排列组合和导函数

“排列组合与导函数”精选试题及其答案一、选择题在以“菊韵荆门，荣耀中华”为主题的“中国⋅荆门菊花展”上，工作人员要将6盆不同品种的菊花排成一排，其中甲，乙在丙同侧的不同排法种数为()A.120 B.240 C.360 D.480二、填空题某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校最少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同窗校，则不同的选派方案共有______种.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人构成4人服务队，规定服务队中最少有1名女生，共有______种不同的选法.(用数字作答)现有7件互不相似的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品正好在第4次被测出的全部检测办法有______种.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果规定剩余的4个车位中恰有3个连在一起，则不同的停放办法有______种.7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有______种.把编号为1，2，3，4，5，6，7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，每人最少一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为______．用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色，规定有公共边的区域涂不同颜色，一共有______种不同的涂色办法．

现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，规定这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______．将6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人最少1本，则不同的分派办法种数为______．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其它5张无奖.将这8张奖券分派给4个人，每人2张，不同的获奖状况有______种(用数字作答)．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，规定相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色办法共有______种(用数字作答)．三、解答题已知函数f(x)=e2x−ax．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若存在实数x∈(−1,1]，使得f(x)<a成立，求实数a的取值范畴．

已知函数f(x)=x(x−a)(x−b)，其中0<a<b．

(1)设函数y=f(x)在点A(s,f(s))，B(t,f(t))处获得极值，且s<t.求证：

①0<s<a<t<b；

②线段AB的中点C在曲线y=f(x)上；

(2)若a+b<22，问：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线与否垂直，并阐明理由．

6本不同的书，按以下办法分派，各有多少种分法：

(1)分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；

(2)分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；

(3)分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本．

一种正方形花圃，被分为n(n≥3,n∈N*)份，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，规定相邻两部分种植不同颜色的花．

(1)如图1，正方形被分为3份A、B、C，有多少种不同的种植办法？

(2)如图2，正方形被分为4份A、B、C、D，有多少种不同的种植办法？

(3)如图3，正方形被分为5份A、B、C、D、E，有多少种不同的种植办法？

已知函数f(x)=ln(x−1)−k(x−1)+1

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若

f(x)≤0恒成立，式拟定实数k的取值范畴．

设函数f(x)=(1+x)2−2ln(1+x)．

(1)若在定义域内存在x0，而使得不等式f(x0)−m≤0能成立，求实数m的最小值；

(2)若函数g(x)=f(x)−x2−x−a在区间(0,2]上恰有两个不同的零点，求实数答案和解析【答案】1.D 2.30

3.660

4.1080

5.120

6.1440

7.1200

8.732

9.544

10.540

11.60

12.630

13.解：(Ⅰ)f(x)=e2x−ax，

∴f′(x)=2e2x−a，

(ⅰ)当a≤0时，f′(x)>0恒成立

∴f(x)的单调递增区间是(−∞,+∞)．

(ⅱ)

当a>0时，令f′(x)=0，得x=12lna2

当x<12lna2时，f′(x)<0，当x>12lna2时，f′(x)>0

∴f(x)的单调递减区间是(−∞,12lna2)，f(x)的单调递增区间是(12lna2,+∞).…(6分)

(Ⅱ)由f(x)<a得e2x−ax<a，即a(x+1)>e2x

由x∈(−1,1]得

x+1>0．

∴a>e2xx+1

设g(x)=e2xx+1，

若存在实数x∈(−1,1]，使得14.(1)证明：①依题意，s，t(s<t)为方程f′(x)=3x2−2(a+b)x+ab=0的两个实根，

而f′(0)=ab>0，f′(a)=a(a−b)<0，f′(b)=b(b−a)>0，

故f′(x)=0在区间(0,a)和(a,b)内各有一种实根，

因此0<s<a<t<b；

②由①得，s+t=2(a+b)3，st=ab3，

由于f(s)+f(t)=−427(a+b)3+23ab(a+b)，f(s+t2)=−227(a+b)3+13ab(a+b)，

因此f(s)+f(t)=2f(s+t2)，

即证线段AB的中点C在曲线y=f(x)上；

(2)解：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不垂直，理由以下：

设过曲线y=f(x)上一点P(x1,y1)的切线方程为：y−y1=[3x12−2(a+b)x15.解：(1)根据题意，把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，

①先从6本书中取出2本给甲，有C62种取法，

②再从剩余的4本书中取出2本给乙，有C42种取法，

③最后把剩余的2本书给丙，有1种状况，

则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有C62×C42×1=90种分法；

(2)根据题意，甲得1本，乙得2本，丙得3本，分3步进行，

①先从6本书中取出2本给甲，有C61种取法，

②再从剩余的4本书中取出2本给乙，有C52种取法，

③最后把剩余的3本书给丙，有1种状况，

则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有C61×C52×1=60种分法；

(3)6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得3本，

①先将16.解：(1)图1，运用分步种植的办法，

先对A部分种植，有4种不同的种植办法；

再对B部分种植，有3种不同的种植办法；

最后对C部分种植，有2种不同的种植办法，

共4×3×2=24种.

…(5分)

(2)图2，先对A部分种植，有4种不同的种植办法；

再对B部分种植，有3种不同的种植办法；

对C种植进行分类：若与B相似，D有3种不同的种植办法，共有4×3×1×3=36种种植办法，

若与B不同，C有2种不同的种植办法，D有2种不同的种植办法，

C部分共有4×3×2×2=48．

共有36+48=84种不同的种植办法.

…(10分)

(3)图3，先对A部分种植，有4种不同的种植办法；

再对B部分种植，有3种不同的种植办法；

对C部分种植进行分类：若与B相似，D有2种不同的种植办法，E有2种不同的种植办法，共有4×3×1×2×2=48种种植办法，

若与B不同，C有2种不同的种植办法，D有1种不同的种植办法，E有2种不同的种植办法，

C部分共有4×3×2×1×2=48．

共有48+48=96种不同的种植办法.…(16分)

17.解：(1)∵函数f(x)=ln(x−1)−k(x−1)+1，

∴f′(x)=1x−1−k，(x>1)，

∴当k≤0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增；

当k>0时，令1x−1−k>0，则1<x<1+1k，∴函数f(x)在区间(1,1+1k)上单调递增；

令1x−1−k<0，则x>1+1k，∴函数f(x)在区间(1+1k,+∞)上单调递减．

综上，当k≤0时，函数f(x)单调递增区间为(1,+∞)；

当k>0时，函数f(x)单调递增区间为(1,1+1k)，单调递减区间为(1+18.解：(1)要使得不等式f(x0)−m≤0能成立，只需m≥f(x)min．

求导得f′(x)=2(1+x)−211+x=2x(x+2)x+1，定义域为(−1,+∞)，

∵当x∈(−1,0)时，f′(x)<0，

∴函数f(x)在区间(−1,0)上是减函数；

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数．

∴f(x)mix=f(0)=1，∴m≥1.故实数m的最小值为1．

(2)由f(x)=(1+x)2−2ln(1+x)得：

g(x)=(1+x)2−2ln(1+x)−(x2+x+a)=x+1−2ln(x+1)−a

原题设即方程1+x−2ln(1+x)=a在区间[0,2]上恰有两个相异实根．

设h(x)=(1+x)−2ln(1+x).∵h′(x)=1−21+x=x−1x+1，列表以下：

∵h(0)−h(2)=1−(3−2【解析】1.解：第一类，字母C排在左边第一种位置，有A55种；

第二类，字母C排在左边第二个位置，有A42A33种；

第三类，字母C排在左边第三个位置，有A22A33+A32.解：由于甲和乙同地，甲和丙不同地，因此有2、2、1和3、1、1两种分派方案，

①2、2、1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人构成一组，然后排列，共有：C32A33=18种；

②3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙构成一组，然后排列，共有：C21A33=12种；

因此，选派方案共有18+12=30种．

故答案为30．

甲和乙同地，甲和丙不同地，因此有2、3.解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，

第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，

4.解：第三件次品正好在第4次被测出，阐明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次被测出，第六次，或者第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出能够分为三类，故全部的检测办法有C31×C31×C41×5.解：先选出3个连在一起的空车位，共5种选法，然后在剩余4个车位中选用3个停车，共A43=24种停放办法．

共5×24=120种

故答案为：120．

3辆不同型号的车需停放，共有A33=6种办法，规定剩余的4个车位中恰有6.解：∵7个人站成一排，若甲、乙、丙彼此不相邻，

∴采用插空法来解，

先排列甲、乙、丙之外的4人，有A44种成果，

再在排列好的4人的5个空里，排列甲、乙、丙，有A53种成果，

根据分步计数原理知共有A44A53=1440种成果，

故答案为：1440．7.解：根据题意，将7张电影票分给五个人，每人最少一张，至多分两张，

则其中2人2张，其它3人各1张，

则需要先将7张电影票分成5组，其中2组每组2张，其它三组每组1张，

有①12、34、5、6、7；②12、3、45、6、7；③12、3、4、56、7；④12、3、4、5、67；

⑤1、23、45、6、7；⑥1、23、4、56、7；⑦1、23、4、5、67；

⑧1、2、34、56、7，⑨1、2、34、5、67；⑩1、2、3、45、67；

共10种状况；

再将分好的5组全排列，对应甲、乙、丙、丁、戊五个人，有A55=120种状况；

则不同分法有10×120=1200种；

故答案为：1200．

根据题意，分2步进行分析：先将7张电影票分成5组，其中2组每组2张，其它三组每组1张，由列举法可得分组办法数目，再将分好的5组全排列，对应甲、乙、丙、丁、戊五个人，由排列数公式计算可得其状况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．

本题考察排列、组合的应用，核心是对的将78.解：考虑A、C、E用同一颜色，此时共有4×3×3×3=108种办法．

考虑A、C、E用2种颜色，此时共有C42×6×3×2×2=432种办法．

考虑A、C、E用3种颜色，此时共有A43×2×2×2=192种办法．

故共有108+432+192=732种不同的涂色办法．

故答案为732．

分三类讨论：A、C、E用同一颜色、A、C、E用2种颜色、A、C、E9.解：由题意，不考虑特殊状况，共有C163种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C43种取法，

故所求的取法共有C163−4C10.解：分为3类：①4、1、1，C61×C51×C31=90；②3、2、1，C61×C52×A33=360种；③2、2、2，C62×C42×C22=90种，

故共有90+360+90=540种．

11.解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有A43=24种；

一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有C32A42=36种，

共有24+36=60种．

故答案为：60．

分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有112.解：根据题意，分为三类：

第一类是只用两种颜色则为：C62A22=30种，

第二类是用三种颜色则为：C63C31C21C21=240种，

第三类是用四种颜色则为：C64A4413.(I)由已知中的函数解析式，求出函数的导函数的解析式，根据导函数符号与原函数单调性的关系，可求出f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若存在实数x∈(−1,1]，使得f(x)<a成立，则a>e2xx+1，构造函数g(x)=e2xx+1，则14.(1)①依题意，s，t(s<t)为方程f′(x)=3x2−2(a+b)x+ab=0的两个实根，计算f′(0)=ab>0，f′(a)=a(a−b)<0，f′(b)=b(b−a)>0，可得f′(x)=0在区间(0,a)和(a,b)内各有一种实根，即可得出结论；

②证明f(s)+f(t)=2f(s+t2)，即证线段AB的中点C在曲线y=f(x)上；

(2)过原点且与曲线15.(1)根据题意，分3步进行分析：①先从6本书中取出2本给甲，②再从剩余的4本书中取出2本给乙，③最后把剩余的2本书给丙，分别求出每一步的状况数目，由分步计数原理计算可得答案；

(2)根据题意，分3步进行分析：①先从6本书中取出2本给甲，②再从剩余的4本书中取出2本给乙，③最后把剩余的3本书给丙，每一步的状况数目，由分步计数原理计算可得答案；

(3)根据题意，分步进行分析：①先将6本书分成3组，一组1本、一组2本、一组3本，由组合数公式计算可得分组办法，②再将分好的三组对应三个人，进三组进行全排列即可，由分步计数原理计算可得答案．

本题考察排列、组合的运用，解答的核心是对的分辨无序不均匀分组问题.有序不均匀分组问题.无序均匀分组问题.是解好组合问题的一部分；本题考察计算能力，理解能力．16.(1)图1，根据题意，分别求出A部分、B部分、C部分种植状况的数目，由分步计数原理计算可得答案；

(2)图2，根据题意，分3步分析，先对A部分种植，