新教材2023-2024学年高中数学第7章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布课件新人教A版选择性必修第三册

第七章7.4.1二项分布基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

课程标准1.通过实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征.2.能用二项分布解决简单的实际问题.基础落实·必备知识全过关知识点

二项分布1.伯努利试验:我们把只包含

可能结果的试验叫做伯努利试验.

2.n重伯努利试验:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n次;

各次试验成功的概率相同(2)各次试验的结果相互独立.两个

3.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).4.二项分布的均值与方差(1)两点分布:如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)二项分布:如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).

当n=1时,即为两点分布过关自诊1.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗?提示

在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的,所以第i+1次试验的结果不受前i次结果的影响(其中i=1,2,…,n-1).2.[北师大版教材习题]设随机变量X服从二项分布B(6,),则P(X=3)=(

)A3.[北师大版教材习题]若某人每次射击命中目标的概率都为0.6,则经过3次射击,此人至少有2次命中目标的概率为(

)A4.[北师大版教材习题]设随机变量ξ~B(10,0.8),求E(ξ).解

因为ξ~B(10,0.8),所以E(ξ)=10×0.8=8.重难探究·能力素养全提升探究点一n重伯努利试验概率的求法【例1】

甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是,假设每次射击是否击中目标相互独立,甲、乙相互之间没有影响.(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;(2)若两人各射击2次,求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.变式探究

1在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.变式探究

2在本例(2)的条件下,求甲未击中目标,乙击中目标2次的概率.规律方法

n重伯努利试验概率求法的三个步骤

一判断依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是不是n重伯努利试验二分拆将复杂事件表示成若干个互斥事件的并三计算就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算变式训练1现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人参加甲游戏,掷出点数大于2的人参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率.探究点二求两点分布与二项分布的均值【例2】

某运动员投篮命中率为p=0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的均值;(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.解

(1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表.X01P0.40.6则E(X)=0.6.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则E(Y)=5×0.6=3.规律方法

常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率,则(1)两点分布E(X)=p;(2)二项分布E(X)=np.熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.变式训练2某射击队对9位运动员进行射击测试,每位运动员进行3次射击,至少命中2次则通过测试,已知每位运动员每次射击命中的概率均为,各次射击是否命中相互独立,且每位运动员本次测试是否通过相互独立,设9位运动员中有X人通过本次测试,则E(X)=

.

探究点三二项分布的应用【例3】

高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列.解

(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,规律方法

1.二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.2.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求随机变量在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.变式训练3[苏教版教材例题]设某保险公司吸收10000人参加人身意外保险,该公司规定:每人每年付给公司120元,若意外死亡,公司将赔偿10000元.如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006,那么该公司会赔本吗?解

设这10

000人中意外死亡的人数为X,依题意,随机变量X~B(10

000,0.006).于是,X的分布列为P(X=k)=0.006k(1-0.006)10

000-k.当死亡人数为X时,公司要赔偿X万元,此时公司的利润为(120-X)万元.由上述分布,公司赔本的概率为P(120-X<0)=1-P(X≤120)这说明,公司几乎不会赔本.本节要点归纳1.知识清单:(1)n重伯努利试验的概念及特征;(2)二项分布的概念及表示;(3)二项分布的均值、方差;(4)二项分布的性质.2.方法归纳:公式法,数学建模.3.常见误区:对于随机变量是否服从二项分布容易判断错误.成果验收·课堂达标检测12341.(多选题)下列事件中随机变量ξ服从二项分布的有(

)A.随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数B.某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξC.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M<N)D.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M<N)AC1234解析

对于A,由于每抛掷一枚骰子出现点数是3的倍数的概率都是相等的,且相互独立,故随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数服从二项分布,故A正确;对于B,对于某射手从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ,每次试验不是独立的,与其他各次试验结果有关,故不是二项分布,故B错误;对于C,有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用有放回抽取方法,每一次抽取中出现次品的概率都是相等的,且相互独立,故ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M<N)服从二项分布,故C正确;对于D,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出现次品的概率不一定相等,故ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M<N)不服从二项分布,故D错误.故选AC.12342.有8件产品,其中4件是次品,从中有放回地取3次(每次1件),若X表示取得次品的次数,则P(X≤2)等于(

)D12343.若随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=3,p=,则n=

,D(X)=

.

2112344.[2023重庆开州期末]某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如下:日销售量11.52天数102515频率0.2ab若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立.(1)求从这50天中随机选取的5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率;(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元,X(单位:千元)表示该种商品某两天销售利润的和,求X的分布列和数学期望.1234(2)X的可能取值为4,5,6,7,8,则P(X=4)=0.22=0.04,P(X=5)=2×0.2×0.5=0.2