十,长方体与正方体

十、长方体与正方体说到长方体和正方体，会使我们想起长方形与正方形.字面上它们仅一字之差，但却是不同的两个概念.前者是空间图形，后者是平面图形.然而它们之间却紧密关联，掌握好平面图形的概念，是学好空间图形概念的基础。下面让我们回顾一下长方形和正方形的基本概念.见下表：那么什么是长方体？什么是正方体呢？（一）长方体和正方体的基本概念在日常生活中，我们经常可以看见长方体形状的物体，如盖房子用的红砖，装拼图玩具的盒子，我们学习用的课本等，它们都是以长方体形状出现的（如图1）。长方体一共有六个面，每个面都是长方形（或正方形），并且相对的两个面的大小是相等的.所以长方体一共有3对大小相等的面，即相对面的面积相等.长方体中两个面相交的边叫做棱，它共有12条棱，并且相互平行的棱的长度是一样的.长方体共有8个顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高（见图2）。要注意的是长方体的长、宽、高具有相对性，如果我们先认为哪条棱为宽，那么另两条棱相对来说就是长方体的长和高，所以宽不一定长度最短，长方体的摆放位置是可以变动的，也就是说长方体的长、宽、高是人们根据自己的需要而规定的。长、宽、高相等的长方体叫正方体，正方体的长、宽、高统称为棱长.正方体的六个面面积均相等，且12条棱的长度也相等.即正方体是长方体的特殊情况，所以长方体的概念包含了正方体的概念（见图3）。（二）长方体和正方体的表面积长方体共有六个面，它的表面积为六个面积的总和，而每一面都是矩形（或正方形）.又因为长方体每相对的两个面积相等，所以它的表面积公式由长方体的长（用字母a表示）、宽（用字母b表示）、高（用字母c表示），那么长方体的表面积公式为：S=2（a×b+b×c+c×a）（见图4）.而正方体的六个面是全等的正方形，所以正方体的表面积公式为（正方体的棱长用字母a表示）（见图5）.S=6a2（三）长方体和正方体的体积前面我们已经提到过日常生活中我们见过不少长方体形状的物体，又如家里的电冰箱，火柴盒，虽然它们都是长方体形状的物体，但它们在家里占有空间的位置可大不一样.我们规定物体的体积就是物体占有空间位置的大小.我们用字母V表示长方体的体积，a、b、h三个字母分别表示长方体的长、宽、高，则长方体的体积公式为长方体的底面积乘以它的高，即：V=abh.因为正方体中a=b=h，所以正方体的体积公式是V=a3.下面我们通过以下几道题看看如何用长方体和正方体的表面积公式和体积公式解决一些实际问题。例1一个体积为160立方厘米的长方体中两个侧面的面积分别为20厘米，32厘米，如图6。求这个长方体底面的面积（即图中阴影部分的面积）。分析与解在长方体的六个面中，有三组对面分别全等，题设中所给出的三个面恰好是这三组面的代表.现要求出底面（阴影长方形）的面积.由长方体的概念可知，底面的面积是长方体的长和宽的乘积，两个侧面的面积是长和高的乘积与宽和高的乘积。设长方体的长、宽、高分别为a、b、h.则由题意，ah=32，bh=20，a·b·h=160那么，160=a·b·h=20a，160=abh=32b所以，a=8，b=5故所求底面面积为：ab=8×5=40答：底面面积为40平方厘米。例2一个长方形纸盒，长8厘米，宽是长的3/4，高是宽的一半，求这个长方体的棱长总和是多少厘米？分析与解因为长方体一共有12条棱且互相平行的棱的长度是相厘米的棱有4条。因此依题意有：（设棱长的总和为L）=4(8+6+3)=68(厘米)答：棱长的总和为68厘米。例3一个底面长为25厘米，宽为20厘米的长方体容器，里面盛有水.当把一个正方体木块放入水中时，木块的二分之一部分没入水中，此时水面升高了1厘米.问正方体木块的棱长是多少？分析与解当木块放入水中时，水面升高了1.875厘米，即体积增加了25×20×1=500（立方厘米）这就是木块没入水中部分的体积.而这部分体积是木块体积的二分之一，故木块的体积为：500×2=1000（立方厘米）则木块的棱长为10厘米。例4一个正方体木块在它的一个角上割去一个小正方体.如图7所示，问现在这个多面体表面积与以前的正方体表面积相比有无变化？若

体体积的几分之几？分析与解大正方体的角上割去一个小正方体后，表面积并没有发生变化，这是因为割去一个小正方体后只影响到大正方体的三个面其余的面没受到影响.而这三个面所去掉的三个小正方形面积被“因割去小正方体后”多出来的三个小正方形面积所代替。练习十1.一个长方体的长、宽、高的比是3∶2∶1，它的棱长总和是48厘米，求此长方体的表面积。2.某小学要修建一个游泳池，它的长是40米，宽是20米，池深是1.2米，把游泳池的四壁和底部都用边长为4分米的白瓷砖铺盖一层，至少要用多少块白瓷砖？3.一个正方体增高3厘米，就得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原来的正方体的表面积增加96平方厘米，求原来正方体的表面积.4.有一块长方形铁皮长24厘米（用cm表示厘米），宽14厘米，如图8所示.剪掉同样的四个角（阴影部分）再沿虚线折起，做成一个无盖铁盒，求这个铁盒的容积。5.一个长方体油桶装满汽油，现将桶里的汽油倒入一个正方体容器内正好倒满，已知长方体汽油桶高1米，底面长为0.8米，宽为0.64米，求正方体容器的棱长.练习十1.88平方厘米设长方体的长、宽、高分别是3x、2x、x，则48＝4（3x＋2x＋x）＝24x，∴x＝2，∴长方体的表面积＝2（6×4＋2×4＋6×2）＝88（平方厘米）2.5900块首先要知道这个游泳池共有五个面要铺瓷砖，要先求出铺白瓷砖的面积总和，有了面积和，再求需要多少块白瓷砖。需铺白瓷砖的总面积设为S则S＝40×20＋2×20×1.2＋2×40×1.2＝800＋48＋96＝944所需白瓷砖为944÷0.42＝5900（块）答：至少要用白瓷砖5900块。3.384平方厘米原正方体的高增加，则它的面积扩大，而扩大的这部分面积只有4个侧面的面积，上下底面积并没有变化。设正方体校长为x厘米，则96＝4×3x＝12x，∴x＝8（厘米）∴正方体的表面积为6×82＝384（平方厘米）答：原来正方体的表面积为384平方厘米。4.384立方厘米由题意剪去四个角后，长为24—4×2＝16（厘米），宽为14－4×2＝14—8＝6（厘米）∴容积为：16×6×4＝384（立方厘米）答：这个铁盒