促进学生理解的小学数学教学研究

促进学生理解的小学数学教学研究摘要：数学理解可以划分为表面性理解、意义性理解、概括性理解和评价性理解四个层级，数学理解在数学学习的不同阶段也表现出不同的发展特征。为促进小学生数学理解水平的不断提升，教师可从教学设计视角，采取指向整体理解的主题设计策略和指向理解过程的课时设计策略；从教学实施视角，强调建构学生主体的课堂、经历知识形成过程、转化类比关联、归纳概括、多角度思考、多元表征等教学策略；从教学评价视角，侧重完成“总结型任务、应用型任务、探究型任务、迁移型任务”等表现性评价策略。关键词：数学理解 数学核心素养 小学数学教学 教学策略早在20世纪90年代初期，哈佛大学“零点项目”(ProjectZero)联合负责人珀金斯①avidPerkins)便提出“为理解而教”(TeachingforUnderstanding)的理念和规划：我们如何做到为理解而教？学生和教师如何知道学生已经理解？如何培养深层次的理解能力？在《义务教育数学课程标准(2011年版)》中，“理解”作为结果目标的行为动词，表明理解既是结果，也是过程。因此，从学科育人的角度看，在强调理解的结果目标的同时，重视理解的过程性目标，对培养学生的数学核心素养具有极其重要的意义。一、数学理解的本质含义理解主要是指学生积极主动地通过分

析、推理、判断、解释、抽象、概括、表征、综合等活动，把认知对象与已有知识和经验建立联结，获得其学科意义（本质）和认知结构的过程。小学数学学科中，数学理解的认知对象就是数学，可以包括数学概念、公式、法则、定理以及用数学解决的实际问题。当然，理解不是孤立的认知，而是与学生的情感、态度、意志品质等其他心理因素息息相关并相互影响、相得益彰的。数学理解是形成学生数学核心素养的基础，这是因为人的素养是个体内在的能力和品质的表现，只有当学生个体把外在的数学知识和待解决的问题与自身已有的经验和知识建立起内部固有联系、认知结构、多种表征时才有可能形成数学素养，而这一过程和结果正是我们所说的数学理解。二、数学理解的发展特征（-）层级特征数学理解具有层级（也可称为水平）特征。基于学习科学的现代研究，结合数学学习实际，我们将数学理解分为表面性理解、意义性理解、概括性理解和评价性理解四个层级（四种水平）。他们各自的本质和行为表现可通过表1呈现。层次表面性理解意义性理解概括性理解层次表面性理解意义性理解概括性理解评价性理解本质定义基于对认知对象的模仿、识记、套用、机械的理解。获得对认知对象的形成过程、学科本质及心理意义的理解。对认知对象经过再一次的抽象与概括，在更广、更深层级上获得更丰富的理解。对认知对象的理解过程和理解结果的再认知和评估。本质与表现行为表现诲能操作金会计算南能背诵诲能找到特殊、个别例证帝能找到例证黄能举反例黄能辨析育能用自己的语言交流府能简单应用击能进行适当推理☆在新的情境下应用会能适当分类*能找到与相关知识的联系与区别谶能迁移到新的学习情境中岛能进行适当推断☆我是怎样理解的有我的理解有没有局限性禽我理解的结果是否可靠有因为什么原因，我产生了误解表1（二）阶段特征数学理解，其层级的逐步提升，既体现出发展（横向发展），又呈现出年龄和阶段的特点（纵向发展）。一方面，随着年龄的增长、思维能力尤其是抽象思维的发展，学生的综合理解能力必然会增强；另一方面，由于受到所学数学知识的局限和思维能力的限制，学生对于同一层级的数学理解也存在不同的发展水平，整体上呈现出螺旋式上升的发展态势。以上两方面反映出数学理解的过程有着横向与纵向不断交替、循环、上升的发展特点。还是以学生对乘法一加法交换律的理解为例，学生在整数运算中第一次学习交换律，在表面性理解的基础上对其有了一定的意义性理解，但当接触到分数、小数及（初中）负数的运算时，就会觉得已有的意义性理解还远远不够。当学生学习式的运算时，对乘法一加法交换律的理解则需要达到概括性理解层次，但这并不意味着学生对这一运算定律的意义性理解已近乎全面，实际上，想要达到趋于完整的意义性理解，需要到高中学习完复数之后。由此可见，学生对这一定律的理解过程凸显了理解的几个层级始终处于不断交叉、螺旋式上升的发展特点。三、促进学生理解的小学数学教学策略为促进学生理解的纵横向不断发展，小学数学教学需要从教学的设计、实施、评价三个环节寻求更恰当、更优化的教学策略。（-）基于理解的教学设计策略指向整体理解的主题教学设计策略数学知识的系统性和逻辑性，决定了数学理解不能离开整体认知，甚至可以说，若离开了整体认知，学生就无法实现知识的深度理解。尤其是在小学阶段，同一教学内容多次重复出现的现象比较多，比如数的加、减、乘、除四则运算至少在整数、小数、分数三个阶段都有出现。设计第二次四则运算的教学时，如何做到让加、减、乘、除每一种运算都能承上（类比第一次学习的方法和经验）启下（对第三次学习产生正迁移）？加、减、乘、除四则运算之间有何关系？诸如此类问题，必须整体思考，将“数与运算”作为小学“数与代数”中的一个主题来进行整体设计。对于“数与运算”主题的整体设计，既要考虑数的扩充的纵向联系，也要考虑加、减、乘、除四则运算的横向联系，以及数与运算、不同数间与不同运算间的交叉联系。只有整体设计才能让学生理解整数、小数、分数的加、减、乘、除乃一脉相承（关键是计数单位的运算），实现整数、小数、分数的加、减、乘、除运算的融会贯通（以加法为基础，减法、乘法、除法都可以转化为加法）。所以对小学数学教学来说，“整体一局部一整体”的螺旋式上升的主题设计尤为重要。这种设计主要回答“去哪里（教学目标的确定）”“如何去那里（教学要素的组织）”“怎么判断已经到达了那里（教学效果的评价）”三个基本问题。［1］这种主题统领下的整体设计，不仅可以使学生在当下获得条理分明、相互联系的认知体系，还让他们建立起了对未来学习更有支持意义、内在逻辑性较强的数学基础知识结构。指向理解过程的课时教学设计策略依据“目标一载体（手段）一结果”的活动过程哲学，理解以过程为目标的课时教学设计，既要确立通过哪些“载体”（包括教学内容、教学过程、教学方法与手段等）能达成教学目标，或者说能促成教学结果与目标高度吻合，也要确立怎样的检测与评估方法能够测评结果与目标之间的差距，以及检验目标的达成度。为此，对于“载体”的设计，需要充分考虑：明确彰显理解过程与目标的一系列任务，创设能激发学生完成这些任务的意愿和思考的问题情境，给予足够的机会让学生经历探究、分析和解决问题的过程，留有让学生反思探究和解决问题的过程和体验的时间。对于“测评”的设计，需要充分考虑：在重视教师评价和自我评价的同时，重视同伴评价；注重教学过程中有针对性的提问、对话、交流所负载的形成性评价；不可忽视随堂的、及时反馈的纸笔检测；重视可检测高层级理解水平的表现性评价，在各种任务中检测学生的理解水平。另外，在课时设计时，还要充分分析学情：当学生的生活经验、前概念与所教内容一致时，可以顺势正迁移；反之，则需要提前做好预判和预案，避免负迁移的产生。比如，学习平行四边形时，学生已经了解长方形和正方形的特征，也知道探索这些特征的方法（如测量和对折），很容易会想当然地要把自己掌握的方法迁移到平行四边形特征的探索中，但事实上这样的方法并不适用于平行四边形。这时，教师事先的设计及恰当的引导对于学生的探索和理解而言是非常必要的。（二）达成理解的教学实施策略建构学生主体的课堂在课堂教学中，区分教与学两种不同的活动是十分必要的。课堂应该既有教师教的活动，也必须有（甚至更多）学生的学习活动（学生为主体）。只有当学生成为学习的主体时，学习才能真正发生。要想让学生理解教学内容，学生成为学习的主体是必要条件。学生的思维没有介入，学生没有认知探究的体验，理解就很难实现。因此，为理解而教的首要任务和目的就是要使学生成为学习的主体。而在课堂上，学生不是自然而然的主体，学生能不能成为主体，取决于教师的教，需要教师去建构。在“满堂灌”的课堂中，学生只能沦为教的客体，唯有学生的学习活动占主导地位，即当学生在阅读、在经历、在操作、在思考、在完成任务时，他们才是学习的主体。这样的教学中，教师充当着学生学习活动的促进者、指导者、帮助者的角色。经历知识形成过程无论是数学历史的发展还是数学理论的建构，数学知识的形成必定有一个过程，离开了知识的形成过程，学习者很难达成对知识的深度理解。因此，在实际教学中要使学习者达成理解，教师必须让学生经历和体验知识的形成和产生过程。但需要注意的是，不能为了新颖的展示而人为地编制知识的形成过程，如与知识本身的历史发展相违的悖论，甚至是科学性错误。促进理解的知识的形成过程，关注的是为什么要引进这一新知识，重视的是在知识形成过程中学生需要经历的归纳、概括、抽象等思维活动和积极的情感体验。转化类比关联在数学中，除了极少数不定义概念和公理外，总是存在互相关联的知识（思想和方法），数学知识间的联系是普遍的、广泛的。依据数学知识间关联方式不同，把新知转化为旧知、类比旧知学习新知成为主要的学习方式。事实上，这种学习方式也是理解知识的方式。如果从理解的角度来看，可能需要更加重视新旧知识之间的差异性，把握了新旧知识的差别，也就找到了新知识“新”在哪里，进而达成对新知识的理解。比如，学习小数乘法时，将小数乘法转化为整数乘法，其中的关键就是采取什么途径或办法（比如运用积的变化规律，或者借助计量单位的十进制关系，或者运用乘法分配律等）把小数乘法转化为两整数相乘。归纳与概括抽象是数学的重要特点之一，在小学数学中与抽象特点密切相关的是概括。概括成为学习小学数学也是理解数学最重要的思维方式，而概括之前常常又需要归纳，所以让学生经历归纳和概括的思维过程成为达成理解的手段。以解决问题的教学为例，如果定位在模型意识的视角，就应该强调概括数量关系。比如“鸡兔同笼”问题，与下面这些题目具有相同的数量关系：“三年一班用14元5角买了英语练习本和语文练习本共35本，英语练习本每本5角，语文练习本每本3角。问两种练习本各买了多少？”“四年级共350人计划租9辆车去春游，小车每辆坐30人，大车每辆坐50人，问大小车各需要租多少辆？”这些问题都具有相同的数量关系：已知两数和与两数的倍数和（然后在这种数量关系前提下求这两个数）。这种概括训练，不仅能让学生发现这些问题的共同的数量规律，也同时在培养学生的模型意识。

5.多角度思考（三）检验理解的教学评价策略因为小学阶段的数学有许多知识为多次螺旋式重复呈现，而小学生以形象思维和直观思维为主，所以多角度分析和思考对学生理解数学概念、法则以及问题解决是十分重要且必要的。比如，算理教学常是一个难点，教师一定要根据数的特点寻求多种方法帮助学生理解算理，“操作法、画图法、情境法、迁移法、演绎法”等方法都可以使用⑵。如问题“小华家离学校600米，他2分钟走了100米。照这样的速度，小华105.多角度思考（三）检验理解的教学评价策略6.多兀表征数学知识的多种表征，如图像表征、语言表征、情境表征、操作表征、符号表征等，实际上不仅表明了认识的多种角度，也反映了不同表征之间的关联，所以从多角度认知和关联必然可以促进深度的理解。比如，对于分数概念，学生即使能够在课堂上用语言概括分数的意义，在面对不同的问题情境时，这种程度的理解仍显得捉襟见肘。对此，教师可采用多种表征形式（连续量、离散量），让学生通过操作具体物来表示各种图形、线段中的分数，用语言概括分数，用数学符号来表征等，通过将多种表征形式相结合，从直观到抽象，逐渐让学生在头脑中建立抽象的分数概念。检验理解的方法有很多，变式练习、对话交流等均是检验的方法。但对于深度理解的检验，人们采用比较多的是表现性评价，通过让学生完成具有一定挑战性的任务来评估学生理解的水平。“总结”型任务理解数学知识，既包括对这个知识本质的认识，也包括掌握其与其他知识的联系。对知识的深度理解，意味着学生所获得的知识是结构化的、整合的，而不是零散的。总结所学知识，正是检验学生理解的一种方法。总结可以是在课堂上要求学生用言语表述，也可以是在课后让学生用书面语言（如思维导图）表达。比如，学完“比”的概念后，让学生在课后总结“比”与“分数”“除法”之间的关系是一个特别好的任务，学生完成这一总结性任务更重要的意义在于可以从更多的维度认识新旧概念，进而提升概念的理解水平。“应用”型任务加德纳认为：“要检验理解，不是让学生重述所学内容，也不是看实践行为。确切地说，要看是否能够将相应的概念或原理应用到新的问题情境之中……”[3]某省四年级数学期末检测卷中有这样一道题目：“一辆客车和一辆货车同时从相距450千米的A、B两地相对开出，货车每小时行50千米，客车的速度是货车的2倍，几小时后两车相遇？”“任课教师看到此题，反响非常强烈：相遇问题不是五年级下册（北师大版）的内容吗？本学期只学习了路程、时间和速度三者的关系呀！考这样的题目太难为学生了。”叫表面上看，这是一道典型的“相遇问题”，但实质上这正是检