2023-2024学年上海市宝山中学数学高二上期末经典试题含解析

2023-2024学年上海市宝山中学数学高二上期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（）A.17人 B.83人C.102人 D.115人2．若抛物线的焦点与椭圆的下焦点重合，则m的值为（）A.4 B.2C. D.3．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.4．用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（）A.在这样的六位数中，奇数共有480个B.在这样的六位数中，3、5、7、9相邻的共有120个C.在这样的六位数中，4，6不相邻的共有504个D.在这样六位数中，4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有60个5．展开式中第3项的二项式系数为（）A.6 B.C.24 D.6．命题“存在，”的否定是（）A.存在， B.存在，C.对任意， D.对任意，7．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A. B.C. D.8．球O为三棱锥的外接球，和都是边长为的正三角形，平面PBC平面ABC，则球的表面积为（）A. B.C. D.9．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.10．直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（）A.99 B.131C.139 D.14112．若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线和平面，且；①若异面，则至少有一个与相交；②若垂直，则至少有一个与垂直；对于以上命题中，所有正确的序号是___________.14．已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.15．过点且与直线平行的直线的方程是______.16．已知等差数列的前n项和为，，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.（1）当，时，求中含项的系数；（2）用、表示，写出推理过程18．（12分）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出污水量x吨收取的污水处理费y元，运行程序如图所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）请写出y与x的函数关系式；（2）求排放污水150吨的污水处理费用.19．（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱（1）试确定的值，并证明你的结论；（2）求平面与平面夹角的余弦值20．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.21．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，△AF1F2的周长为6，离心率等于.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(4，0)的直线l交椭圆C于M、N两点，且OM⊥ON，求直线l的方程.22．（10分）已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点.（1）若直线l的方程为，求线段AB的长；（2）若直线l经过点P(-1，0)，点A关于x轴的对称点为A'，求证：A'、F、B三点共线.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据频率计算出正确答案.【详解】一句也说不出的学生频率为，所以估计名学生中，一句也说不出的有人.故选：C2、D【解析】求出椭圆的下焦点，即抛物线的焦点，即可得解.【详解】解：椭圆的下焦点为，即为抛物线焦点，∴，∴.故选：D.3、D【解析】解：，设F1F2=2c，∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故选D4、A【解析】A选项，特殊位置优先考虑求出这样的六位数中，奇数个数；B选项，相邻问题捆绑法求解；C选项，不相邻问题插空法求解；D选项，定序问题使用倍缩法求解.【详解】用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，个位为3,5,7,9中的一位，有种，其余五个数位上的数字进行全排列，有种，综上：在这样的六位数中，奇数共有个，A正确；在这样的六位数中，3、5、7、9相邻，将3、5、7、9捆绑，有种排法，再与4,6进行全排列，故共有个，B错误；在这样的六位数中，4，6不相邻，先将3、5、7、9进行全排列，再从五个位置中任选两个将4,6排列，综上共有个，C错误；在这样的六位数中，4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有个，D错误.故选：A5、A【解析】根据二项展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意，二项式展开式中第3项，所以展开式中第3项的二项式系数为.故选：A.6、D【解析】特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可知正确答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：原命题的否定为：对任意，.故选：D7、B【解析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.故选：B.8、B【解析】取中点为T，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算.【详解】设中点为T，的外心为，的外心为，如图由和均为边长为的正三角形则和的外接圆半径为，又因为平面PBC平面ABC，所以平面，可知且，过分别作平面、平面的垂线相交于点即为三棱锥的外接球的球心，且四边形是边长为的正方形，所以外接球半径，则球的表面积为，故选：B9、A【解析】由直线斜率与方向向量的关系算出斜率，然后可得.【详解】记直线的倾斜角为，由题知，又，所以，即.故选：A10、A【解析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围.【详解】∵直线的斜率,，设直线的倾斜角为，则，解得.故选：A.11、D【解析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D12、D【解析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积.【详解】复数满足，表示复数对应的点的轨迹是以点为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②【解析】假设与都不相交得到，得到①正确，若不垂直，上取一点，作交于，得到，得到②正确，得到答案.【详解】若与都不相交，，，则，同理，故，与异面矛盾，①正确；若不垂直，上取一点，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正确.故答案为：①②.14、【解析】设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为，由抛物线定义知，，解得，不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1，又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得，点F到双曲线的渐近线的距离.故答案为：【点睛】本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.15、【解析】设出直线的方程，代入点的坐标，求出直线的方程.【详解】设过点且与直线平行的直线的方程为，将代入，则，解得：，所以直线的方程为.故答案为：16、36【解析】根据等比数列下标和性质得到，再根据等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：因，所以，所以；故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），过程见解析【解析】（1）写出函数的解析式，利用二项式定理可求得函数中含项的系数；（2）利用错位相减法化简函数的解析式，求出解析式中含项的系数，再结合组合数公式化简可得结果.【小问1详解】解：当，时，，的展开式通项为，此时，函数中含项的系数之和为.【小问2详解】解：因为，①则，②①②得，所以，，而为中含项的系数，而函数中含项的系数也可视为中含项的系数，故，且，故.18、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根据已知条件即可容易求得函数关系式；（2）根据（1）中所求函数关系式，令，求得函数值即可.【小问1详解】根据题意，得：当时，；当时，；当时，.即.【小问2详解】因为，故，故该厂应缴纳污水处理费1400元.19、（1），证明见解析（2）【解析】（1），利用线面平行的判定和性质可得答案；（2）以为原点，所在直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量由向量夹角公式可得答案.【小问1详解】.证明如下：在△中，因为点分别为的中点，所以//.又平面，平面，所以//平面.因为平面，平面平面，所以//所以//.在△中，因为点为的中点，所以点为的中点，即.【小问2详解】因为底面为正方形，所以.因为底面，所以，.如图，建立空间直角坐标系，则，，，因为分别为的中点，所以.所以，.设平面的法向量，则即令，于.又因为平面的法向量为，所以所以平面与平面夹角的余弦值为.20、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.详解：(1),.则(2)，因为“”是“”的必要不充分条件，所以且.由，得，解得.经检验，当时，成立，故实数的取值范围是.点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.21、（1）；（2）或.【解析】（1）由条件得，再结合，可求得椭圆方程；（2）由题意设直线l：x=my+4，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系的关系可得，，再由OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，从而可列出关于的方程，进而可求出的值，即可得到直线的方程【详解】（1）由条件知，解得，则故椭圆的方程为（2）显然直线l的斜率存在，且斜率不为0，设直线l：x=my+4交椭圆C于M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，当=(24m)2-4(3m2+4)×36>0时，有，，由条件OM⊥ON可得，，即x1x2+y1y2=0，从而有(