2024届江苏省南通市南通中学高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

2024届江苏省南通市南通中学高二数学第一学期期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.12．在四棱锥中，四边形为菱形，平面，是中点，下列叙述正确的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面3．的展开式中的系数是（）A.1792 B.C.448 D.4．若存在两个不相等的正实数x，y，使得成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.5．设双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为若以为直径的圆与直线相切，则的面积为（）A. B.C. D.6．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则（）A. B.C. D.7．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（）A.130 B.132C.140 D.1448．若函数在上为单调减函数，则的取值范围（）A. B.C. D.9．若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为A. B.C. D.10．已知四面体中，，若该四面体的外接球的球心为，则的面积为（）A. B.C. D.11．若双曲线的一个焦点为，则的值为（）A. B.C.1 D.12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（）A.1 B.C.或1 D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数解析式，则使得成立的的取值范围是___________.14．设椭圆标准方程为，则该椭圆的离心率为______15．某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理、化学、政治科目等级中达的概率分别为假设各门科目考试的结果互不影响，则该同学等级考至多有1门学科没有获得的概率为___________.16．已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，则椭圆的方程为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若在上单调递减，求实数a的取值范围（2）若是方程的两个不相等的实数根，证明：18．（12分）已知抛物线的焦点为F，其中P为E的准线上一点，O是坐标原点，且（1）求抛物线E的方程；（2）过的直线与E交于C，D两点，在x轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由19．（12分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.20．（12分）在直三棱柱中，、、、分别为中点，.（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值21．（12分）已知等比数列的公比为，前项和为，，，（1）求（2）在平面直角坐标系中，设点，直线的斜率为，且，求数列的通项公式22．（10分）已知关于x的不等式，.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】计算后，根据判断框直接判断即可得解.【详解】输入，计算，判断为否，计算，输出.故选：B.2、D【解析】利用反证法可判断A选项；利用面面垂直的性质可判断BC选项；利用面面垂直的判定可判断D选项.【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则，平面，平面，平面，若平面，因为，则平面平面，事实上，平面与平面相交，假设不成立，A错；对于B选项，过点在平面内作，垂足为点，平面，平面，则，，，平面，而过作平面的垂线，有且只有一条，故与平面不垂直，B错；对于C选项，过点在平面内作，垂足为点，因为平面，平面，则，，，则平面，若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，因为平面平面，平面平面，平面，平面，而过点作平面的垂线，有且只有一条，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四边形为菱形，、不一定垂直，C错；对于D选项，因为四边形为菱形，则，平面，平面，，，平面，因为平面，因此，平面平面平面，D对.故选：D.3、D【解析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】的展开式中，含的项为.所以的系数是.故选：D4、D【解析】将给定等式变形并构造函数，由函数的图象与垂直于y轴的直线有两个公共点推理作答.【详解】因，令，则存在两个不相等的正实数x，y，使得，即存在垂直于y轴的直线与函数的图象有两个公共点，，，而，当时，，函数在上单调递增，则垂直于y轴的直线与函数的图象最多只有1个公共点，不符合要求，当时，由得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，，令，，令，则，即在上单调递增，，即，在上单调递增，则有当时，，，而函数在上单调递增，取，则，而，因此，存在垂直于y轴的直线()，与函数的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：涉及双变量的等式或不等式问题，把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.5、C【解析】据三角形中位线可得；再由双曲线的定义求出，进而求出的面积【详解】双曲线的方程为：，，设以为直径的圆与直线相切与点，则，且，，∥.又为的中点，，又，，的面积为：.故选:C6、A【解析】根据黄金双曲线的定义直接列方程求解【详解】双曲线中的，所以离心率，因为双曲线是黄金双曲线，所以，两边平方得，解得或（舍去），故选：A7、A【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A8、A【解析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，则，当时，在上单调递减，在上单调递减，所以，，故.故选：A.9、A【解析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后求出直线的方向向量和平面的法向量，借助向量的运算求出线面角的正弦值【详解】取AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设三棱柱的棱长为2，则，∴设为平面的一个法向量，由故令，得设直线AD与平面所成角为，则，所以直线AD与平面所成角的正弦值为故选A【点睛】空间向量的引入为解决立体几何问题提供了较好的方法，解题时首先要建立适当的坐标系，得到相关点的坐标后借助向量的运算，将空间图形的位置关系或数量关系转化为向量的运算处理．在解决空间角的问题时，首先求出向量夹角的余弦值，然后再转化为所求的空间角．解题时要注意向量的夹角和空间角之间的联系和区别，避免出现错误10、C【解析】根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可.【详解】由图设点为中点，连接，由，所以，面，则面，且，所以球心面，所以平面与球面的截面为大圆，延长线与此大圆交于点.在三角形中，由，所以，由正弦定理知：三角形的外接圆半径为，设三角形的外接圆圆心为点，则面，有，则，设的外接圆圆心为点，则面，由正弦定理知：三角形PAB的外接圆半径为，所以，又三角形中，，所以为的角平分线，则，在直角三角形OMD中，，在直角三角形OED中，，在三角形中，取中点，由，所以，故选：C.【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键.11、B【解析】由题意可知双曲线的焦点在轴，从而可得，再列方程可求得结果【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以，，所以，解得，故选：B12、B【解析】利用定义法进行判断.【详解】把代入，得：，解得：或.当时，可化为：，解得：，此时“”是“”的充要条件，应舍去；当时，可化为：，解得：或，此时“”是“”的充分不必要条件.故.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意先判断函数为偶函数，再利用的导函数判断在上单调递增，根据偶函数的对称性得上单调递减.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【详解】，，为偶函数，当时，，故函数在上单调递增.为偶函数，在上单调递减.要使成立，即.故答案为：.14、##【解析】求出、的值，即可求得椭圆的离心率.【详解】在椭圆中，，，则，因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.15、【解析】考虑3门或者2门两种情况，计算概率得到答案.【详解】.故答案为：.16、##【解析】将代入椭圆的方程，可得出，可得出关于的等式，求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程.【详解】将代入椭圆的方程可得，可得，由已知可得，整理可得，，解得，所以，，因此，椭圆的方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）详见解析【解析】（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；（2）将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明，恒成立.【小问1详解】，，在上单调递减，在上恒成立，即，即在，设，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数的最大值是，所以；【小问2详解】若是方程两个不相等的实数根，即又2个不同实数根，且，，得，即，所以，不妨设，则，要证明，只需证明，即证明，即证明，令，，令函数，所以，所以函数在上单调递减，当时，，所以，，所以，即，即得【点睛】本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.18、（1）（2）存在；【解析】（1）设，利用向量坐标运算求出p即可；（2）设直线MC，MD的斜率分别为，，利用坐标计算恒成立，即可求解.【小问1详解】抛物线的焦点为，设，则，因为，所以，得所以抛物线E的方程为【小问2详解】假设在x轴上存在定点，使得x轴平分设直线的方程为，设点，，联立，可得∵恒成立，∴，设直线MC，MD的斜率分别为，，则由定点，使得x轴平分，则，所以把根与系数的关系代入可得，得故存在满足题意．综上所述，在x轴上存在定点，使得x轴平分19、（1）（2）【解析】（1）由条件可得，，然后可得答案；（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消元，然后算出中点的坐标，然后可得线段的垂直平分线方程，然后可得，然后可求出答案.【小问1详解】因为椭圆的一个焦点是，且离心率所以，，所以所以椭圆的方程为【小问2详解】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立可得，所以所以中点的纵坐标为，横坐标为所以线段的垂直平分线方程为令，可得当时，当时，，因为，所以综上：20、（1）见解析；（2）【解析】（1）取中点，连接，根据直棱柱的特征，易知，再由、分别为的中点，根据中位线定理，可得，得到四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明.（2）取的中点，连接，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则．，再分别求得平面和平面的一个法向量，利用面面角的向量公式求解.【详解】（1）证明：如图所示：取中点，连接，易知，、分别为的中点，∴，∴故四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，平面（2）取的中点，连接，以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：则∴，设平面的法向量为，则，即，取，得，易知平面的一个法向量为，∴，∴二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和面面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21、（1）