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文档简介

2022-2023学年甘肃省兰州市高三下学期3月统一联合考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,为图象的对称中心,若图象上相邻两个极值点,满足,则下列区间中存在极值点的是()A. B. C. D.2.已知点,点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为()A. B. C. D.43.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.4.各项都是正数的等比数列的公比,且成等差数列,则的值为()A. B.C. D.或5.把函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.给出下列四个命题①的值域为②的一个对称轴是③的一个对称中心是④存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是()A.1 B.2 C.3 D.46.已知盒中有3个红球,3个黄球,3个白球,且每种颜色的三个球均按,,编号,现从中摸出3个球(除颜色与编号外球没有区别),则恰好不同时包含字母,,的概率为()A. B. C. D.7.设等差数列的前项和为,若,,则()A.21 B.22 C.11 D.128.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()A.2 B. C.4 D.9.已知集合,,则中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.010.函数的图象大致为()A. B.C. D.11.设,且,则()A. B. C. D.12.双曲线的一条渐近线方程为,那么它的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,则=___________,_____________________________14.设函数,若对于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,则实数a的取值范围是.15.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点,且的最小值为,则该双曲线的离心率是__________.16.已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和,则该圆锥的体积为________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设复数满足(为虚数单位),则的模为______.18.(12分)已知数列满足:对任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比数列,求的通项公式;(3)设,,求证:若成等差数列,则也成等差数列.19.(12分)如图,是矩形,的顶点在边上,点,分别是,上的动点(的长度满足需求).设,,,且满足.(1)求;(2)若,,求的最大值.20.(12分)已知三棱柱中,,是的中点,,.(1)求证:;(2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的短轴长为,直线与椭圆相交于两点,线段的中点为.当与连线的斜率为时,直线的倾斜角为(1)求椭圆的标准方程;(2)若是以为直径的圆上的任意一点,求证:22.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,,为等边三角形,平面平面ABCD,M,N分别是线段PD和BC的中点.(1)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)试判断直线MN与平面PAB的位置关系,并给出证明.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

结合已知可知,可求,进而可求,代入,结合,可求,即可判断.【详解】图象上相邻两个极值点,满足,即,,,且,,,,,,当时,为函数的一个极小值点,而.故选:.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用,解题的关键是性质的灵活应用.2、D【解析】

如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.3、D【解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.4、C【解析】分析:解决该题的关键是求得等比数列的公比,利用题中所给的条件,建立项之间的关系,从而得到公比所满足的等量关系式,解方程即可得结果.详解:根据题意有,即,因为数列各项都是正数,所以,而,故选C.点睛:该题应用题的条件可以求得等比数列的公比,而待求量就是,代入即可得结果.5、C【解析】

由图象变换的原则可得,由可求得值域;利用代入检验法判断②③;对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.【详解】由题,,则向右平移个单位可得,,的值域为,①错误;当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确;当时,,所以的一个对称中心是,③正确;,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.6、B【解析】

首先求出基本事件总数,则事件“恰好不同时包含字母,,”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母,,”,记事件“恰好不同时包含字母,,”为,利用对立事件的概率公式计算可得;【详解】解:从9个球中摸出3个球,则基本事件总数为(个),则事件“恰好不同时包含字母,,”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母,,”记事件“恰好不同时包含字母,,”为,则.故选:B【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了排列组合的知识,解答的关键在于正确理解题意,属于基础题.7、A【解析】

由题意知成等差数列,结合等差中项,列出方程,即可求出的值.【详解】解:由为等差数列,可知也成等差数列,所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质,考查了等差中项.对于等差数列,一般用首项和公差将已知量表示出来,继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大,如果能结合等差数列性质,可使得计算量大大减少.8、A【解析】

对复数进行乘法运算,并计算得到,从而得到虚部为2.【详解】因为,所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意.9、C【解析】

集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立方程组求得方程组解的个数,即为交集中元素的个数.【详解】由题可知:集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立与,可得,整理得,即,当时,,不满足题意;故方程组有唯一的解.故.故选:C.【点睛】本题考查集合交集的求解,涉及圆和直线的位置关系的判断,属基础题.10、A【解析】

确定函数在定义域内的单调性,计算时的函数值可排除三个选项.【详解】时,函数为减函数,排除B,时,函数也是减函数,排除D,又时,,排除C,只有A可满足.故选:A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,可通过解析式研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等等排除,可通过特殊的函数值,函数值的正负,函数值的变化趋势排除,最后剩下的一个即为正确选项.11、C【解析】

将等式变形后,利用二次根式的性质判断出,即可求出的范围.【详解】即故选:C【点睛】此题考查解三角函数方程,恒等变化后根据的关系即可求解,属于简单题目.12、D【解析】

根据双曲线的一条渐近线方程为,列出方程,求出的值即可.【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为,可得,∴,∴双曲线的离心率.故选:D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、−196−3【解析】

由二项式定理及二项式展开式通项得:,令x=1,则1+a0+a1+…+a7=(1+1)×(1-2)7=-2,所以a0+a1+…+a7=-3,得解.【详解】由二项式(1−2x)7展开式的通项得,则,令x=1,则,所以a0+a1+…+a7=−3,故答案为:−196,−3.【点睛】本题考查二项式定理及其通项,属于中等题.14、【解析】试题分析:由题意得函数在[2,上单调递增,当时在[2,上单调递增;当时在上单调递增;在上单调递减,因此实数a的取值范围是考点:函数单调性15、【解析】

根据双曲线方程,设及,将代入双曲线方程并化简可得,由题意的最小值为,结合平面向量数量积的坐标运算化简,即可求得的值,进而求得离心率即可.【详解】设点,,则,即,∵,,,当时,等号成立,∴,∴,∴.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线与向量的综合应用,由平面向量数量积的最值求离心率,属于中档题.16、【解析】

依据圆锥的底面积和侧面积公式,求出底面半径和母线长,再根据勾股定理求出圆锥的高,最后利用圆锥的体积公式求出体积。【详解】设圆锥的底面半径为,母线长为,高为,所以有解得,故该圆锥的体积为。【点睛】本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、1【解析】

整理已知利用复数的除法运算方式计算,再由求模公式得答案.【详解】因为,即所以的模为1故答案为:1【点睛】本题考查复数的除法运算与求模,属于基础题.18、(1)3;(2);(3)见解析.【解析】

(1)依据下标的关系,有,,两式相加,即可求出;(2)依据等比数列的通项公式知,求出首项和公比即可。利用关系式,列出方程,可以解出首项和公比;(3)利用等差数列的定义,即可证出。【详解】(1)因为对任意,都有,所以,,两式相加,,解得;(2)设等比数列的首项为,公比为,因为对任意,都有,所以有,解得,又,即有,化简得,,即,或,因为,化简得,所以故。(3)因为对任意,都有,所以有,成等差数列,设公差为,,,,,由等差数列的定义知,也成等差数列。【点睛】本题主要考查等差、等比数列的定义以及赋值法的应用,意在考查学生的逻辑推理,数学建模,综合运用数列知识的能力。19、(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理和余弦定理化简,根据勾股定理逆定理求得.(2)设,由此求得的表达式,利用三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)设,,,由,根据正弦定理和余弦定理得.化简整理得.由勾股定理逆定理得.(2)设,,由(1)的结论知.在中,,由,所以.在中,,由,所以.所以,由,所以当,即时,取得最大值,且最大值为.【点睛】本小题考查正弦定理,余弦定理,勾股定理,解三角形,三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转换思想,应用意识.20、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)取的中点,连接,,证明平面得出,再得出;(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算,即可得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分别是,的中点,,.(2)解:四边形是正方形,,又,,平面,平面,在平面内作直线的垂线,以为原点,以,,为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得:,,,,.直线与平面所成角的正弦值为,.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质,考查空间向量与空间角的计算,属于中档题.21、(1);(2)详见解析.【解析】

(1)由短轴长可知,设,,由设而不求法作差即可求得,将相应值代入即求得,椭圆方程可求;(2)考虑特殊位置,即直线与轴垂直时候,成立,当直线斜率存在时,设出直线方程,与椭圆联立,结合中点坐标公式,弦长公式,得到与的关系,将表示出来,结合基本不等式求最值,证明最后的结果【详解】解:(1)由已知,得由,两式相减,得根据已知条件有,当时,∴,即∴椭圆的标准方程为(2)当直线斜率不存在时,,不等式成立.当直线斜率存在时,设由得∴,∴由化简,得∴令,则当且仅当时取等号∴∵∴当且仅当时取等号综上,【点睛】本题为直线与椭圆的综合应用,考查了椭圆方程的求法,点差法处理多未知量问题,能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式,要求学生计算能力过关,为较难题22、(1)(2)(3)直线平面,证明见解析【解析】

取中点,连接,则,再由已知证明平面,以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量.(1)求出的坐标,由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值;(2)求出平面的一个法向量,再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值;(3)求出的坐标,由,结合平面,

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