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文档简介

2023届广东佛山市石门中学高三第二学期第二次月考试卷数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,,若,则的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.42.已知实数满足约束条件,则的最小值是A. B. C.1 D.43.若复数(为虚数单位),则()A. B. C. D.4.关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值:先用计算机产生个数对,其中,都是区间上的均匀随机数,再统计,能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若,则的估计值为()A. B. C. D.5.已知点,是函数的函数图像上的任意两点,且在点处的切线与直线AB平行,则()A.,b为任意非零实数 B.,a为任意非零实数C.a、b均为任意实数 D.不存在满足条件的实数a,b6.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.17.已知是定义是上的奇函数,满足,当时,,则函数在区间上的零点个数是()A.3 B.5 C.7 D.98.已知,,则等于().A. B. C. D.9.已知在平面直角坐标系中,圆:与圆:交于,两点,若,则实数的值为()A.1 B.2 C.-1 D.-210.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.11.以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数(上一年同月)变化图表,则以下说法错误的是()(注:图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份;图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆)A.3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B.4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C.四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D.仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势12.己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.展开式中项的系数是__________14.某次足球比赛中,,,,四支球队进入了半决赛.半决赛中,对阵,对阵,获胜的两队进入决赛争夺冠军,失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.获胜概率—0.40.30.8获胜概率0.6—0.70.5获胜概率0.70.3—0.3获胜概率0.20.50.7—则队获得冠军的概率为______.15.已知实数满足(为虚数单位),则的值为_______.16.两光滑的曲线相切,那么它们在公共点处的切线方向相同.如图所示,一列圆(an>0,rn>0,n=1,2…)逐个外切,且均与曲线y=x2相切,若r1=1,则a1=___,rn=______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)记无穷数列的前项中最大值为,最小值为,令,则称是“极差数列”.(1)若,求的前项和;(2)证明:的“极差数列”仍是;(3)求证:若数列是等差数列,则数列也是等差数列.18.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的短轴长为,直线与椭圆相交于两点,线段的中点为.当与连线的斜率为时,直线的倾斜角为(1)求椭圆的标准方程;(2)若是以为直径的圆上的任意一点,求证:19.(12分)设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.20.(12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.21.(12分)平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,点.(1)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于点,曲线与曲线交于点,求的面积.22.(10分)设数列是等差数列,其前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设直线AB的方程为,代入得:,由根与系数的关系得,,从而得到,同理可得,再利用求得的值,当Q,P,M三点共线时,即可得答案.【详解】根据题意,可知抛物线的焦点为,则直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为,代入得:.由根与系数的关系得,,所以.又直线CD的方程为,同理,所以,所以.故.过点P作PM垂直于准线,M为垂足,则由抛物线的定义可得.所以,当Q,P,M三点共线时,等号成立.故选:C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意取最值的条件.2、B【解析】

作出该不等式组表示的平面区域,如下图中阴影部分所示,设,则,易知当直线经过点时,z取得最小值,由,解得,所以,所以,故选B.3、B【解析】

根据复数的除法法则计算,由共轭复数的概念写出.【详解】,,故选:B【点睛】本题主要考查了复数的除法计算,共轭复数的概念,属于容易题.4、B【解析】

先利用几何概型的概率计算公式算出,能与构成锐角三角形三边长的概率,然后再利用随机模拟方法得到,能与构成锐角三角形三边长的概率,二者概率相等即可估计出.【详解】因为,都是区间上的均匀随机数,所以有,,若,能与构成锐角三角形三边长,则,由几何概型的概率计算公式知,所以.故选:B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率,考查学生的基本计算能力,是一个中档题.5、A【解析】

求得的导函数,结合两点斜率公式和两直线平行的条件:斜率相等,化简可得,为任意非零实数.【详解】依题意,在点处的切线与直线AB平行,即有,所以,由于对任意上式都成立,可得,为非零实数.故选:A【点睛】本题考查导数的运用,求切线的斜率,考查两点的斜率公式,以及化简运算能力,属于中档题.6、A【解析】

由题意得到关于的等式,结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.7、D【解析】

根据是定义是上的奇函数,满足,可得函数的周期为3,再由奇函数的性质结合已知可得,利用周期性可得函数在区间上的零点个数.【详解】∵是定义是上的奇函数,满足,,可得,

函数的周期为3,

∵当时,,

令,则,解得或1,

又∵函数是定义域为的奇函数,

∴在区间上,有.

由,取,得,得,

∴.

又∵函数是周期为3的周期函数,

∴方程=0在区间上的解有共9个,

故选D.【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查抽象函数周期性的应用,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属于中档题.8、B【解析】

由已知条件利用诱导公式得,再利用三角函数的平方关系和象限角的符号,即可得到答案.【详解】由题意得,又,所以,结合解得,所以,故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系,属于基础题.9、D【解析】

由可得,O在AB的中垂线上,结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上,从而可求.【详解】因为,所以O在AB的中垂线上,即O在两个圆心的连线上,,,三点共线,所以,得,故选D.【点睛】本题主要考查圆的性质应用,几何性质的转化是求解的捷径.10、D【解析】

用诱导公式和二倍角公式计算.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.11、D【解析】

采用逐一验证法,根据图表,可得结果.【详解】A正确,从图表二可知,3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大B正确,从图表二可知,4月份只有北京市居民消费价格指数低于102C正确,从图表一中可知,只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大D错误,从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势故选:D【点睛】本题考查图表的认识,审清题意,细心观察,属基础题.12、B【解析】

考虑当时,有两个不同的实数解,令,则有两个不同的零点,利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.【详解】因为的图象上关于原点对称的点有2对,所以时,有两个不同的实数解.令,则在有两个不同的零点.又,当时,,故在上为增函数,在上至多一个零点,舍.当时,若,则,在上为增函数;若,则,在上为减函数;故,因为有两个不同的零点,所以,解得.又当时,且,故在上存在一个零点.又,其中.令,则,当时,,故为减函数,所以即.因为,所以在上也存在一个零点.综上,当时,有两个不同的零点.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点,一般地,较为复杂的函数的零点,必须先利用导数研究函数的单调性,再结合零点存在定理说明零点的存在性,本题属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-20【解析】

根据二项式定理的通项公式,再分情况考虑即可求解.【详解】解:展开式中项的系数:二项式由通项公式当时,项的系数是,当时,项的系数是,故的系数为;故答案为:【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,注意分情况考虑,属于基础题.14、0.18【解析】

根据表中信息,可得胜C的概率;分类讨论B或D进入决赛,再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.【详解】由表中信息可知,胜C的概率为;若B进入决赛,B胜D的概率为,则A胜B的概率为;若D进入决赛,D胜B的概率为,则A胜D的概率为;由相应的概率公式知,则A获得冠军的概率为.故答案为:0.18【点睛】本题考查了独立事件的概率应用,互斥事件的概率求法,属于基础题.15、【解析】

由虚数单位的性质结合复数相等的条件列式求得,的值,则答案可求.【详解】解:由,,,所以,得,..故答案为:.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查虚数单位的性质,属于基础题.16、【解析】

第一空:将圆与联立,利用计算即可;第二空:找到两外切的圆的圆心与半径的关系,再将与联立,得到,与结合可得为等差数列,进而可得.【详解】当r1=1时,圆,与联立消去得,则,解得;由图可知当时,①,将与联立消去得,则,整理得,代入①得,整理得,则.故答案为:;.【点睛】本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题,关键是找到圆心和半径的关系,建立递推式,由递推式求通项公式,综合性较强,是一道难度较大的题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】

(1)由是递增数列,得,由此能求出的前项和.(2)推导出,,由此能证明的“极差数列”仍是.(3)证当数列是等差数列时,设其公差为,,是一个单调递增数列,从而,,由,,,分类讨论,能证明若数列是等差数列,则数列也是等差数列.【详解】(1)解:∵无穷数列的前项中最大值为,最小值为,,,是递增数列,∴,∴的前项和.(2)证明:∵,,∴,∴,∵,∴,∴的“极差数列”仍是(3)证明:当数列是等差数列时,设其公差为,,根据,的定义,得:,,且两个不等式中至少有一个取等号,当时,必有,∴,∴是一个单调递增数列,∴,,∴,∴,∴是等差数列,当时,则必有,∴,∴是一个单调递减数列,∴,,∴,∴.∴是等差数列,当时,,∵,中必有一个为0,根据上式,一个为0,为一个必为0,∴,,∴数列是常数数列,则数列是等差数列.综上,若数列是等差数列,则数列也是等差数列.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用,考查等差数列的证明,考查数列的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.18、(1);(2)详见解析.【解析】

(1)由短轴长可知,设,,由设而不求法作差即可求得,将相应值代入即求得,椭圆方程可求;(2)考虑特殊位置,即直线与轴垂直时候,成立,当直线斜率存在时,设出直线方程,与椭圆联立,结合中点坐标公式,弦长公式,得到与的关系,将表示出来,结合基本不等式求最值,证明最后的结果【详解】解:(1)由已知,得由,两式相减,得根据已知条件有,当时,∴,即∴椭圆的标准方程为(2)当直线斜率不存在时,,不等式成立.当直线斜率存在时,设由得∴,∴由化简,得∴令,则当且仅当时取等号∴∵∴当且仅当时取等号综上,【点睛】本题为直线与椭圆的综合应用,考查了椭圆方程的求法,点差法处理多未知量问题,能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式,要求学生计算能力过关,为较难题19、(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析【解析】

(Ⅰ)求导得到,,解得答案.(Ⅱ),故,在上单调递减,在上单调递增,,设,证明函数单调递减,故,得到证明.【详解】(Ⅰ),故,,故.(Ⅱ),即,存在

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