《一、圆锥曲线的光学性质及其应用》教学设计(部级优课)-数学教案

圆锥曲线的光学性质及其应用温州市第五十八中学柳静一.教学内容解析本节课内容是人教A版数学选修1-1中第二章《圆锥曲线与方程》章后的一段阅读与思考材料,重点介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质以及它们在生活生产中的广泛应用。它是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学知识与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例。学生在教师的指引下，对材料进行充分地阅读并进行思考，查阅各类资料积累阅读与思考的成果，通过课堂进行分享与交流，既掌握了圆锥曲线的光学性质及其广泛应用，又学会了如何阅读与思考，在分享与交流过程中体验到学习的快乐，这对学生的今后学习、生活有着深远的意义。由于三种曲线的性质可以进行适当的类比，在教学中可突出其中一种曲线进行深入研究。本课重点探讨抛物线的光学性质及其应用，通过类比了解其他曲线的光学性质及其作用。二.教学目标解析(1)了解三种圆锥曲线的光学性质，并能对抛物线的光学性质进行数学证明。(2)能通过对一些生活现象的观察提出数学问题，再用数学的方法加以论证。(3)通过对圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学的抽象性及其广泛的应用性，同时用学到的数学原理进行创新设计的尝试。(4)学会如何阅读、如何思考收集和分析数学有关的材料。三.学情分析学生已学完解析几何全部课本知识，对用解析法解决解析几何问题的思想、方法已基本掌握，另外，学生已学习过导数知识，因此能用导数工具求解切线斜率。同时了解光的传播的反射知识。信息时代的学生知识面比较广，并能熟练利用书籍、电脑搜索各方面的知识。由于人教A版课程中学生不学夹角公式、到角公式，以及初中时未学习过角平分线性质定理，这给光学的反射性质的数学证明带来一定的学习困难。为了突破这一难点，教师引导学生从最熟悉的光在平面的反射入手，渐进到从圆心发出的光经圆反射从而得出光经抛物线反射的光路图，将两线平行最终转化为三角形两边相等，借助导数求出切线方程，得到证明；另一方面在论证上可以有所侧重，本课重点证明简单的抛物线的光学性质，对于双曲线、椭圆的光学性质的论证则留给学生课后自主探究.四.教学过程设计环节一：课前准备，为学生创设自主阅读、交流学习的经历阅读人教A版数学选修2-1:75页至76页有关“圆锥曲线的光学性质及其应用”的阅读材料并思考下列问题1、你从阅读材料中得到了圆锥曲线有哪些光学性质？（你能否做出数学解析）2、圆锥曲线的这些光学性质有怎样的实际应用？（请尽可能多列举）3、你能证明（可查阅资料）抛物线的光学性质吗？已知：抛物线的焦点为F，光线从F点发出，经抛物线上一点M(非原点)反射，反射光线记为MR（反射面是抛物线在点M处的切线L），求证MR∥y轴4、你在阅读“圆锥曲线的光学性质及其应用”时有哪些疑问尚未解决？

环节二：课堂交流，为学生创设合作探究、展示成果的学习经历一：抛物线的光学性质引入：生活中大量运用抛物线对光（波）的反射规律：即抛物线能将焦点处发射出的光反射为平行光，同样也能将平行光线聚焦，这不免让我们思考抛物线为什么会具有这样的光学规律？这让你想起了所学的哪些数学知识？（预设：抛物线，射线，反射，平行等）你能结合所学内容，运用适当数学方法证明该光学规律吗？首先既然是数学问题，你能抽象出该问题的已知条件与结论吗？回忆圆锥曲线的学习经历，我们处理解析几何问题时通常会运用哪些思想方法？（提示：我们在探究圆锥曲线的几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程来研究它们的几何性质，并用坐标法解决几何图像问题）在坐标系中，将上述问题符号化如下：已知：抛物线，从焦点F（0，）处发出的光线经过抛物线上一点反射，求证：反射光线MR平行于y轴你能在图形中找到“反射”所对应的等量关系吗（代数化）？（7）你能结合抛物线与直线的相关知识给出上述证明吗？(证明方法预设：角相等，对称关系)方法难易对比并选择小结：抛物线光学性质的证明方法较多课堂有限，课后学生继续探讨（2014福建省质检）从点M（x0，2）发出的光线沿平行于抛物线y2=4x的轴的方向射向抛物线的点P，反射后经过焦点F及抛物线上的点Q，又射向直线l：x-2y-7=0上的点N，再反射后又射回到点M，求x0小结：从生活现象中抽象出数学问题（体现了数学抽象的思想），将数学问题图形化及符号化处理，转化为解析几何问题（体现了转化的思想），并利用坐标法进行代数运算从而解决几何问题（体现了数形结合的思想以及数学运算、演绎推理的核心素养），最后将结论加以运用（让我们感受数学是有用的）二：椭圆、双曲线的光学性质椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点应用：音乐厅激光消痣与体外碎石技术电影放映机双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出一样床头灯柔光箱（如右图）西西里岛的统治者开凿了一个椭圆形岩洞作为监狱，被关押的犯人不堪忍受折磨，秘密商讨逃跑的计划，可每次的逃跑计划都会很快被看守知道。犯人们百思不得其解，开始相互猜疑，以为内部出现了内奸，其实并非有内奸，而是山洞的形状有奥妙。你能解开这个谜吗?【设计意图】有趣的故事引入，能激发学生学习的兴趣，疑惑会促使思维的延伸预设学生的成果山洞是椭圆形的，从椭圆一个焦点发出的声音经椭圆壁反射汇聚到另一个焦点，犯人们商讨的地方正好位于椭圆的一个焦点上，而看守却位于椭圆的另一个焦点，虽然商讨的声音很小，但经椭圆面墙壁反射后集中到看守所在的位置上，所以看守听得清清楚楚。这个设计很不简单，据说是一位刁尼秀斯的人设计的，后人称之为“刁尼秀斯之耳”（例子中的椭圆，其实是椭球面）声音的传播和光的传播是一样的，都满足波传播的规律。这就是椭圆光学性质的的应用。环节三：课后提出更深入思考，为学生创设应用与创造的学习经历课堂小结谈谈本节课的收获（可以从知识方面及数学思想方法等角度）阅读与思考——课外再提升（1）你能模仿抛物线光学性质的证明，尝试给出椭圆与双曲线的光学性质的证明吗？（2）你能将圆锥曲线的光学性质进行组合，尝试设计一些作品吗？（3）在圆锥曲线中能不能找到其的光学性质？有没有其它的曲线也具有类似的光学性质？（4）如果不是从圆锥曲线的焦点发出的光，经圆锥曲线反射后会怎样呢？【设计意图】课前阅读与思考，课中交流体会，课后升华阅读思考。附：圆锥曲线的光学性质的证明预备定理1.若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：。证明1：由……①1°当时，过点的切线斜率一定存在，且∴对①式求导：∴∴切线方程为…………②∵点在椭圆上故代入②得…………③而当时，切线方程为，也满足③式故是椭圆过点的切线方程.证明2：也可以结合圆的切线方程的结论，以及圆与椭圆的仿射变换来证明定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1）已知：如图，椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于，设，求证：.证法一：在上，，则过点的切线方程为：，是通过点且与切线垂直的法线，则，∴法线与轴交于，∴，∴，又由焦半径公式得：，∴，∴是的平分线，∴，∵，故可得证法二：由证法一得切线的斜率，而的斜率，的斜率，∴到所成的角满足：∵在椭圆上，∴，同理，到所成的角满足，∴而，∴证法三：如图，作点，使点与关于切线对称，连结，交椭圆于点下面只需证明点与重合即可。一方面，点是切线与椭圆的唯一交点，则，是上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为上的其它点均在椭圆外）。另一方面，在直线上任取另一点，∵即也是直线上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而与重合，即而得证预备定理2.若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：证明：由……①1°当时，过点的切线斜率一定存在，且∴对①式求导：∴∴切线方程为…………②∵点在双曲线上，故代入②得…………③而当时，切线方程为，也满足③式故是双曲线过点的切线方程定理2双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）；xy图2.2已知：如图，双曲线的方程为，，分别是其左、右焦点，是过双曲线上的一点的切线，交轴于点，设，xy图2.2求证：证明：，两焦点为，，在双曲线上，则过点的切线，切线与轴交于。由双曲线的焦半径公式得：，双曲线的两焦点坐标为，，故故，∴切线为之角分线。预备定理3.