专题6.3+反比例函数（分层练习）（提升练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第第页专题6.3反比例函数（分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023秋·浙江杭州·九年级开学考试）下列各点在反比例函数图象上是（

）A． B． C． D．2．（2020秋·九年级课时练习）矩形的面积为8cm2，这时长ycm与宽xcm之间的函数关系应是（

）．A． B．（x＞0）C．y=kx D．无函数关系3．（2016秋·九年级课时练习）若是反比例函数，则必须满足（

）A． B． C．或 D．且4．（2022春·九年级课时练习）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数的图象可能经过点（）A．（3，1） B．（0，3） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1）5．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把的P'（，）称为点P的“倒影点”．直线y=﹣2x+1上有两点A、B，它们的倒影点A'、B'均在反比例函数y的图象上，若AB，则k的值为（）A． B． C．5 D．106．（2019春·九年级课时练习）如果a和b+3成反比例，且当b=3时，a=1，那么当b=0时，a的值是（

）．A．0 B．1 C．2 D．37．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段OA的垂直平分线交OC于点B，则周长的值是（

）A．3 B． C．4 D．8．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知点在双曲线上，动点P在y轴正半轴上，将点A绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为（

）A． B．或 C．或 D．或9．（2023春·全国·八年级专题练习）函数的图像可以由的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（

）A．经过点且平行于轴的直线B．经过点且平行于轴的直线C．经过点且平行于轴的直线D．经过点且平行于轴的直线10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图直角三角板∠ABO＝30°，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的y1＝图象上，顶点B在函数y2＝的图象上，则＝（）

A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023秋·九年级课时练习）如果x与y成反比例,而y与成反比例,那么x与z之间的关系式为．12．（2023·陕西宝鸡·统考三模）若点在反比例函数的图像上，则代数式．13．（2022春·九年级课时练习）若以方程的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为．14．（2019秋·北京朝阳·九年级北京市陈经纶中学分校校考期中）我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积一定时，长是宽的反比例函数，其函数关系式可以写为为常数，．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：；函数关系式：．15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E．若点，则的面积为．16．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的平行线．已知点A坐标为，结合函数图象可知，当时，的取值范围是．

17．（2023·江苏盐城·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点都在反比例函数的图像上，过点B作x轴垂线，垂足为C，作直线，交y轴于点D，则点D的坐标为．

18．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（填序号即可）．①方程是倍根方程；②方程是倍根方程；③若是倍根方程，则；④若点（p，q）在反比例函数的图象上，则关于x方程是倍根方程．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym．（1）直接写出y与x的函数关系式为______；（2）现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．20．（8分）（2019春·九年级课时练习）已知y=－，又与x的算术平方根成正比例，与x的平方成反比例，，当x=1时，y=0；x=2时，y=，求y关于x的表达式．21．（10分）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点A的坐标为（0，4），BA=OA，BA⊥y轴，反比例函数（x＜0）的图象经过点B，点C在线段AB上运动（不与点A，B重合），过点作DE⊥x轴于点E，交反比例函数图象于点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE，连接OC，FC，BD，且点为线段AB的中点．（1）求k的值；（2）求证：OC=BD；（3）求直线CF的解析式．22．（10分）（2022春·全国·九年级专题练习）类比学习反比例函数的过程与方法，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下：x…―3―2―1123…y…m24421…（1）①列表：其中，m的值为______；②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点．已画出部分图像，请补全函数图像：③根据函数图象，写出该函数的一条性质______．（2）利用图像直接写出当时，x的取值范围是______．23．（10分）（2023·山东济南·统考一模）如图，在矩形中，，，分别以，所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交于点E，交于点F，．（1）求k的值与点F的坐标；（2）在x轴上找一点M，使的周长最小，请求出点M的坐标；（3）在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）（2023春·江苏·八年级专题练习）平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点根据定义，解答下列问题：（1）点的“可控变点”为点________．（2）点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________．（3）若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标．参考答案1．A【分析】将每个选项中的坐标代入反比例函数解析式中，能够使得等式成立的选项则在函数图象上．解：A、将代入中得：，故本选项符合题意；B、代入中得：，故本选项不符合题意；C、代入中得：，故本选项不符合题意；D、代入中得：，故本选项不符合题意；故选：A．【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的点坐标特点解决问题．2．B【分析】根据矩形的面积公式和反比例函数定义即可解答.解：由矩形的面积公式得：8=xy，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为（x＞0），是反比例函数，且图像只在第一象限，所以x＞0.故选B.【点拨】本题考查反比例函数的相关知识；注意有实际意义的函数自变量x>0．3．D解：根据反比例函数的定义，有m（m-3）≠0，所以m≠3且m≠0.故选D.4．D【分析】由方程根的情况可求得m的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m＜0，解得m＜﹣1，∴m+1＜0，∴反比例函数的图象经过二、四象限，∴反比例函数的图象可能经过点（﹣3，1），故选：D．【点拨】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m的取值范围是解题的关键．5．A【分析】设点A（a，-2a+1），B（b，-2b+1）（a＜b），则A'（，），B'（，），由AB可得出b=a+1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．解：设点A（a，﹣2a+1），B（b，﹣2b+1）（a＜b），则A'（，），B'（，）．∵AB（b﹣a），∴b﹣a=1，即b=a+1．∵点A'，B'均在反比例函数y的图象上，∴k••，解得：k．故选：A．【点拨】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键．6．C【分析】设a=（k≠0），然后把b=3，a=1代入可得k的值，进而得到函数解析式，然后再代入b=0求出a即可．解：设a=（k≠0），∵当b=3时，a=1，∴1=解得：k=6，∴a=把b=0代入a=中得：a=2，故选C．【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，解题关键是掌握用待定系数法求反比例函数的解析式的步骤．7．C【分析】将点代入双曲线求出k得到A坐标．利用垂直平分线性质得到，即可求出周长．解：∵点在双曲线上，∴，即，由图可得：，，∵线段OA的垂直平分线交OC于点B，∴，∴周长，故选：C．【点拨】本题考查反比例函数，垂直平分线的性质，解题的关键是求出A点坐标，利用垂直平分线性质证明．8．D【分析】先把代入反比例函数求出的值，分别过、两点作轴的垂线，，由旋转的性质证明，再设，即可得出的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求的值，确定点坐标．解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、，是双曲线上一点，，反比例函数的解析式为，，，又，，在和中，，，，，设，,,，点在双曲线上，，解得或，或．故选：D．【点拨】本题考查的是反比例函数图象的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数图象的性质是解答此题的关键．9．D【分析】分别计算对应的自变量的值或函数值即可判断．解：A、当y=2时，，解得x=，故直线y=2与函数的图像有公共点；B、当y=-3时，=-3，解得x=0，故直线y=-3与函数的图像有公共点；C、当x=-1时，，故直线x=-1与函数的图像有公共点；D、分式有意义的条件是x≠1，∴函数的图像与直线x=1没有公共点；故选：D．【点拨】此题考查了求函数值或求自变量的值，分式有意义的条件，正确计算是解题的关键．10．D【分析】设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，即可求的值．解：设AB与x轴交点为点C，Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，∴∠OAC＝60°，∵AB⊥OC，∴∠ACO＝90°，∴∠AOC＝30°，设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，∴A（a，a），∵A在函数y1＝的图象上，∴k1＝a×a＝a2，Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a，∴BC＝＝3a，∴B（a，﹣3a），∵B在函数y2＝的图象上，∴k2＝﹣3a×a＝﹣3a2，∴＝，故选：D．

【点拨】此题考查反比例函数的性质，勾股定理，直角三角形的性质，设AC＝a是解题的关键，由此表示出其他的线段求出k1与k2的值，才能求出结果.11．【分析】先根据题意得到y与x之间的关系式，z与y之间的关系式，进而得到z与x之间的关系式即可．解：∵x与y成反比例,而y与成反比例,∴x=,y=，把y=带入x=得：故答案为.【点拨】本题考查反比例函数的定义，解题关键是根据题意正确列出关系式.12．【分析】由点A在反比例函数图像上，可以求出的值，然后再代入计算即可．解：∵点在反比例函数的图像上，∴，即，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，理解点在反比例函数图像上可以得出点的横纵坐标之积为定值是解答本题的关键．13．-2【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解．解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上，∴设方程的两个根分别为，∴＝，即，∴解得：∵，∴，∴．故答案为：-2．【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数．14．当路程一定时，速度是时间的反比例函数（为常数）试题分析：根据题意要求，结合实际生活写出即可．如：行程问题中的v=（s为常数），等等．当路程s一定时，速度v是时间t的反比例函数；函数关系式为：v=（s为常数）．答案不唯一．考点：反比例函数的应用．15．10【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4），利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，根据线段中点坐标公式得出E（x，4），根据两点坐标求得AD，AB的长，由勾股定理得，列出方程，求出x，得出点E坐标，得出DE的长，即可得出答案．解：∵轴，，∴B、D两点纵坐标相同，∴设B（x，4），∵矩形ABCD对角线的交点E，∴E为BD中点，∠DAB=90°，∴E（x，4），∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴AD=，AB=，BD=x，∵∠DAB=90°，∴，∴，解得x=10，∴E（5，4），∴，∴．故答案为：10．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中点坐标公式．设B（x，4），列出关于x的方程，求出x的值，是解题的关键．16．或【分析】根据题意，求对应直线l左侧图象函数值的取值范围．解：时，对应函数图象在直线l左侧，两部分，或故答案为：或【点拨】本题考查反比例函数的图象，确定自变量取值范围对应的函数图象部分是解题的关键．17．【分析】过点A作轴于点E，首先根据题意得到，，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，即可求出点D的坐标．解：如图所示，过点A作轴于点E，

∵点都在反比例函数的图像上，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，轴，∴，∴，，∴，∴，即，∴，∴解得，∴．故答案为：．【点拨】此题考查了反比例函数图象上点的特征，相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．18．②③④【分析】①②均是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出③中方程的两个根，根据倍根方程的定义，分两种情况求出m和n的关系，代入后面的式子即可判断，④根据点在反比例函数的图象上，可以求出p和q的关系，代入解方程即可判断对错．解：①方程的解为，此方程不是倍根方程，此结论错误；②方程的解为，此方程是倍根方程，此结论正确；③∵是倍根方程，且，∴或，∴或，∵，此结论正确．④关于x的一元二次方程是“倍根方程”，理由：∵点（p，q）在反比例函数的图象上，∴，解方程得：，∴，此结论正确；故答案为：②③④．【点拨】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键．19．（1）；（2）22m【分析】（1））利用矩形的面积计算公式可得出xy=60，变形后即可得出结论；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x=5和x=6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x=6的设计方案，再将其代入2x+y中即可求出此栅栏的总长．（1）解：根据题意得：，∴y与x的函数关系式为：，故答案为：；（2）解：当x=5时，，∵，∴不符合题意，舍去；当x=6时，，∵，∴符合题意，此栅栏总长为：；答：应选择x=6的设计方案，此栅栏总长为22m．【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值．20．【分析】得到y1与x的算术平方根的关系式，y2与x的平方的关系式，进而得到y与x的关系式，把x，y的两组值代入所得解析式，求得相关的比例系数的值即可．解：∵y1与x的算术平方根的关系，y2与x的平方的关系，∴设y1=k1，y2=，∵y=y1-y2，∴y=k1-，∵当x=1时，y=0；x=2时，y=，∴解得k1=4+1，k2=4+1，∴．【点拨】考查用待定系数法求函数解析式；用到的知识点为：正比例函数的一般形式为y=kx（k≠0）；反比例函数的一般形式为y=（k≠0）．21．（1）k=-16；（2）见分析；（3）．【分析】（1）由题意可知B点坐标，代入反比例函数的解析式可求；（2）根据两点间距离公式求出BD和OC的值即可；（3）用待定系数法将C、F点坐标代入即可求解．（1）解：由题意可知，B点坐标为（-4，4），把B（-4，4）代入得，，∴k=-16，（2）解：∵为线段AB的中点，∴C点坐标为（-2，4），∴D点横坐标为-2，代入=，∴BD=，∵OC=，∴BD=OC；（3）解：由题意得：EF=DE=8，∴F点坐标为（-10，0）设直线CF的解析式为y=mx+b，则，解得，∴直线CF的解析式为．【点拨】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，两点间距离公式，熟练掌握反比例函数的点坐标特征是解题的关键．22．（1）①1；②见分析；③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（2）或【分析】（1）①把x=-2代入，即可求得m的值；②首先描点，再连线即可画得；③根据函数图象即可写得；（2）根据函数图象及表格即可求得．（1）解：①把x=-2代入，得，故答案为：1；②画图如下：③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；故答案为：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（2）解：当时，即，得，或故答案为：或．【点拨】本题考查了画函数图象的方法，求函数的解析式，根据函数图象写出函数的性质，求自变量的取值范围，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．23．（1），；（2）；（3）点P的坐标为或或或【分析】（1）在矩形中，，，则，，再把E坐标代入，即可求出点F的坐标；（2）的周长最小，即线段最短，所以作点F关于x轴的对称点，则，建立的函数