根据三角形中位线证明BP∥EO即可；(2)根据三棱锥P－ABD的体积求出AB长度，过A作AH⊥BP于H，可证AH即为要求的距离，根据直角三角形等面积法即可求AH长度.【小问1详解】设BD交AC于点O，连结EO.∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点.又E为PD的中点，∴EO∥PB，又EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB∥平面AEC.【小问2详解】，又V＝，可得AB＝2.在面PAB内过点A作交于.由题设易知平面，∴故平面，由等面积法得：，∴点A到平面的距离为.18、（1）；（2）.【解析】（1）先对函数求导，再根据在处的切线斜率可得到参数的值，然后代入，求出的值，则即可得出；（2）根据函数在上是增函数，可得，即恒成立，再进行参变分离，构造函数，对进行求导分析，找出最小值，即实数的最大值【详解】解：（1）由题意，函数.故，则，由题意，知，即.又，则.，即..（2）由题意，可知，即恒成立，恒成立.设，则.令，解得.令，解得.令，解得x.在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值..，故的最大值为.【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分离方法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题19、（1）（2）【解析】（1）圆关于直线对称，半径不变，只需求出圆心对称的坐标即可.（2）将四边形面积分成两个全等的直角三角形，利用直角三角形的性质，一条直角边不变时，斜边与另外一条直角边的大小成正相关，从而得到面积的最小值与最大值.【小问1详解】由题可知的圆心为，圆的半径与之相同，圆心与之关于对称，设的圆心为，故可根据中点在对称的直线上得到①，根据斜率相乘为-1得到②，联立①②可得，所以圆心坐标为，且半径为，故的方程为【小问2详解】连接，将四边形分割成两个全等的直角三角形，所以有，四边形面积的范围可转化为MP长度的范围，在中，根据勾股定理可知，因为半径长度不变，所以最大时最大；所以最小时最小；画出如下图，当动点P移动至在时面积最小，时面积最大；设点P的坐标为，所以有，解得，所以，，所以，所以；，所以.所以20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得，从而求得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，由此求得，同理求得，从而化简求得直线的斜率为定值.【小问1详解】由题可知，解得，从而粚圆方程为.【小问2详解】证明设直线的斜率为，则，，联立直线与椭圆的方程，得，整理得，从而，于是，由题意得直线的斜率为，则，，同理可求得，于是即直线的斜率为定值.21、（1）（2）【解析】（1）利用的关系可求.（2）利用裂项相消法可求数列的前9项和【小问1详解】由题意知当时，；当时，，适合上式所以【小问2详解】则22、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）根据初一男生数和女生数，结合有的男学生和的女学生，愿意参加体育类活动求解；计算的值，再与临界值表对照下结论；（2）根据这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名由抽到女学生的