2023-2024学年湖北省武汉市江夏一中数学高二上期末经典试题含解析

2023-2024学年湖北省武汉市江夏一中数学高二上期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则中元素的个数为（）A.3 B.2C.1 D.02．设a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A.a，b，c依次成等差数列 B.，，依次成等差数列C.，，依次成等比数列 D.，，依次成等比数列3．已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A. B.C. D.4．已知，若，则（）A. B.C. D.5．命题“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，6．已知等比数列的公比为正数，且，，则（）A.4 B.2C.1 D.7．已知直线与直线平行，则实数a的值为（）A.1 B.C.1或 D.8．圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.相交C.外切 D.相离9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（nào）．如图所示的三棱锥为一鳖臑，且平面，平面，若，，，则（）A. B.C. D.10．已知圆M与直线与都相切，且圆心在上，则圆M的方程为（）A. B.C. D.11．已知抛物线上的一点，则点M到抛物线焦点F的距离等于（）A.6 B.5C.4 D.212．命题“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若方程表示的曲线是圆，则实数的k取值范围是___________.14．已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程；15．若过点和的直线与直线平行，则_______16．若“”是“”必要不充分条件，则实数的最大值为_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由18．（12分）已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和19．（12分）已知为数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和（3）设，若不等式对一切恒成立，求实数取值范围20．（12分）已知圆（1）若直线与圆C相交于A、B两点,当弦长最短时,求直线l的方程;（2）若与圆C相外切且与y轴相切的圆的圆心记为D,求D点的轨迹方程21．（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）；（2）为了解该车间工人生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表：工龄x（单位：年）4681012生产速度y（单位：件/小时）4257626267根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，22．（10分）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.（1）若直线的斜率为1，求；（2）若，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2、B【解析】由等差数列的性质得，利用正弦定理、余弦定理推导出，从而，，依次成等差数列.【详解】解：∵a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，依次成公差不为0的等差数列，∴，根据正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差数列.故选：B.【点睛】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.3、A【解析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设，则由，可得则，即，则则双曲线的渐近线的斜率为故选：A4、B【解析】先求出的坐标，然后由可得，再根据向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】因为，，所以，因为，所以，即，解得.故选：B5、D【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可【详解】命题“，”的否定是：，，故选：D.6、D【解析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出【详解】设等比数列的公比为（），由题意得，且，即，，因为，所以，，故选：D7、A【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行，所以，或，当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.经检验可知符合题意.故选：A8、C【解析】写出两圆的圆心和半径，求出圆心距，发现与两圆的半径和相等，所以判断两圆外切【详解】圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径；圆的圆心为，半径，圆心距，所以两圆相外切故选：C9、A【解析】根据平面，平面求解.【详解】因为平面，平面，所以，又，，，所以,所以，故选：A10、A【解析】由题可设，结合条件可得，即求.【详解】∵圆心在上，∴可设圆心，又圆M与直线与都相切，∴，解得，∴，即圆的半径为1，圆M的方程为.故选：A.11、B【解析】将点代入抛物线方程求出，再由抛物线的焦半径公式可得答案.详解】将点代入抛物线方程可得，解得则故选：B12、A【解析】特称命题的否定是全称命题【详解】的否定形式是故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据二元二次方程表示圆的条件求解【详解】由题意，故答案为：14、（1）；（2）.【解析】（1）设出点C的坐标，进而根据点C在中线上及求得答案；（2）设出点B的坐标，进而求出点M的坐标，然后根据中线的方程及求出点B的坐标，进而求出直线BC的方程.【小问1详解】设C点的坐标为，则由题知，即.【小问2详解】设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程则由题知，即，又，则，所以直线BC方程为.15、【解析】根据两直线的位置关系求解.【详解】因为过点和的直线与直线平行，所以，解得，故答案为：316、【解析】设的解集为集合，由题意可得是的真子集，即可求解.【详解】由得或，因为“”是“”的必要不充分条件，设或，，因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的单位向量，从而可证明线面平行.(2)令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.【详解】证明：过作于点，则，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系则，，，

，，，∵为的中点．∴．则，，，设平面的法向量为，则令，则，，∴．∴，即，又平面．∴平面解：令，，设，∴．∴，∴

.由知，平面的法向量为.∵直线与平面所成角的正弦值为，∴，化简得，即，∵，∴，故【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面平行，考查了平面法向量的求解，属于中档题.18、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法可求得.【小问1详解】解：设等差数列公差为，，【小问2详解】解：，.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的关系，根据等比数列的定义求通项公式.（2）由（1）可得，应用裂项相消法求.（3）应用错位相减法求得，由题设有，讨论为奇数、偶数求的取值范围【小问1详解】当时，，可得，当时，，可得，∴是首项、公比都为的等比数列，故.【小问2详解】由（1），，∴.【小问3详解】由题设，，∴，则，∴，由对一切恒成立，令，则，∴数列单调递减，∴当为奇数，恒成立且在上递减，则，当为偶数，恒成立且在上递增，则，综上，.20、（1）（2）【解析】(1)先求出直线过的定点,再根据弦长|AB|最短时,求解.(2)用直译法求解【小问1详解】直线即,所以直线过定点.当弦长|AB|最短时,因为直线PC的斜率所以此时直线的斜率所以当弦长|AB|最短时,求直线的方程为,即【小问2详解】设,易知圆心D在轴上方,圆D半径为因为圆与圆外切,所以即整理得点的轨迹方程为21、（1）（2）80件/小时【解析】（1）先利用等差数列的通项公式和频率分布直方图各矩形的面积之和为1求出各组频率，再利用频率分布直方图求中位数；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测其生产速度.【小问1详解】解：设前4组的频率分别为，，，，公差为，由频率分布直方图，得，即，解得，则，，所以中位数为.【小问2详解】解：由题意，得，，由所给公式，得，，所以回归直线方程