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文档简介
2023-2024学年西宁市重点中学高二数学第一学期期末调研试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知实数,满足不等式组,若,则的最小值为()A. B.C. D.2.已知直线m经过,两点,则直线m的斜率为()A.-2 B.C. D.23.在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为()A. B.C. D.4.如图,已知最底层正方体的棱长为a,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,依此方法一直继续下去,则所有这些正方体的体积之和将趋近于()A. B.C. D.5.已知命题p:∀x>2,x2>2x,命题q:∃x0∈R,ln(x02+1)<0,则下列命题是真命题的是()A.p∧ B.p∨C.p∧q D.p∨q6.数列2,0,2,0,…的通项公式可以为()A. B.C. D.7.已知等比数列{an}的前n项和为S,若,且,则S3等于()A.28 B.26C.28或-12 D.26或-108.点到直线的距离为2,则的值为()A.0 B.C.0或 D.0或9.如图,在正方体ABCD-EFGH中,P在棱BC上,BP=x,平行于BD的直线l在正方形EFGH内,点E到直线l的距离记为d,记二面角为A-l-P为θ,已知初始状态下x=0,d=0,则()A.当x增大时,θ先增大后减小 B.当x增大时,θ先减小后增大C.当d增大时,θ先增大后减小 D.当d增大时,θ先减小后增大10.设数列的前项和为,数列是公比为2的等比数列,且,则()A.255 B.257C.127 D.12911.函数区间上有()A.极大值为27,极小值为-5 B.无极大值,极小值为-5C.极大值为27,无极小值 D.无极大值,无极小值12.已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:–y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1 D.m<n且e1e2<1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设变量x,y满足约束条件则的最大值为___________.14.数列的前项和为,则_________________.15.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x()为二次函数的关系(如图),则每辆客车营运年数为________时,营运的年平均利润最大16.执行如图所示的程序框图,则输出的S=__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,平面底面ABCD,,,,,(1)证明:是直角三角形;(2)求平面PCD与平面PAB的夹角的余弦值18.(12分)在2021年“双11”网上购物节期间,某电商平台销售了一款新手机,现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”,从购买了该款手机的顾客中抽取1000人,每人在规定区间内给出一个“满意度”分数,评分在60分以下的视为“不满意”,在60分到80分之间(含60分但不含80分)的视为“基本满意”,在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按,,,,分成5组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.(2)若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人,再从这20人中随机抽取3人,记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.①写出X的分布列,并求数学期望;②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴,其他被调查者将获得50元话费补贴,请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.19.(12分)某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表,按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人,其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600(1)求z的值;(2)用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1名女生的概率;(3)用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人,经检测她们的得分如图所示,把这8人的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过5分的概率.20.(12分)已知圆的圆心在直线上,且圆经过点与点.(1)求圆的方程;(2)过点作圆的切线,求切线所在的直线的方程.21.(12分)已知函数的图象在点P(0,f(0))处的切线方程是(1)求a、b的值;(2)求函数的极值.22.(10分)已知数列为正项等比数列,满足,,数列满足(1)求数列,的通项公式;(2)若数列的前n项和为,数列满足,证明:数列的前n项和
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】作出不等式组对应的平面区域,然后根据线性规划的几何意义求得答案.【详解】作出不等式组所对应的可行域如图三角形阴影部分,平行移动直线直线,可以看到当移动过点A时,在y轴上的截距最小,联立,解得,当且仅当动直线即过点时,取得最小值为,故选:B2、A【解析】根据斜率公式求得正确答案.【详解】直线的斜率为:.故选:A3、B【解析】结合已知条件,利用对称的概念即可求解.【详解】不妨设点关于轴对称的点的坐标为,则线段垂直于轴且的中点在轴,从而点关于轴对称的点的坐标为.故选:B.4、D【解析】由已知可判断出所有这些正方体的体积构成首项为,公比为的等比数列,然后求和可得答案.【详解】最底层上面第一个正方体的棱长为,其体积为,上面第二个正方体的棱长为,其体积为,上面第三个正方体的棱长为,其体积为,所有这些正方体的体积构成首项为,公比为的等比数列,其前项和为,当,,所以所有这些正方体的体积之和将趋近于.故选:D.5、B【解析】取x=4,得出命题p是假命题,由对数的运算得出命题q是假命题,再判断选项.【详解】命题p:∀x>2,x2>2x,是假命题,例如取x=4,则42=24;命题q:∃x0∈R,ln(x02+1)<0,是假命题,∵∀x∈R,ln(x2+1)≥0.则下列命题是真命题的是.故选:B.6、D【解析】举特例排除ABC,分和讨论确定D.【详解】A.当时,,不符;B.当时,,不符;C.当时,,不符;D.当时,,当时,,符合.故选:D.7、C【解析】根据等比数列的通项公式列出方程求解,直接计算S3即可.【详解】由可得,即,所以,又,解得,所以,即,当时,,所以,当时,,所以,故选:C8、C【解析】根据点到直线的距离公式即可得出答案.【详解】解:点到直线的距离为,解得或.故选:C.9、C【解析】以F为坐标原点,FB,FG,FE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则P(2,x,0),A(2,0,2),设直线l与EF,EH交于点M、N,,求得平面AMN的法向量为,平面PMN的法向量,由空间向量的夹角公式表示出,对于A,B选项,令d=0,则,由函数的单调性可判断;对于C,D,当x=0时,则,令,利用导函数研究函数的单调性可判断.【详解】解:由题意,以F为坐标原点,FB,FG,FE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2,则P(2,x,0),A(2,0,2),设直线l与EF,EH交于点M、N,则,所以,,设平面AMN的法向量为,则,即,令,则,设平面PMN的法向量为,则,即,令,则,,对于A,B选项,令d=0,则,显示函数在是为减函数,即减小,则增大,故选项A,B错误;对于C,D,对于给定的,如图,过作,垂足为,过作,垂足为,过作,垂足为,当在下方时,,设,则对于给定的,为定值,此时设二面角为,二面角为,则二面角为,且,故,而,故即,当时,为减函数,故为增函数,当时,为增函数,故为减函数,故先增后减,故D错误.当在上方时,,则对于给定的,为定值,则有二面角为,且,因,故为增函数,故为减函数,综上,对于给定的,随的增大而减少,故选:C.10、C【解析】由题设可得,再由即可求值.【详解】由数列是公比为2的等比数列,且,∴,即,∴.故选:C.11、B【解析】求出得出的单调区间,从而可得答案.【详解】当时,,单调递减.当时,,单调递增.所以当时,取得极小值,极小值为,无极大值.故选:B12、A【解析】详解】试题分析:由题意知,即,由于m>1,n>0,可得m>n,又=,故.故选A【考点】椭圆的简单几何性质,双曲线的简单几何性质【易错点睛】计算椭圆的焦点时,要注意;计算双曲线的焦点时,要注意.否则很容易出现错误二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据线性约束条件画出可行域,把目标函数转化为,然后根据直线在轴上截距最大时即可求出答案.【详解】画出可行域,如图,由,得,由图可知,当直线过点时,有最大值,且最大值为.故答案为:.14、【解析】利用计算可得出数列的通项公式.【详解】当时,;而不适合上式,.故答案:.15、5【解析】首先根据题意得到二次函数的解析式为,再利用基本不等式求解的最大值即可.【详解】根据题意得到:抛物线的顶点为,过点,开口向下,设二次函数的解析式为,所以,解得,即,则营运的年平均利润,当且仅当,即时取等号故答案为:5.16、【解析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,即可求解得答案【详解】解:S=S+=S+,第一次循环,S=1+1﹣,k=2;第二次循环,S=1+1﹣,k=3;第三次循环,S=1+1,k=4;第四次循环,S=1,k=5;第五次循环,S=1+1,k=6,循环停止,输出;故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】(1)连接BD,在四边形ABCD中求得,在中,取得,得到,由线面垂直的性质证得平面,得到,再由线面垂直的判定定理,证得平面PBD,进而得到,即可证得是直角三角形(2)以为原点,以所在直线为x轴,过点且与平行直线为y轴,所在直线为z轴,建立的空间直角坐标系,分别求得平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.【小问1详解】证明:如图所示,连接BD,因为四边形中,可得,,,所以,,则在中,由余弦定理可得,所以,所以因为平面底面,平面底面,底面ABCD,所以平面PAB,因为平面PAB,所以,因为,,所以平面PBD因为平面PBD,所以,即是直角三角形【小问2详解】解:由(1)知平面PAB,取AB的中点O,连接PO,因为,所以,因为平面,平面底面,平面底面,所以底面,以为原点,以所在直线为x轴,过点且与平行的直线为y轴,所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,,可得,,,设平面的一个法向量为,则,令,可得,,所以,因为是平面的一个法向量,所以,即平面与平面的夹角的余弦值为18、(1)65分(2)①分布列答案见解析,数学期望:;②172.5元【解析】(1)由图可知中位数在第二组,则设中位数为,从而得,解方程可得答案,(2)①由题意可求得“不满意”与“基本满意”的用户应抽取17人,“非常满意”的用户应抽取3人,则X的可能取值分别为0,1,2,3,然后求出对应的概率,从而可求得其分布列和期望,②设这3人获得的话费补贴总额为Y,则,然后由①结合期望的性质可求得答案【小问1详解】这1000人中对该款手机“非常满意”的人数为.由频率分布直方图可得,得分的中位数为,则,解得,所以中位数为65分.【小问2详解】①若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人,则“不满意”与“基本满意”的用户应抽取人,“非常满意”的用户应抽取人,X的可能取值分别为0,1,2,3,,,,,则X的分布列为X0123P故.②设这3人获得的话费补贴总额为Y,则(元),所以元,故这3人将获得的话费补贴总额的期望为172.5元.19、(1)400(2)(3)【解析】(1)根据分层抽样的方法,列出关系式计算即可;(2)根据分层抽样的方法,求出抽取的女生人数,进而列举出从样本中抽取2人的所有情况,可根据古典概型的概率公式计算即可;(3)求出样本平均数,进而求出与样本平均数之差的绝对值不超过5的数,从而利于古典概型的概率公式计算即可.【小问1详解】设该校总人数为n人,由题意得,所以,.【小问2详解】设所抽样本中有m个女生,因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本,所以,解得.所以抽取了2名女生,3名男生,分别记作,;,,,则从中任取2人的所有基本事件为:,,,,,,,,,,共10个,其中至少有1名女生的基本事件有,,,,,,,共7个,所以从中任取2人,至少有1名女生的概率为.【小问3详解】样本的平均数为,那么与样本平均数之差的绝对值不超过5的数为94,86,92,87,90,93这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过5的概率为.20、(1);(2)或.【解析】(1)求出线段中点,进而得到线段的垂直平分线为,与联立得交点,∴.则圆
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