九年级下册《相似三角形》全章复习测试卷(教师版)知识点+测试题详细答案

《相似》全章复习巩固【知识网络】【要点梳理】一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.注：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则=ac（b称为a、c的比例中项）．二、相似三角形相似三角形的判定:判定方法：（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【典型例题】类型一、相似图形及比例线段1.已知:a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28,求3a-2b+c的值.

【答案】

∵a:b:c=3:5:7

设a=3k,b=5k,c=7k

∵2a+3b-c=28

∴6k+15k-7k=28，∴k=2

∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12举一反三如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）

A．7B．7.5C．8D．8.5【答案】B.类型二、相似三角形2.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

(1)∠ABC=________，BC=________；

(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.【答案】(1)135°，

(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).

因为，，所以.

又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.3.在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．【答案】∵BP=3PC，Q是CD的中点，∴，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，

∴△ADQ∽△QCP.4.如图所示，在△ABC和△DBE中，若.

(1)△ABC与△DBE的周长差为10cm，求△ABC的周长；

(2)△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，求△DBE的面积．【答案】∵，

∴△ABC∽△DBE.

∴，设△ABC的周长为5kcm，△DBE的周长为3kcm，

∴，，，

∴△ABC的周长为.

(2)∵△ABC∽△DBE，∴.

设，.

∴，解得k=5，

∴.

【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．5.如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，.

(1)求y与x的函数解析式；

(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案】(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，

所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.

因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，

所以∠ABE=∠DEF.

所以△ABE∽△DEF，所以.

因为，，所以，

所以y与x的函数解析式是.

(2)，

所以当时，y有最大值，最大值为.举一反三：1、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A．B．C．D．【答案】B.2、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：25【答案】D.3、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度.【答案】（1）证明：A与C关于直线MN对称，∴ACMN，∴∠COM=90°，在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B，又∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA，（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴OC=5，△COM∽△CBA，∴，∴OM=.4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（）A． B．C． D．【答案】C；【解析】由MC＝6，NC＝，∠C＝90°得S△CMN=，再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.5、如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．

(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?

【答案】(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，

所以.

又因为AB=8，AC=6，，，

所以，即，

自变量x的取值范围为.

(2)

.

所以当时，S有最大值，且最大值为6.巩固练习（一）一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是()

A．B．C．D．2.在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为()

A．8，3B．8，6C．4，3D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是()

4.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是()A．∠APB=∠EPCB．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3

4题图5题图5.如图，在△ABC中，EF∥BC，,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9B．10C．12D．136.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题7.在□ABCD中，在上，若，则___________.

8.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE与△ABC的面积之比为_______，△CFG与△BFD的面积之比为________.

9.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.

10.在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.11.若,则的值为.12．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.13.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_________.第14题第15题14.－油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为.三、解答题15.如图，等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线上有点E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3，设AB=x，BF=y，求y关于x的函数解析式.

16.一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如图1、图2所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.

图1图217.如图，圆中两弦AB、CD相交于M，且AC=CM=MD，MB=AM=1，求此圆的直径的长.

18.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:

(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；

(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

【答案】一．选择题1．【答案】A.

【解析】考点：平行线分线段成比例.2．【答案】A.【解析】考点：相似三角形的性质.3．【答案】A【解析】考点：相似三角形的判定.4．【答案】C.5.【答案】A.【解析】求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出，把S四边形BCFE=8代入求出即可．6.【答案】B.【解析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．二．填空题7．【答案】3:5.8．【答案】2，1:4，1:6.9．【答案】1:3.【解析】∵S△AOD:S△COB=1:9，，∵△AOD与△DOC等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3，

∴S△DOC:S△BOC=1:3.10．【答案】30m.11.【答案】.【解析】设，则x=3k,y=4k,z=5k

∴.12．【答案】68°，1:2.【解析】首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果.13.【答案】10.【解析】∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴，DE=10.14.【答案】0.64m.【解析】将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，BD=0.8m，DE//BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得.三.解答题15．【解析】解：△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°，

∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠CBA=45°，

所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF，

所以△ECA∽△CFB，，3y=CA2=x2，即y=x2.16．【解析】乙加工的方法符合要求.

解：设甲加工桌面长xm，

过点C作CM⊥AB，垂足是M，与GF相交于点N，

由GF∥DE，可得三角形相似，

而后由相似三角形性质可以得到CN：CM=GF：AB，即(CM-x)：CM=x：AB.

由勾股定理可得AB=2.5m，由，可求得CM=1.2m，

故此可求得x=m；

设乙加工桌面长ym，

由FD∥BC，得到Rt△AFD∽Rt△ACB，

所以AF：AC=FD：BC，即(2-y)：2=y：1.5，解得y=，

很明显x＜y，故x2＜y2，所以乙加工的方法符合要求.17．【解析】连结BD，由∠CAM=∠BDM，∠AMC=∠DMB，△ACM∽△DBM，，

又DM=CM，CM2=AM·BM=2，CM=DM=，AC=.

又AC2+CM2=AM2，所以∠ACD=90°，

所以圆的直径为AD==.

18.【解析】(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，

当QA=AP时，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.

(2)四边形QAPC的面积=S△QAC+S△APC=(36-6t)+6t=36cm2，

在P、Q两点移动的过程中，

四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)

(3)分两种情况:

①当时△QAP∽△ABC，则，从而t=1.2，

②当时△PAQ∽△ABC，则，从而t=3.

巩固练习（二）一、填空题：1.已知，则__________2.若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是__________cm3.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE与△ABC的面积之比为：__________。4.已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c为__________cm。5.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________6.在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A、B两城市的距离是7.5厘米，那么A、B两城市的实际距离是__________千米。7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=__________8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________9.小芳的身高是1.6m，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是_________米。10.如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=_________.

11.如图，M是ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之比为_____.

12.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为__________________．13.如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则ABCD中的面积为.(用a的代数式表示)14.如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为_______________.二、选择题：1.如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________A.9：16 B.：2C.3：4 D.3：72.在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________米2A. B. C. D.3.如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是：____________4.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是__________A.16 B.14 C.16或14 D.16或95.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC6.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度()

A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A.B.C.D.2三、解答题1.如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。2.如图，△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求证：△ABC∽△CBD3.如图，BE为△ABC的外接圆O的直径，CD为△ABC的高，求证：AC·BC=BE·CD4、如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，5、如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长。6、已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．7、如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．8、如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．9、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使，然后再选点E，使，确定BC与AE的交点为D，测得米，米，米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？

10.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.

[答案]一、填空题：1、19：13 2、24 3、3；1：44、6 5、126、6007、14.4 8、9、14.410．【答案】6.4.【解析】提示：在Rt△ABC中，，

由.11．【答案】.【解析】，，

(三角形等高，面积比等于底边比)

，

阴影部分的面积与ABCD的面积之比为1：3.12．【答案】.【解析】求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解．13.【答案】12a.【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.14.【答案】15.二、选择题：1.C 2.D 3.C 4.D 5.C6.【答案】D；【解析】由题意，，由相似，，同理，.7.【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，

∵四边形EFDC与矩形AB