排列组合和二项式定理

1.乘法原理和加法原理（1）乘法原理：如果完毕一件事需要个环节，第1步有种不同的办法，第2步有种不同的办法，，第步有种不同的办法，那么完毕这件事共有种不同的办法.（2）加法原理：如果完毕一件事有类方法，在第1类方法中有种不同的办法，在第2类方法中有种不同的办法，，在第类方法中有种不同的办法，那么完毕这件事共有种不同的办法.【注意】应用两个计数原理的核心是分清“步”与“类”.完毕一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的持续性；完毕一件事有若干类办法，每类办法能独立完毕这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.2.排列组合（1）排列的概念：从个不同的元素中取出个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一种排列；从个不同的元素中取出个元素的全部排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表达.（2）排列数公式：，，规定：.（3）组合的概念：从个不同的元素中取出个元素构成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一种组合；从个不同的元素中取出个元素的全部组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表达.（4）组合数公式：（5）组合的两个性质：①；②【注意】解决排列组合问题常见的解题办法有：直接法，间接法，捆绑法，插空法，固定秩序法，元素优先法，位置优先法等。（1）直接法：根据加法原理及乘法原理，直接把一种复杂的事件分解成为简朴的排列组合问题，这种解题办法为直接法。（2）间接法：不管限定条件，全部的排列数或组合数，必含两类状况，一类是符合题意限定条件的种数，另一类不符合题意限定条件的种类，用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类，此种办法属数学中惯用的间接法。当符合题意限定条件中的种类不易求，或状况多样易出错，而不符合题意条件的种类易求时，常采用此法。（3）捆绑法：有关某些元素必“相邻”的问题，可把这些元素看作一种整体，当成一种元素和其它元素进行排列，然后这些元素本身再进行排列，这种办法叫做捆绑法。（4）插空法：若题目限制某些元素必“不相邻”，可将无此限制的元素进行排列，然后在它们的空格处，插入不能相邻元素，这种办法叫插空法。二项式定理（1）二项式定理：【注意】=1\*GB3①项数：展开式中总共有项.②次序：注意对的选择,,其次序不能更改。与是不同的.③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.④系数：注意对的分辨二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（涉及二项式系数）.（2）通项：（3）二项式系数的性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，变形式．③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：④奇数项的系数和与偶数项的系数和：⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数获得最大值．如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时获得最大值．⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，普通采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．【二项式定理重要应用】求展开式中的特定项或特定项的系数；【二项式定理重要应用】求展开式中的特定项或特定项的系数；求二项式系数和或各项的系数和，重要运用“赋值法”；整除性的证明、求余数，重要运用“配凑法”、“消去法”；近似值的计算；不等式的证明.令令二、同时题型分析例1.9名身高各不相似的人排队，按下列规定，各有多少种不同的排法？（1）排成一排（2）排成前排4人，后排5人的两排（3）排成一排，其中A，B两人不相邻（4）排成一排，其中C，D两人相邻（5）排成一排，其中E不在排首，F不在排尾（6）排成一排，其中A必须站在B的右侧（不一定相邻）（7）排成一排，身高最高的人站中间且向两边递减（8）排成一排，其中H，I之间必须间隔2人【答案】（1）直接法；（2）；（3）插空法；（4）捆绑法；（5）分类，特殊位置法；（6）对称法；（7）直接法；（8）捆绑法例2.有四位男学生，三位女学生排队摄影，根据下列规定，各有多少种不同的排列成果（1）七个人排成一列，四个男学生必须连接在一起（2）七个人排成一列，其中甲乙两人之间必须间隔2人（3）七个人排成一列，三个女生不全相邻【答案】（1）捆绑法＝576；（2）捆绑法＝960；（3）间接法＝4320例3.某校高一年级有6个班级，现要从中选出10人构成高一女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班最少要选1人参加，这10个名额有多少种不同的分派办法？【答案】隔板法，相称于9个空隔了5块板，=126种4、(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄办法？(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱最少一封信，有多少种不同的投寄办法？(3)将4封信投寄到3个邮箱中，正好有一种邮箱没有投递，有多少种不同的投寄办法？【参考答案】(1)81(2)36(3)42/5、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？【参考答案】解：从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种办法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种办法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种办法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种因此，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；6、(1),求.(2).(3).【参考答案】(1)或或或经检查(2)原式=(3)原式=7、书架上有9本不同的书，若把另外3本不同的书插进去，且规定不插在两头，有种不同的插法.【参考答案】7208、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排构成一种三位数，如果6能够当作9使用，问能够构成多少个三位数？【参考答案】能够分为两类状况：①若取出6，则有种办法；②若不取6，则有种办法．根据分类计数原理，一共有+＝602种办法．9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选用5台,其中最少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.【参考答案】由分析，完毕第一类方法还能够分成两步：第一步在原装计算机中任意选用2台，有种办法；第二步是在组装计算机任意选用3台，有种办法，据乘法原理共有种办法.同理，完毕第二类方法中有种办法.据加法原理完毕全部的选用过程共有种办法.典型例题：例1．四周体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（） A．150种 B.147种 C.144种 D.141种【答案】取出的四个点不共面的状况要比取出的四个点共面的状况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四周共点的取法．在10个点中任取4点，有种取法，取出的4点共面有三类第一类：共四周体的某一种面，有4种取法；第二类：过四周体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面，有6种取法；第三类：过四周体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面，共有3个．故取4个不共面的点的不同取法共有－(4＋6＋3)＝141，因此选D例2.一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），规定上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有多少种不同的排课办法？【答案】办法一：从数学课入手（第一类）数学排在第一节，班会课排在下午，其它四科任排，得,（第二类）数学排在上午另三节中的一节，班会排在下午，体育排在余下（不会第一节）三节中的一节，其它三科任排，得共有排法（种）办法二：从体育课入手（第一类）体育课在上午（第二类）体育课在下午共有排法（种）例3．用0~9这十个数字构成没有重复数字的正整数（1）共有几个三位数?（2）末位数字是4的三位数有多少？（3）求全部三位数的和;（4）四位偶数有多少？（5）比5231大的四位数有多少？【答案】（1）百位不能为“0”,因此共有个;（2）末位为4,百位不能为“0”,因此共有×=64个（3）考虑各数位上的数字之和,可得全部三位数的和为:（4）分末位数字与否为0两种状况考虑。种；（5）①千位上为9,8,7,6的四位数各有个;②千位上是5,百位上为3,4,6,7,8,9的四位数各有个;③千位上是5,百位上为2,十位上为4,6,7,8,9的四位数各有个;④千位上是5,百位上为2,十位上为3且满足规定的共有5个,因此共有2392种综合题型1：会根据两个原理解决有关分派决策的问题（要对的分辨分类和分步）：1．5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名办法共有（）．15种；．8种．种．种【答案】D2．四名医生分派到三所医院工作，每所医院最少一名，则不同的分派方案有______种．【答案】363．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承当，乙、丙各需1人承当，从10人中选派4人承当这三项任务，不同的选法共有（）．1260种；．2025种；．2520种；．5040种．【答案】．综合题型2：会用捆绑法、插空法解决元素相邻或不相邻问题1.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有（）．12种；．20种；．24种；．48种．【答案】．2.5人站成一排，其中不在左端也不和相邻的排法种数为（）．48；．54；．60；．66．【答案】．3.用1、2、3、4、5、6、7、8构成没有重复数字的八位数，规定1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有个.（用数字作答）【答案】1152.综合题型3：会求某些元素按指定次序排列的问题1.七个人排成一行，则甲在乙左边（不一定相邻）的不同排法数有_________种．【答案】2520．某工程队有6项工程需要先后单独完毕，其中工程乙必须在工程甲完毕后才干进行，工程丙必须在工程乙完毕后进行，又工程丁必须在丙完毕后立刻进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________．（用数字作答）【答案】20．3.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以分辨，将这9个球排成一列有_______种不同的办法（用数字作答）．【答案】1260．综合题型4：会解与平均分组和非平均分组有关的问题1.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中最少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）．140种；．84种；．70种；．35种．【答案】．2.将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组办法的种数为（）．70； ．140； ．280； ．840．【答案】．综合题型5：会解其它有限制条件的排列组合问题（要注意使用最惯用、最本原的办法：枚举法）1.在1，2，3，4，5这五个数字构成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）．36个； ．24个；．18个； ．6个．【答案】．2.电视台持续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，规定首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（成果用数值表达）.【答案】48．3.以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（）．；．．-6．．．【答案】．4.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分派方式有（）．6种；．9种；．11种．23种【答案】5.设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，规定每个盒内投放一种球，并且正好有两个球的编号与盒子的编号相似，则这样投放的办法总数为（）．20；．30；．60；．120．【答案】．一模题：1、两个三口之家，共4个大人，2个小孩，商定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车办法种数是．【答案】482、某校规定每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有种；（以数字作答）【答案】3、在上海高考改革方案中，规定每位高中生必须在理科学科：物理、化学、生物，文科学科：政治、历史、地理这6门学科中选择3门学科参加等级考试.小王同窗对理科学科比较感爱好，决定最少选择两门理科学科，那么小王同窗的选科方案有___________种.【答案】104、已知数据、、…、的方差为16，则数据、、…、的原则差为；【答案】85、锅中煮有肉馅，三鲜馅，菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相似，从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都最少取到1个的概率为；【答案】6、将两颗质地均匀的骰