2023高一数学暑假精讲精练3.2.1第1课时函数的单调性新人教A版

3．2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．题型一、定义法判断或证明函数的单调性1．根据定义证明函数在区间上单调递增.【详解】证明：，且，则====，，则，，，，即，函数在区间上单调递增.2．判断并证明在的单调性.【详解】根据函数单调性的定义：任取，所以因为，所以，所以所以原函数单调递增。3．已知函数(为常数且)，试判断函数在(－1，1)上的单调性．【详解】任取x1、x2，使得－1<x1<x2<1，则Δx＝x2－x1>0.Δy＝f(x2)－f(x1)＝，∵－1<x1<x2<1，∴x1x2＋1>0，－1<0，－1<0，∴<0，∴当a>0时，f(x2)－f(x1)<0，故此时函数f(x)在(－1，1)上是减函数，当a<0时，f(x2)－f(x1)>0，故此时f(x)在(－1，1)上是增函数．综上所述，当a>0时，f(x)在(－1，1)上为减函数，当a<0时，f(x)在(－1，1)上为增函数．题型二、求函数的单调区间1．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为.故选：B2．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为定义域为，函数在和上单调递减，故函数的单调递减区间为和；故选：A3．函数的单调递减区间为（

）A．（–∞，2]B．[2，+∞）C．[0，2]D．[0，+∞）【答案】B【详解】∵，∴函数的单调递减区间是（–∞，2]，增区间为[2，+∞），∴的单调递减区间是[2，+∞），故选：B．4．函数的严格单调___________（增/减）区间是___________.【答案】

增

和【详解】函数式可化为定义域为.①、在上任取，则，，，，函数在上单调递增；②、在上任取，则，，，，函数在上单调递增；综上所述：函数在和上是增函数.故答案为：增；和.5．函数的单调减区间是______．【答案】，【详解】去绝对值，得函数当时，函数的单调递减区间为当时，函数的单调递减区间为综上，函数

的单调递减区间为，故答案为：，6．已知函数(1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；(2)写出函数的递减区间．【详解】(1)，函数图像如下图所示：(2)由（1）中函数的图像可知：函数的递减区间为：.题型三、单调性的应用命题点1已知单调区间求参数1．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】函数的对称轴为，开口向上，依题意可得，解得，即；故选：D2．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．【答案】【详解】时，满足题意；时，，解得，综上，故答案为：．命题点2与分段函数有关的单调性问题1．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数是定义在R上的增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围为.故选：B.2．已知函数满足且，有，则实数a的取值范围是__________．（用集合或区间表示）【答案】【详解】因为对，且都有成立，所以函数在上单调递增.所以，解得.故答案为：.3．设函数则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以，，则，即，的函数图象如下所示：由函数图象可知当时且在上单调递减，所以等价于，即，解得，即；故选：A4．已知函数那么“a=0”是“函数是增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当时，，函数是增函数，故充分；当函数是增函数时，则，故不必要；故选：A命题点3根据函数的单调性解不等式1．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为.故选：C.2．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A【详解】因为在定义域上是减函数，所以由，故选：A3．已知，若，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为的定义域为,关于原点对称，且，所以是偶函数，故由可得，当时，是增函数，所以，解得，故选：B1．已知函数(1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；(2)若，求函数的最大值和最小值.【详解】(1)任取，，且则-因为，所以，所以，即，所以在区间上是减函数．(2)因为函数在区间上是减函数，所以，.2．已知函数．(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；(2)求函数在区间上的值域.【详解】(1)函数在上的为增函数，理由如下：任取，且，有∵，∴∴即∴函数在区间上单调递增(2)由（1）可知函数在区间上单调递增，∴，又∵时，，∴∴∴函数的值域为.3．下列函数在R上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误；在R上为增函数，选项B正确；在上单调递减，故选项C错误；在单调递减，在单调递减，故选项D错误.故选：B.4．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，开口向下，对称轴为，故其递增区间是；当时，，开口向上，对称轴为，在时，单调递减，综上：的单调递增区间是.故选：A.5．函数的减区间是____________．【答案】（或，两个任写一个都对）【详解】因为函数的开口向上，对称轴为，由二次函数的性质可知，函数的减区间是（或）.故答案为：（或）.6．函数的单调递减区间是________．【答案】(－∞，1)，(1，＋∞)【详解】函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为x1<x2<1，

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故答案为：(－∞，1)，(1，＋∞)7．函数的单调递增区间是______．【答案】【详解】函数的图象如图所示：由图象知：其单调递增区间是，故答案为：8．已知在为单调函数，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，故选：D9．已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题知，当或，即或时，满足题意.故选：A10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，则有，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：11．若函数，在R上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，解得．故选：B12．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因在上单调递增，在上单调递增，因此，函数在R上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C13．已知函数对于且，都有，则的取值范围为______．【答案】【详解】由题意可知，在上为单调增函数，要使在上单调递增，则，即，要使在上单调递增，则，同时，解得：，综上可知：.故答案为：14．函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f（a＋1）<f（2a），则实数a的取值范围是________．【答案】【详解】依题意.所以的取值范围是.故答案为：15．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，由可得；由可得，综上可得.故选：C.1．下列函数中，在上为减函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】A.由一次函数的性质知：在上为增函数，故错误；B.由二次函数的性质知：在的图像开口向下，对称轴为，所以函数在递增，在上递减，故错误；C.由反比例函数的性质知：在上递增，在递增，则在上为增函数，故错误；D.由知：函数在上为减函数，故正确；故选：D.2．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，单调递减，在上递减，且，解得，故选：.3．若函数是上的单调函数，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：故选：B4．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因函数是R上的增函数，则，解得，所以a的取值范围是：.故选：B5．若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数的定义域是，而函数在区间上是减函数，因函数在区间上是减函数，则有，且，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B6．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】f（x）＝＝1+，若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，则，故k≤﹣2，故选：C．7．已知函数对，都有，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为对，都有，所以在上单调递减，因为，所以，解得，即故选：A.8．“”是“函数在区间上为增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的子集，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.故选：A9．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，对称轴为，若函数在上为减函数，则，解得，所以的取值范围是，故选：C.10．已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为对任意，，都有，则函数为减函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.11．(多选)使得函数在区间上单调递增的实数a可能的取值是（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】BCD【详解】因为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得；故选：BCD12．已知,若则_____；若f（x）是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．【答案】

【详解】（1）,所以.（2）由题意知，分段函数要是减函数，必须每一段都是减函数且左边一段的最小值大于等于右边一段的最大值.所以，解得，所以.13．已知定义在[1,4]上的函数是减函数，则满足不等式的实数的取值范围为____.【答案】[－1,0]【详解】由题意，可得:.∵在定义域[1,4]上单调递减，∴，解得－1≤a≤0，∴实数a的取值范围为[－1,0].14．已知函数，则不等式的x的解集是________．【答案】【详解】画出函数的图象如图所示：所以函数在上为增函数，由得，即，解得.故答案为：.15．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】函数，由复合函数的增减性可知，若在为增函数，，，故答案为：．16．已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.【答案】【详解】不妨设，所以由可得：，所以函数在上递减，故，解得：．故答案为：．17．若函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【详解】函数在上是严格增函数，.故答案为：.18．“”是“函数在区间上为严格增函数”的______条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分非必要【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的真子集，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.故答案为：充分非必要19．已知二次函数，若任意且都有，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】不妨令，因为，所以，即，令，则，因为，所以在上单调增，，则，解得：，综上所述：实数的取值范围是，故答案为：.20．已知f(x)＝，若f(x)是R上的增函数，则实数a的范围是________．【答案】【详解】由于在上递增，所以，解得.故答案为：21．函数在上递增，则实数a的取值范围___________.【答案】【详解】当时，，在上递增，成立；当时，在上递增，成立；当时，，由对勾函数的性质得，在上递增，所以，解得，综上：，所以实数a的取值范围是.故答案为：22．已知在上为增函数，则的取值范围______.【答案】【详解】，，令，且，在上为增函数，在上为增函数，，或，的取值范围或.故答案为：23．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】由题意知，第一步函数单调递减，由复合函数同增异减可知，第二步考虑函数定义域，在恒成立，得到故答案为：.24．若是上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是_________________．【答案】，【详解】，在上为增函数，，故答案为：，25．已知函数是定义在上的增函数．则实数的取值范围为________．【答案】【详解】不妨令，其图像如下：由图可知，在和上单调递增，且当时，则，又因为是定义在上的增函数，所以，解得，从而实数的取值范围为.故答案为：.26．已知．(1)证明：在（2，+∞）单调递增；(2)解不等式：．【详解】(1)∀x1，x2∈[2，+∞)，且x1＜x2，则，∵x1，x2∈[2，+∞)，则x1x24＞0，x1x2＞0，且x1﹣x2＜0，∴0，即，∴在[2，+∞)单调递增．(2)由，即∈[2，+∞)，∵在[2，+∞)单调递增，要使，∴，即，解得，∴不等式的解集为．27．已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明．【详解】在区间上单调递增，证明：设任意的、且，则，因为、且，所以、、，，所以，即，所以在区间上单调递增.28．设函数，用单调性定义证明在上是减函数.【详解】设任意，且，则，因为且，所以函数在上是减函数.29．已知函数(1)求函数的单调区间并予以证明；(2)求函数的最值．【详解】(1)证明:函数的定义域为，,且,因为，所以，当时,,所以，故所以函数在上为增函数当时，，所以故所以函数在上为减函数同理可得函数在上为减函数.综上所述，函数的增区间为，减区间为和.(2)由题意得，.当时,，当且仅当，即时取得等号，所