一次函数-培优提高班-浙教版

7.1函数 【例题分析】例1：如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，如图所示的图象中最符合故事情景的是（）A．B．C．D．变式1：某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）

A．到达学校时共用时间20分钟B．自行车发生故障时离家距离为1000米C．学校离家的距离为2000米D．修车时间为15分钟例2：商店要出售一种商品，出售时要在进价的基础上加上一定的利润，其销售量x（千克）与售价y（元）之间的关系如下表．

（1）写出用含x的式子表示售价y的计算公式；

（2）此商品的销售量为10千克时，售价为多少？

（3）当售价为26.05元时，商品的销售量为多少千克？销售量x/千克售价y/元11+0.3+0.0522+0.6+0.0533+0.9+0.0544+1.2+0.05……变式2：某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表格），你能根据这些数据，探究空气中的声速随温度变化的规律吗？温度/℃-20-100102030声速/m/s318324330336342348写出速度v与温度t之间的关系；

（2）当t=2.5℃时，求声音的传播速度。例3：如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．已知墙宽10m，求长方形空地的长y关于宽x的函数关系式，并求自变量的取值范围。

变式3：如图，正方形ABCD的边长为4，有一点P在BC上运动，设PB=x，梯形APCD的面积为y．（1）写出y与x的函数关系式；

（2）点P在什么位置时，y的值为20。

例4：根据如图所示的程序计算变量y的值，若输入自变量x的值为，则输出的结果是多少；若输出的结果是，则输入的值为多少？

变式4：如图是一个数值运算程序．

①当输入x的值为3时，则输出的结果y=．

②当输出的结果y的值为3时，输入x的值为．例5：小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏．假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦0.5元．

（1）设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用；（注：费用=灯的售价+电费）

（2）小刚想在这两种灯中选购一盏，试用特殊值推断：

照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；

照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低；

（3）小刚想在这两种灯中选购两盏，假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由．变式5：某乒乓球训练馆准备购买n副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k≥3）个乒乓球．已知A、B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：

（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？

（2）当k=12时，请设计最省钱的购买方案．【课堂练习】均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是图中（）A．B．C．D．三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线．现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息，其中正确的说法有（填序号如①②③④）．

3、鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：

（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码）鞋长（cm）16192124鞋码（号）22283238（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上；

（2）求x、y之间的函数关系式；

（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放．记第n个图中小黑点的个数为y．则y与n的函数关系式为．

5、如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积y（cm2）与MA长度x（cm）之间的函数关系式是，当MA=1cm时，重叠部分的面积是．6、“一方有难，八方支援”．在抗击“5.12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据右表提供的信息，解答下列问题：物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量（吨）654每吨所需运费（元/吨）120160100设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；

（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；

（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费．7.2一次函数的图象与性质【例题分析】例1：如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（）A．B．C．D．变式1：已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．例2：在直角坐标系中画出和的图象，并根据图象回答问题：（1）什么时候函数的值小于零？什么时候函数的值大于零？（2）什么时候？什么时候？变式2：已知整数x满足-5≤x≤2，y1=x+3，y2=-2x+6，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）A．2B．4C．5D．16例3：已知直线y1=k1x1+b1经过原点和点（-2，-4），直线y2=k2x2+b2经过点（1，5）和点（8，-2）

（1）求y1和y2的函数关系式；

（2）若两直线相交于M，求点M的坐标；

（3）若直线y2与x轴交于点N，试求△MON的面积． 变式3：1、已知某一次函数的图象与正比例函数平行，且通过点A（0，4）．

（1）求出此一次函数的解析式；

（2）若点（-8，m）和点（n，5）在一次函数的图象上，求m、n的值；

（3）x在什么范围内取值时，这个一次函数的值是正数？2、已知一次函数的图象经过点（1，-2）和（3，2）（1）求次一次函数的解析式；（2）若一条直线与此一次函数相交于A（4，a）点，且与y轴交点的纵坐标为6，求这条直线的解析式；（3）求这两条直线的交点A和这两条直线与x轴的交点所构成的三角形的面积。例4：为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x（吨）与应付水费（元）的函数关系如图．

（1）求出当月用水量不超过5吨时，y与x之间的函数关系式；

（2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少？变式4：在人畜饮水工程实施过程中，我县某村修建了一个大型蓄水池，蓄水池附有进、出各一个水管，为了测试进、出水管的流量，从某时刻开始的4小时内，只进水不出水，在随后的8小时内既进水又出水，得到水量y（立方米）与时间x（小时）之间的关系如图所示．

（1）试根据图象提供的信息，计算进、出水管每小时的流量．

（2）若12小时后，只出水不进水，求y与x的函数关系式，并求出何时可将水池里的水排放完．例5：已知正比例函数y=k1x和一次函数y=k2x+b的图象相交于点A（8，6），一次函数与x轴相交于B点，且OB=OA，求这两个函数的解析式．变式5：已知正比例函数与一个一次函数的图象相交于点A（3，4），且一次函数的图象与y轴相交于点B。O为坐标原点，且△AOB是以OA为腰的等腰三角形。

（1）求正比例函数的解析式；分别求出一次函数的解析式和△AOB的面积。【课堂练习】1、在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）A.一、二、三象限B.二、三、四象限C.一、三、四象限D.一、二、四象限2、如图，已知点A（1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为．3、两个一次函数y1=mx+n，y2=nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A．B．C．D．4、直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，A、B两点到直线的距离均为2，则满足条件的直线的条数为。5、如果一次函数y=kx+b的自变量x取值范围是-3≤x≤2，相应的函数值的范围是-8≤y≤5，求此函数解析式．6、如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（-2，-1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．

（1）求该一次函数的解析式；

（2）求线段CD的长；

（3）求出∠AOB的度数．7、甲乙两人同时登西山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲登山的速度是每分钟米，乙在A地提速时距地面的高度b为米．

（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．

（3）登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A地的高度为多少米？7.3一次函数的简单应用【例题分析】例1：如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．

（1）求b的值；

（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由变式1：利用图象，求二元一次方程组的解。例2：已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套．已知做一套甲型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套乙型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产甲型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．

（1）写出y（元）与x（套）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）雅美服装厂在生产这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大，最大利润是多少元？变式2：A市和B市各有机床12台和6台，现运往C市10台，D市8台。若从A市运1台到C市和D市各需要4万元和8万元，从B市运1台到C市和D市各需要3万元和5万元。设B市运往C市x台，求总费用y关于x的函数关系式；若总费用不超过90万元，问共有多少种调运方法？问总费用最低调运方法，需费用是多少万元？例3：某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数图象，根据图象回答下列问题：

（1）求在第一个加工过程中，油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止；

（3）加工完这批工件，机器耗油多少升？变式3：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图．

请结合图象，回答下列问题：

（1）根据图中信息，请你写出一个结论；

（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？

（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．例4：某汽车生产厂家对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中油箱中的余油量y（升）与行驶时间t（小时）的关系如下表，与行驶路程x（千米）的关系如下图．请你根据这些信息求此型车在实验中的平均速度．行驶时间t（小时）0123油箱余油量y（升）100846852变式4：某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某树苗公司提供如下信息：

信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，且要求购买杨树、丁香树的数量相等．

信息二：如下表：树苗杨树丁香树柳树每棵树苗批发价格（元）323两年后每棵树苗对空气的净化指数0.40.10.2设购买杨树、柳树分别x株、y株．

（1）用含x的代数式表示y；

（2）若购买这三种树苗的总费用为w元，要使这500株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数之和不低于120，试求w的取值范围．例5：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC。求△ABC的面积；如果在第二象限内有一点P（a，），试用a的代数式表示四边形ABPO的面积，并求当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。变式5：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点P（a，），且△ABP的面积与△ABC的面积相等。求a的值；在x轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由。【课后作业】1、如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A⇒B⇒C⇒D⇒A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．3、某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：

煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其它费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其它费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完．设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．

（1）写出m与x之间的关系式；

（2）写出y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量的范围）；

（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多少？产品资源甲乙矿石（t）104煤（t）484、如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂