《作角平分线过直线外一点作垂线》教学设计(部级优课)x-八年级数学教案

课题：探索三角形全等的条件---尺规作图（苏州工业园区东沙湖学校李明树）教学目标利用尺规作图作线段、角、角平分线、线段垂直平分线，了解作图的方法、步骤，并能掌握基本的作图语言.通过动手操作、合作探究，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力，体会类比和化归的数学思想.激情投入，全力以赴，让学生认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣，建立学习数学的自信心.学情分析学生之前已经学习了线段的度量方法，利用度量法和叠合法比较线段的大小关系：已经掌握了度量法即是测量线段两个端点之间的距离：叠合法即为使用圆规将一条线段叠放在另一条线段上，在比较另一个端点的位置。学生们已经掌握了使用尺规作图的方法作一条线段等于已知线段，甚至可以使用尺规作图作线段的和差倍。对于角相关知识，在小学学生已经掌握了利用量角器测量角的度数，利用量角器画一个角等于已知角，但是量角器画角的本质是什么，尺规作图画一个角等于已知角量角器画角之间有何本质上的联系？学生是模糊不清的，所以，学生通过两个数学实验的折纸活动，折出角平分线和线段垂直平分线，再从尺规作图的角度作角平分线、线段的垂直平分线，明确数学知识的几何本质。学生已经学习了三角形全等的条件是SAS、ASA、AAS、SSS，而前面四个判定的研究均利用了“尺规作图”，如何促使学生充分理解三角形全等的判定方法和尺规作图的本质联系，是学生急需要解决的问题。重点难点类比尺规线段作图法作线段、角，通过数学实验活动折角平分线、角平分线；理解尺规作图与常规作图的本质联系，探索尺规作图与全等三角形的本质联系。教材分析《义务教育数学课程标准》（2011年版）课程内容部分对尺规作图是这样描述的：（1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。（2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。（3）会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。（4）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。苏科版初中数学第六章平面图形的认识（一）内容的设置上是先研究线段，后研究角，苏科版初中数学八年级上册第一章《全等三角形》第3小节《探索三角形全等的条件》主要是研究三角形，为后续研究四边形打下铺垫。教法学法教师围绕三个主线引导教学:图形研究的顺序：线段、角、角平分线、线段垂直平分线的尺规作图；方法研究的策略：度量法到尺规作图、折纸与尺规作图；图形研究内容：尺规作图与全等三角形。学法：小组合作，导师互助，围绕研究图形的变化，在“画”图的手段上类比研究尺规作图的本质。六、教学过程忆一忆1.如图，已知线段AB，请利用刻度尺度量它的长度，并说说你的做法.【设计说明】：回忆测量直尺测量线段的长度就是在直尺上找到到一条线段等于已知线段的长度。2.如图，已知线段AB，请你画线段CD=AB.请简要说说你的画法.【设计说明】：回忆利用直尺画已测量的线段的长度即将笔尖从直尺零刻度线在直尺上滑动，滑动到所度量的刻度，确定第二个端点即可。【再忆】如图，已知线段a,b（a＞b），请你利用直尺和圆规作线段AB=a+b、CD=a-b、EF=2a+b.【设计说明】：复习尺规作图作线段的和差倍作法，为学习尺规作图作角作铺垫。画一画量角器量角、画角1.画一个角等于∠AOB2.归纳总结：量角器量角的步骤：a.中心对顶点；b.零线对一边；C.它边看度数；3.数学抽象：师生共同从利用量角器测量角的度数的步骤中抽象出几何图形，教师利用几何画板动态操作演示，并用阴影部分呈现.【设计说明】：以学生熟悉的量角器度量已知角、画已知度数的角，旨在引导学生在使用量角器画角其关键是：确定三个点（角的顶点O、量角器零刻度线和半圆弧的交点C、笔尖在半圆弧上滑动到示数的刻度点D），为后面利用尺规作图作角埋下伏笔。（三）作一作活动1无刻度的直尺和圆规画角1.请利用无刻度的直尺和圆规画角作∠A’O’B’=∠AOB步骤：(1)作射线O′A′.(2)以点O为圆心，任意长为半径画弧交OA于点C，交OB于点D；(3)以点O′为圆心，OC长为半径画弧,交O′A′于点C′；(4)以点C′为圆心,CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′；(5)过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角.2.师生共研，数学抽象：【设计说明】：作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”，先画一条射线,再作三次弧.其中前两次弧半径相同,而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径.类比量角器量角的方法，师生共同完成操作，实际引导学生明确尺规作图也是找三点：顶点O’、边上的点C’(与量角器零刻度线和半圆弧的交点C一致）、边上的点D’（与笔尖在半圆弧上滑动到示数的刻度点D一致），巧妙的探究了问题的本质和两种作图间的本质联系。教师通过几何画板逐步展示画法和步骤，并进一步分析问题的本质为图中两个三角形可以重合，即为已经学习的三角形全等条件（SSS）.知一知（数学文化）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：（1）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；（2）圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。介绍尺规作图的三大问题：三等分任意角、倍立方问题、画圆为方。【设计说明】渗透尺规作图数学史的介绍，激发学生对数学的尊敬，教师介绍尺规作图的三大问题是为了激起学生想学好数学的愿望，立志努力学习，解决更多需要解决的数学问题。（四）折一折1.折角数学实验（一）（1）折叠任意三角形纸片；（2）折叠1次；（3）使其中一边完全落在另一边上，你有什么发现？数学思考：无刻度的直尺和圆规作已知角的平分线作法：1.以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D；2.分别以点C、D为圆心，大于(1/2)CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点M；3.作射线OM.OM就是∠AOB的角平分线.【设计说明】：学习尺规作图作一个角等于已知角时学生已经积累了一定的数学经验，此活动安排的目的让学生明白，角平分线可以通过折纸折出来，通过观察折叠后的纸片，可发现只需在角的两边和角的内部找到关键的点即可找到角的平分线，而这些关键点即可通过尺规作图的方法解决，也可以从SSS全等的角度加以诠释说明。变式：已知∠AOB为平角，利用尺规作图过点O作直线AB的垂线。2.折线段数学实验（二）（1）折叠任意三角形纸片；（2）折叠1次；（3）使其中一个顶点与另一个顶点重合你有什么发现？数学思考：无刻度的直尺和圆规作已知线段的垂直平作法：1.分别以点A、B为圆心，大于(1/2)AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；2.过C、D两点作直线.直线CD就是线段AB的垂直平分线.变式：已知直线AB和直线外一点C，用尺规作图过点C作直线AB的垂线（五）悟一悟1．通过本节课的学习：（1）对自己说，你有哪些收获？（2）对同学说，你有哪些经验？（3）对老师说，你有哪些困惑？【设计说明】引导学生进一步明确这节课的教学内容：1.本节课主要学习了用无刻度的直尺和圆