高中数学 数学试卷

第1页（共1页）2019-2020学年天津市静海一中、杨村中学、宝坻一中、大港一中等六校高一（上）期中数学试卷一、选择题：共9个小题，每小题4分，共36分.1．（4分）设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}2．（4分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（4分）若不等式ax2+2x+c＜0的解集是，则不等式cx2+2x+a≤0的解集是（）A． B．[﹣3，2] C．[﹣2，3] D．4．（4分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞05．（4分）函数的单调递增区间是（）A． B． C．[4，+∞） D．6．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（﹣4，0）∪（4，+∞） C．（﹣4，0）∪（0，4） D．（﹣4，4）7．（4分）函数f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]8．（4分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）x2m﹣3在（0，+∞）上为增函数，则m值为（）A．4 B．3 C．﹣1 D．﹣1或49．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，若对动于任意的x∈R，f（x﹣2）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.10．（5分）已知f（x）＝（x∈N），那么f（3）＝．11．（5分）已知，使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是．12．（5分）若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围．13．（5分）已知函数f（x）＝ax5+bx3+cx+8，且f（﹣3）＝6，则f（3）＝．14．（5分）正数a，b满足+＝2，若不等式a+b≥﹣3x2+（6﹣m）x+20对任意实数x∈（1，2]恒成立，则实数m的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共59分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（11分）已知函数f（x）＝﹣的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a＜x＜2a+1}（1）求A，（∁RA）∩B；（2）若A∪C＝A，求实数a的取值范围．16．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．（1）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，3]上的值域；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[1，a]上的最大值与最小值．17．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断当x∈（﹣1，1）时函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）解不等式f（t2﹣1）+f（t）＜0．18．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）＝x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？19．（12分）设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3，（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3），求2a+b的值；（2）若f（1）＝4，b＞﹣1，求+的最小值．（3）若b＝﹣a﹣3，求不等式f（x）＜﹣4x+2的解集．

2019-2020学年天津市静海一中、杨村中学、宝坻一中、大港一中等六校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共9个小题，每小题4分，共36分.1．（4分）设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B＝{2，3}，∵A＝{1，2}，∴A∪B＝{1，2，3}，∵集合U＝{0，1，2，3，4，5}，∴∁∪（A∪B）＝{0，4，5}．故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．（4分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．3．（4分）若不等式ax2+2x+c＜0的解集是，则不等式cx2+2x+a≤0的解集是（）A． B．[﹣3，2] C．[﹣2，3] D．【分析】由题意利用韦达定理求得a、c的值，解一元二次不等式，求得它的解集．【解答】解：若不等式ax2+2x+c＜0，即x2+x+＞0（a＜0）的解集是，则，解得，则不等式cx2+2x+a≤0，即2x2+2x﹣12≤0，即x2+x﹣6≤0，即（x+3）（x﹣2）≤0，∴﹣3≤x≤2，故原不等式的解集为[﹣3，2]，故选：B．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，韦达定理的应用，属于基础题．4．（4分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选：D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．5．（4分）函数的单调递增区间是（）A． B． C．[4，+∞） D．【分析】解不等式，求出函数的定义域，再根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】解：令x2﹣5x+4≥0，解得：x≥4或x≤1，而函数y＝x2﹣5x+4的对称轴是：x＝，由复合函数同增异减的原则，故函数的单调递增区间是[4，+∞），故选：C．【点评】本题考查了求函数的单调性问题，考查二次函数以及二次根式的性质，是一道基础题．6．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（﹣4，0）∪（4，+∞） C．（﹣4，0）∪（0，4） D．（﹣4，4）【分析】根据题意，设g（x）＝xf（x），分析可得g（x）为偶函数，结合函数的解析式可得当x＞0时，g（x）＝xf（x）＜0的解集，结合函数g（x）的奇偶性分析可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）＝xf（x），f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x），故函数g（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x，则当x∈（0，4）时，f（x）＜0，当x＞4时，f（x）＞0，当x＞0时，g（x）＝xf（x）＜0⇔f（x）＜0，即x∈（0，4），又由g（x）为偶函数，则当x＜0时，g（x）＞0⇒x∈（﹣4，0），综合可得：xf（x）＜0的解集（﹣4，0）∪（0，4）；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．7．（4分）函数f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【分析】由分段函数可得当x＝0时，f（0）＝a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．【解答】解：由于f（x）＝，则当x＝0时，f（0）＝a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2＝2，当且仅当x＝1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题8．（4分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）x2m﹣3在（0，+∞）上为增函数，则m值为（）A．4 B．3 C．﹣1 D．﹣1或4【分析】根据幂函数的定义令m2﹣3m﹣3＝1求得m的值，再根据f（x）的单调性求得m的值．【解答】解：幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）x2m﹣3中，令m2﹣3m﹣3＝1，解得m＝4或m＝﹣1；当m＝4时，f（x）＝x5在（0，+∞）上为增函数，当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣5在（0，+∞）上为减函数，不合题意；综上知m值为4．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．9．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，若对动于任意的x∈R，f（x﹣2）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【分析】可去绝对值号，从而画出x≥0时的函数f（x）的图象，根据奇函数的对称性画出x＜0时的f（x）的图象，结合图象，根据f（x﹣2）≤f（x）恒成立，即可求出a的范围．【解答】解：∵x≥0时，＝；根据f（x）是R上的奇函数，画出图象如下：∵任意的x∈R，f（x﹣2）≤f（x）；∴6a2≤2；解得；∴实数a的取值范围为．故选：D．【点评】考查数形结合解题的方法，图象的平移，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.10．（5分）已知f（x）＝（x∈N），那么f（3）＝2．【分析】推导出f（3）＝f（7），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）＝（x∈N），∴f（3）＝f（7）＝7﹣5＝2．故答案为：2．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（5分）已知，使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是[﹣2，2]．【分析】分段求出f（x）≥﹣1的解集即可【解答】解：当x≤0时，f（x）＝2x+3≥﹣1，解得x≥﹣2，即此时﹣2≤x≤0；当x＞0时，f（x）＝﹣（x﹣1）2≥﹣1，解得0≤x≤2，即此时0＜x≤2，综上x的取值范围是[﹣2，2]．【点评】本题考查分段函数的解集，属于基础题．12．（5分）若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围．【分析】根据题意可得出，不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集为R，从而讨论a：a＝0时，3＞0，满足题意；a≠0时，，解出a的范围即可．【解答】解：∵的定义域为R，∴不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集为R，∴①a＝0时，3＞0恒成立，满足题意；②a≠0时，，解得，∴实数a的取值范围为．故答案为：．【点评】考查函数定义域的定义及求法，一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为R时，a，b，c所满足的条件，以及分类讨论的思想．13．（5分）已知函数f（x）＝ax5+bx3+cx+8，且f（﹣3）＝6，则f（3）＝10．【分析】根据f（﹣3）＝6即可求出a•35+b•33+c•3＝2，从而可求出f（3）＝10．【解答】解：∵f（﹣3）＝6，∴﹣a•35﹣b•33﹣c•3+8＝6，∴a•35+b•33+c•3＝2，∴f（3）＝a•35+b•33+c•3+8＝2+8＝10．故答案为：10．【点评】考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法．14．（5分）正数a，b满足+＝2，若不等式a+b≥﹣3x2+（6﹣m）x+20对任意实数x∈（1，2]恒成立，则实数m的取值范围{m|m≥15}．【分析】由a+b＝（a+b）（）＝[10+]，利用基本不等式可求a+b的最小值8，然后由已知可知8≥﹣3x2+（6﹣m）x+20对任意实数x∈（1，2]恒成立，分离可得m﹣6＝x，结合函数的单调性可求．【解答】解：∵正数a，b满足+＝2，∴a+b＝（a+b）（）＝[10+]＝8，当且仅当且+＝2即a＝2，b＝6时取等号，∵a+b≥﹣3x2+（6﹣m）x+20对任意实数x∈（1，2]恒成立，∴8≥﹣3x2+（6﹣m）x+20，∴3x2﹣（6﹣m）x+12≤0对任意实数x∈（1，2]恒成立，∴m﹣6＝x对任意实数x∈（1，2]恒成立，而y＝x在∈（1，2]上单调递减，故0＜y＜9∴m﹣6≥9即m≥15故答案为：{m|m≥15}．【点评】本题主要考查了利用1的代换配凑基本不等式的应用条件求解最值，及不等式的恒成立与最值求解相互转化，体现了转化思想的应用．三、解答题：本大题共5小题，共59分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（11分）已知函数f（x）＝﹣的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a＜x＜2a+1}（1）求A，（∁RA）∩B；（2）若A∪C＝A，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数f（x）的定义域A，结合集合B＝{x|1＜x＜8}，进而结合集合交集，并集，补集的定义，可得答案．（2）若A∪C＝A，则C⊆A，分C＝∅和C≠∅，两种情况讨论满足条件的实数a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）由得2≤x＜6，∴A＝{x|2≤x＜6}，又∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴（∁RA）∩B＝{x|x＜2或x≥6}∩{x|1＜x＜8}＝{x|1＜x＜2或6≤x＜8}…（5分）（2）由已知得C⊆A，①若C＝∅，则a≥2a+1，∴a≤﹣1，符合题意②若C≠∅，则，解得；综上，实数a的取值范围为a≤﹣1或…（10分）【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．16．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．（1）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，3]上的值域；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[1，a]上的最大值与最小值．【分析】（1）根据题意，求出二次函数f（x）的对称轴，结合偶函数的性质可得a的值，即可得f（x）的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案；（2）根据题意，由二次函数的单调性分析a的范围，即可得x∈[1，a﹣1]时，函数f（x）递减，x∈[a﹣1，a]时，函数f（x）递增，据此分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4为二次函数，其对称轴为x＝a﹣1，若函数f（x）为偶函数，则有a﹣1＝0，即a＝1，所以f（x）＝x2+4，又由x∈[﹣1，3]，则4≤f（x）≤13，即值域为[4，13]；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，则函数图象的对称轴为x＝a﹣1≥2，即a≥3，又由1＜a﹣1＜a，所以x∈[1，a﹣1]时，函数f（x）递减，x∈[a﹣1，a]时，函数f（x）递增，故当x∈[1，a]时，比较f（1）与f（a）的大小，f（1）＝7﹣2a，f（a）＝﹣a2+2a+4，f（1）﹣f（a）＝（7﹣2a）﹣（﹣a2+2a+4）＝a2﹣4a+3＝（a﹣2）2﹣1，由于a≥3，f（1）﹣f（a）≥0，故f（1）≥f（a），故f（x）在[1，a]上的最大值为7﹣2a．最小值为f（a﹣1）＝4﹣（a﹣1）2．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．17．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断当x∈（﹣1，1）时函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）解不等式f（t2﹣1）+f（t）＜0．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝＝0，则b＝0，又由f（）＝，则f（）＝＝，解可得a的值，即可得函数的解析式；（2）根据题意，设﹣1＜x1＜x2＜1，由作差法分析可得答案；（3）根据题意，由函数的奇偶性、单调性以及定义域分析可得原不等式等价于，解可得t的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，有f（0）＝＝0，则b＝0，又由f（）＝，则f（）＝＝，解可得a＝2；故f（x）＝，（2）f（x）在（﹣1，1）上为增函数；证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，又由﹣1＜x1＜x2＜1，则x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上为增函数；（3）根据题意，f（t2﹣1）+f（t）＜0⇒f（t2﹣1）＜﹣f（t）⇒f（t2﹣1）＜f（﹣t），又由f（x）在（﹣1，1）上为增函数，则，解可得：﹣1＜t＜0或0＜t＜，故t的取值范围为（﹣1，0）∪（0，）．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题．18．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）＝x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）＝x2+10x（万元），根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）＝51x+﹣1450，根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250＝﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）＝；（2）①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣x2+40x﹣250＝﹣（x﹣60）2+950，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，L（x）＝1200﹣