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文档简介
山东省高三开学质量检测数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则().A. B. C. D.2.已知复数,为的共轭复数,则().A. B. C. D.3.马林·梅森(MarinMersenne,1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作,人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如(其中是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过40的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是().A. B. C. D.4.已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布,估计这些考生成绩落在的人数约为().(附:,则,)A.36014 B.72027 C.108041 D.1682225.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题,现将1到1009这1009个数中,能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则该数列共有().A.100项 B.101项 C.102项 D.103项6.已知中,,,,动点自点出发沿线段运动,到达点时停止,动点自点出发沿线段运动,到达点时停止,且动点的速度是动点的2倍.若二者同时出发,且一个点停止运动时,另一个点也停止,则该过程中的最大值是().A. B.4 C. D.237.已知直线恒在函数的图象的上方,则的取值范围是().A. B. C. D.8.已知,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的取值范围是().A. B. C. D.二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.若,,且,则下列不等式恒成立的是().A. B. C. D.10.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,且,则下列说法正确的是().A.为奇函数B.C.当时,在上有4个极值点D.若在上单调递增,则的最大值为511.已知双曲线,过其右焦点的直线与双曲线交于两点,,则().A.若,同在双曲线的右支,则的斜率大于B.若在双曲线的右支,则最短长度为2C.的最短长度为D.满足的直线有4条12.如图,在直三棱柱中,,,,点,分别是线段,上的动点(不含端点),且,则下列说法正确的是().A.平面B.四面体的体积是定值C.异面直线与所成角的正切值为D.二面角的余弦值为三、填空题:13.高三一班周一上午有四节课,分别安排语文、数学、英语和体育.其中语文不安排在第一节,数学不安排在第二节,英语不安排在第三节,体育不安排在第四节,则不同的课表安排方法共有______种.14.已知四面体中,,,,则其外接球的体积为______.15.已知数列满足,的前项的和记为,则______.16.某中学开设了剪纸艺术社团,该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆,其半径分别为,,(单位:),则三个圆之间空隙部分的面积为______.四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)数列,表示不超过的最大整数,求的前1000项和.18.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知的内角,,所对的边分别是,,,若______.(1)求角;(2)若,求周长的最小值,并求出此时的面积.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.如图,在几何体中,底面,,,,,,,,,设点在棱上,已知平面.(1)求线段的长度;(2)求二面角的余弦值.20.2020年1月底,为严防新型冠状病毒疫情扩散,有效切断病毒传播途径,坚决遏制疫情蔓延势头,确保人民群众生命安全和身体健康,多地相继做出了封城决定.某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表:日期(1月)23日24日25日26日27日28日29日人数(人)611213466101196由上述表格得到如散点图((1月23日为封城第一天).(1)根据散点图判断与(,均为大于0的常数)哪一个适宜作为累计确诊人数与封城后的天数的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);并根据上表中的数据求出回归方程;(2)随着更多的医护人员投入疫情的研究,2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性(阳性则确诊),但观其CT肺片具有明显病变,这一提议引起了广泛的关注,2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本,假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的,且每份样本是阳性样本的概率为,核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是(核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况,但不会把阴性检测呈阳性),求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望.参考数据:2535其中,,参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.21.已知椭圆过点,且该椭圆的一个短轴端点与两焦点,为等腰直角三角形的三个顶点.(1)求椭圆的方程;(2)设直线不经过点且与椭圆相交于,两点.若直线与直线的斜率之积为1,证明:直线过定点.22.已知函数,.(1)若的最大值是0,求函数的图象在处的切线方程;(2)若对于定义域内任意,恒成立,求的取值范围.
参考答案1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D9.CD 10.BCD 11.BD 12.ACD13.9 14. 15.3 16.17.解:(1)当时,,当时,,将代入上式验证显然适合,所以.(2)因为,,,,所以,所以.18.解:选① 由正弦定理得,∵,∴,即,∵,∴,∴,∴.选② ∵,,由正弦定理可得,∵,∴,∵,∴.选③ ∵,由已知结合正弦定理可得,∴,∴,∵,∴.(2)∵,即,∴,解得,当且仅当时取等号,∴,周长的最小值为6,此时的面积.19.解:以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由,,,,,易知.则,,,,,,(1)设,因为平面,所以,,.,解得,所以线段的长度为1.(2)设是平面的一个法向量,,,则,可取,同理,设是平面的一个法向量,则,可取.则,显然二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为.20.解:(1)由散点图可知选择,由两边同时取常用对数得,设,∴.计算,,,,把样本中心点代入得.∴,∴关于的回归方程为.(2)这1000份样本中检测呈阳性的份数为,则每份检测出阳性的概率,由题意可知,∴(人),故这1000份样本中检测呈阳性份数的期望为693人.21.解:(1)由题意,,结合,解得,,∴.椭圆方程为.(2)证明:①当直线斜率不存在时,设直线,,,,解得(舍)或(舍),故不满足.②当直线斜率存在时,设,,,联立,整理得.,,. ①则,∴,将①代入上式可得,∴,若,,直线经过点与已知矛盾,若,,存在使得成立.∴直线的方程为,故直线过定点.22.解:(1)的定义域,,
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