利用b值orlicz群体的嵌入关系刻画b值空间

利用b值orlicz群体的嵌入关系刻画b值空间

定义（，，p）是一个完整的概率空间，x是一个banach空间，f=（fn）n0是的一个随机数，记录为nf=fn-fn-1，n0，f-1。Vp={v=(vn)∶|v|Vp=|Μv|p＜∞},0＜p＜∞‚式中Μv=supn≥0|vn|.对v∈Vp,f=(fn)n≥0是X值鞅,定义gn=∞∑k=1vk-1Δkf,n≥1,称g=(gn)n≥0是f经过v的鞅变换,记为g=Tvf.设Φ是R+上不减的凸函数,Φ(0)=0.LΦ={f是可测函数∶|f|Φ=inf{λ＞0|EΦ(|f(ω)|λ)≤1}＜∞}是Orlicz空间,|f|Φ是其中的范数,对一般的Φ函数构成的Orlicz空间及Φ不等式的进一步理论可见文献.若对于任意的f,g∈LΦ,0≤s,t<∞有|fsgt|Φ=|f|sΦ|g|tΦ,则称Φ是可乘的.与可乘Φ函数有关的不等式称为可乘Φ不等式.众所周知,鞅变换是鞅空间理论的重要一部分.文献等详细讨论了鞅变换及有关的不等式.文献利用B值鞅空间的嵌入关系,讨论了B值鞅变换算子的有界性.而对于B值Orilcz鞅空间的嵌入关系在文献中也有详细的讨论.本文主要利用B值Orlicz鞅空间的嵌入关系和可乘Φ函数的性质,用B值鞅变换刻画了B值空间的几何性质,这是对文献的有意义补充.1u3000e—引理下面给出B值鞅的极大函数Mf,p-均方函数S(p)(f),p-条件均方函数σ(p)(f)的定义:Μnf(ω)=supk≤n|fk(ω)|,Μf(ω)=supn≥1Μnf(ω),S(p)n(f)(ω)=(n∑k=0|Δkf(ω)|p)1/p,S(p)(f)(ω)=supn≥1S(p)n(f)(ω),σ(p)n(f)(ω)=(n∑k=0E(|Δkf(ω)|p|Σk-1))1/p,σ(p)(f)(ω)=supn≥1σ(p)n(f)(ω).相应的Orlicz鞅空间定义如下(其中1≤p<∞):pLΦ={f是实可测函数∶|f|pLΦ=||f|p|1/pΦ＜∞},pHΦ={f=(fn)n≥0是X值鞅∶|f|pΗΦ=|Μf|pLΦ＜∞},p˜ΗΦ={f=(fn)n≥0是X值鞅∶|f|p˜ΗΦ=|S(p)(f)|pLΦ＜∞},pΣΦ={f=(fn)n≥0是X值鞅∶|f|pΣΦ=|σ(p)(f)|pLΦ＜∞},pΚΦ={f=(fn)n≥0是X值鞅∶∃r≥0,r∈pLΦ,E(|fm-fn-1|p|Σn)≤E(rp|Σn),∀0≤n≤m},pκΦ={f=(fn)n≥0是X值鞅∶∃r≥0,r∈pLΦ,E(|fm-fn|p|Σn)≤E(rp|Σn),∀0≤n≤m},|f|pκΦ=infr|r|pLΦ,|f|pΚΦ=infr|r|pLΦ.引理1设2≤q<∞,Young函数Φ满足1<qΦ≤pΦ<∞,则以下条件等价:1)X是q可凸的;2)qKΦ⊂qΗ˜Φ,即存在c=cqΦ>0,使得|f|qΗ˜Φ≤c|f|qΚΦ,∀f∈qΚΦ.注1在引理1中分别用qΣΦ,qκΦ代替qΗ˜Φ,qKΦ,结论仍然成立.引理2设1<p≤2,Young函数Φ满足1<qΦ≤pΦ<∞,则以下条件等价:1)X是p可光滑的;2)pΗ˜Φ⊂pKΦ,即存在c=cpΦ>0,使得|f|pΚΦ≤c|f|pΗ˜Φ,∀f∈pΗ˜Φ.注2在引理2分别用pΣΦ,pκΦ,代替pΗ˜Φ,pKΦ,结论仍然成立.引理3设2≤q<∞,Young函数Φ满足1<qΦ≤pΦ<∞,则以下条件等价:1)X是q可凸的;2)∃cΦ>0,使得对任何X值鞅f均有|S(q)(f)|Φ≤cΦ|Μf|Φ.引理4设1<p≤2,Young函数Φ满足1<qΦ≤pΦ<∞,则以下条件等价:1)X是p可光滑的;2)∃cΦ>0,使得对任何X值鞅f有|(Μf)2|Φ≤cΦ|S(p)(f)|Φ.在下面的讨论中总假定Φ是可乘的,且对于鞅变换乘子v∈Vp,若|Μv|pLΦ＜∞也简记为v∈pHΦ,c总表示一个常数,在不同地方取值可以不同.2tv是p,pk、p,q定理1设2≤q<∞,Φ是可乘的Young函数,满足1<qΦ≤pΦ<∞,v∈qHΦ,则Tv是(qKΦ,qΗ˜Φ)型的充要条件为X是q可凸的.证明设X是q可凸的.因为v∈qHΦ,记c=|v|qΗΦ,则∀f∈qHΦ,有|Τvf|qΗ˜Φ=|g|qΗ˜Φ=|S(q)(g)|pLΦ=|∑n=1∞|Δng|q|Φ1/q=|∑n=1∞|vn-1|q|Δkf|q|Φ1/q≤|(Μv)q∑n=1∞|Δnf|q|Φ1/q=|(Μv)q|Φ1/q|∑n=1∞|Δnf|q|Φ1/q=c|(S(q)(f))q|Φ1/q=c|f|qΗ˜Φ.因为X是q可凸的,由引理1知|Τvf|qΗ˜Φ≤c|f|qΚΦ.反之,若Tv是(qKΦ,qΗ˜Φ)型的,则|Τvf|qΗ˜Φ≤c|f|qΚΦ.特别地取v≡1,显然v≡1∈qHΦ,因此|Τvf|qΗ˜Φ=|f|qΗ˜Φ≤c|f|qΚΦ,∀f∈qΚΦ.再由引理1易知X是q可凸的.定理2设1<p≤2,v∈pHΦ即|(Μv)p|Φ1/p＜∞‚Φ是可乘的Young函数,满足1<qΦ≤pΦ<∞,则Tv是(pΗ˜Φ,pKΦ)型的充要条件为X是p可光滑的.证明设c=|v|pΗΦ‚∀f∈pΗ˜Φ,因为X是p可光滑的,由引理2知|Τvf|pΚΦ≤c|Τvf|pΗ˜Φ=|∑n=1∞|vn-1|p|Δnf|p|Φ1/p≤|(Μv)p|Φ1/p|∑n=1∞|Δnf|p|Φ1/p=c|(S(p)(f))p|Φ1/p=c|(S(p)(f))|pLΦ=c|f|pΗ˜Φ,即Tv是(pΗ˜Φ,pKΦ)型的.反之,若Tv是(pΗ˜Φ,pKΦ)型的,则|Τvf|pΚΦ≤c|f|pΗ˜Φ.取v≡1,则∀f∈pΗ˜Φ,|f|pΚΦ≤c|f|pΗ˜Φ.再由引理2知X是p可光滑的.注3在定理1和定理2中用qκΦ和pκΦ分别代替qKΦ和pKΦ,结论仍然成立.仿照定理1和定理2的证明可得如下结论.定理3设2≤q<∞,Φ是可乘的Young函数,满足1<qΦ≤pΦ<∞,v∈qHΦ,则Tv是(qKΦ,qΣΦ)型的充要条件为X是q可凸的.定理4设1<p≤2,v∈pHΦ,Φ是可乘的Young函数,满足1<qΦ≤pΦ<∞,则Tv是(pΣΦ,pKΦ)型的充要条件为X是p可光滑的.注4在定理3和定理4中将qKΦ和pKΦ分别替换为qκΦ和pκΦ,结论仍然成立.定理5设q≥2,Φ是可乘的Young函数,满足1<qΦ≤pΦ<∞,则Tv是(qHΦ,qΗ˜Φ)型的充要条件为X是q可凸的.证明设X是q可凸的,由引理3知|S(q)(f)|Φ≤c|Μf|Φ.从而|Τvf|qΗ˜Φ=|Sq(g)q|Φ1/q≤|(Μv)q|Φ1/q|f|qΗΦ=c|S(q)(f)q|Φ1/q=c|S(q)(f)|Φ≤c|Μf|Φ=c|(Μf)q|Φ1/q=c|f|qΗΦ,即Tv是(qHΦ,qΗ˜Φ)型的.反之,若|Τvf|qΗ˜Φ≤c|f|qΗΦ,令v≡1,则|f|qΗ˜Φ=|Τvf|qΗ˜Φ≤c|f|qΗΦ,即|(Sq(f))q|Φ1/q≤|(Μf)q|Φ1/q,从而对任何X值鞅有|Sq(f)|Φ≤|Μf|Φ.再由引理3知X是q可凸的.定理6设1<p≤2,Φ是可乘的Young函数,满足1<qΦ≤pΦ<∞,则Tv是(pΗ˜Φ,pHΦ)型的充要条件为X是p可光滑的.证明设X是p可光滑的,由引理4知对任何X值鞅有|Μf|Φ≤|Sp(f)|Φ,从而|Τvf|pΗΦ=|Μ(Τvf)p|Φ1/p=|Μ(Τvf)|Φ≤|Sp(Τvf)|Φ=|(Sp(Τvf))p|Φ1/p=|∑n=1∞|vn-1|p|Δnf|p|Φ1/p≤|(Μv)p∑n=0∞|Δnf|p|Φ1/p=|(Μv)p|Φ1/p|S(p)