【公开课课件】6.4.3余弦定理、正弦定理1课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、6.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理 在三角形在三角形ABC中，三个角中，三个角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，怎样用怎样用a，b和和C表示表示c？那么那么如图，设如图，设,cABbCAaCB bac )()(|2babaccc babbaa 2Cbabacos|2|22 Cabbaccos2222 所以所以BaccabAbccbacos2cos2222222 同同理理可可证证ABCabc探究探究1bca余弦定理余弦定理Abccbacos2222 Baccabcos2222 Cabbaccos2222 三角形任一边的平方等于三角形任一边的平方等于其他两边平方的和其

2、他两边平方的和减去减去这两边与它们这两边与它们夹角的余弦的积的两倍夹角的余弦的积的两倍应用：已知两边和一个夹角，求第三边应用：已知两边和一个夹角，求第三边题型题型1已知两边与夹角求第三条边已知两边与夹角求第三条边._6360601cmaAcmccmbABC ，则，则，中，已知中，已知、在、在例例 606036046cos360602)360(602222 a解解析析：由由余余弦弦定定理理得得：在在ABC中，中，(1)已知已知b=8，c=3，A=60,则则a=_(2)已知已知a=7，b=8，cosC= ,则则c=_(3)已知已知a=5，c=7，tanB= , 则则b=_1413437323巩固练

3、习巩固练习由余弦定理变形得：由余弦定理变形得：bcacbA2cos222 acbcaB2cos222 abcbaC2cos222 应用：已知三条边求角度应用：已知三条边求角度思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边三角形的三边确定确定三角形的角三角形的角的的问题，怎么确定呢？问题，怎么确定呢？题型题型2已知三角形的三边求角已知三角形的三边求角._133472最最小小角角为为的的，则则，中中，若若、在在例例ABCcbaABC 6)0(233472

4、1348492cos222 CCabcbaCCabc所所以以，因因为为所所以以，所所以以最最小小角角为为解解析析：因因为为思考：勾股定理指出了直角三角形中的思考：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间三条边之间的关系，余弦定的关系，余弦定理则指出了理则指出了三角形的三条边与其中一个角三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？两个定理之间的关系吗？Acos2222bccba 222cba 探究探究2当角当角C为直角时有为直角时有c2=a2+b2，当角，当角C为锐角时，这三者的关系是什么为锐角时，这三者的关系是什么样子？钝角呢？样子？钝角呢？结论：

5、结论：当角当角C为锐角时，为锐角时，a2+b2c2，当角当角C为直角时，为直角时，a2+b2=c2，当角当角C为钝角时，为钝角时，a2+b2c2，且，且b2c2a2，且，且c2a2b2.ABC为钝角三角形为钝角三角形a2b2c2或或b2c2a2或或c2a2b2.若若sin 2Asin 2B，则，则AB或或AB .反思感悟反思感悟2 一般地，三角形的三个角一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边和它们的对边a，b，c叫叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形解三角形。.4526323三三角角形形，解解这这个个，

6、中中，、在在例例 BcaABC845cos)26(322)26()32(cos222222 Baccab解解：根根据据余余弦弦定定理理得得，22 b21)26(222)32()26(82cos22222 bcacbA又又 75)(18060)0(BACAA， 例例4、在、在ABC中，已知中，已知a=7，b=8，锐角，锐角C满足满足 ，求，求B.(精精准到准到1)1433sin C解：因为解：因为 ，且，且C为锐角。为锐角。由余弦定理，得由余弦定理，得所以所以c=31433sin C.1413)1433(1sin1cos22 CC所以所以914138726449cos2222 Cabbac利用计

7、算器可得利用计算器可得B9871732644992cos222 cabacB进而进而练习：课本练习：课本P44页第页第2题题C达标检测达标检测1、在、在ABC中，已知中，已知a2=b2+c2+bc，则，则角角A等于等于( )A.60 B.45 C.120 D.30 120212cos222AbcacbA，解解析析：由由等腰三角形等腰三角形2、在、在ABC中，若中，若a=2bcosC，则，则ABC的形状为的形状为_，解解析析：acbaabcbabCba22222222cos2 ，即即cbcbcbaa 222222ABC为等腰三角形为等腰三角形已知两边与一角已知两边与一角(非夹角非夹角)求第三条边

8、求第三条边323 .323.32 .3 .)(30333或或或或，则则，的的对对边边，若若，内内角角分分别别为为，、已已知知DCBAaBbcCBAABCcba .3230633233233cos23033222222CaaaaaBaccabBbc故故选选或或，解解得得，可可得得可可得得，由由余余弦弦定定理理可可得得，解解析析： C31_cos324 AabCBcbaCBAABC，则则，已已知知，的的对对边边分分别别为为，中中，内内角角、在在，可可得得，解解析析：由由acbabCB2332 312323243432cos222222 aaaaabcacbA所所以以5、在在ABC中，已知中，已知a=5，b=3，角，角C的余弦值是方程的余弦值是方程5x2+7x-6=0的的根，求第三边根，求第三边c的长的长解析：解析：5x2+7x-6=0可化为可化为(5x-3)(x+2)=0，舍舍去去，53cos)(25321 Cxx根据余弦定理，得根据余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC，16533523522 c4，即第三边长为，即第三边长为4.1、余弦定理及其推论：、余弦定理及其推论：1、已知两边和夹角求第三边。、已知两边和夹角求第三边。2、已知三边求三角。、已知三