新教材2023-2024学年高中数学第6章平面向量初步6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理课件新人教B版必修第二册

第六章6.2.1向量基本定理基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.掌握共线向量基本定理,并会简单应用.2.理解平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.3.能够灵活应用向量基本定理解决平面几何问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

共线向量基本定理1.共线向量基本定理如果a≠0且b∥a,则存在

的实数λ,使得

.

在共线向量基本定理中:(1)b=λa时,通常称为b能用a表示.(2)其中的“唯一”指的是,如果还有b=μa,则有λ=μ.这是因为:由λa=μa可知(λ-μ)a=0,如果λ-μ≠0,则a=0,与已知矛盾,所以λ-μ=0,即λ=μ.唯一

b=λa名师点睛对共线向量基本定理的理解(1)共线向量基本定理中条件“a≠0”必不可少,这是因为如果a=0,则一定有b与a共线(零向量与任意向量共线),此时b有两种情况:①b=0;②b≠0.若b=0,此时b=λa中的λ有无数个;若b≠0,此时不存在λ使得b=λa成立.这两种情况违背λ“存在且唯一”的特点.(2)由共线向量基本定理还能得到一个重要的结论:若两个向量a,b不共线,而λa=μb,则说明λ=μ=0.2.三点共线的充要条件如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa.(

)(2)若b=λa,则a与b共线(其中λ为实数).(

)2.若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=

b.

×√3.[人教A版教材习题]判断下列各小题中的向量a与b是否共线:(1)a=-2e,b=2e;(2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2.解

(1)因为a=-b,所以a与b共线.(2)因为b=-2a,所以a与b共线.知识点2

平面向量基本定理1.平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b

,则对该平面内任意一个向量c,存在

的实数对(x,y),使得c=xa+yb.

不共线唯一名师点睛对平面向量基本定理的理解(1)由共线向量基本定理可知,任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,平面向量基本定理是共线向量基本定理从一维到二维的推广.(2)平面向量基本定理包括两个方面的内容,一是存在性,二是唯一性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v.2.基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组基底,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式.名师点睛对基底的理解(1)由平面向量基本定理知,平面内的任一向量都可用基底表示出来.因而可以“统一”各向量,便于研究向量问题.(2)基底不唯一,同一平面可以有不同的基底,且组成基底的向量不能共线(零向量不可以作为基底中的向量).同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.过关自诊1.若{e1,e2}是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(

)A.{e1-e2,e2-e1}C.{2e2-3e1,6e1-4e2}D.{e1+e2,e1-e2}D解析

e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底.2.[北师大版教材习题]已知基底{a,b},实数x,y满足:3xa+(10-y)b=(4y+4)a+2xb,求x,y的值.重难探究·能力素养全提升探究点一向量共线问题【例1】

已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2和

e1+ke2共线,试确定实数k的值.规律方法

利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.变式训练1[2023广西高一]已知非零向量e1和e2不共线.欲使向量ke1+e2与e1+ke2平行,试确定实数k的值.解

因为ke1+e2与e1+ke2平行,且两向量都为非零向量,所以存在实数λ使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立,即(k-λ)e1=(kλ-1)e2.探究点二用基底表示向量规律方法

用基底来表示向量主要有以下两种类型:(1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解.(2)若直接利用基底表示比较困难,可采用方程思想求解.探究点三平面向量基本定理的应用【例3】

如图所示,在平行四边形ABCD中,F是CD的中点,AF与BD交于点E.求证:E为线段BD的一个三等分点.规律方法

用向量解决平面几何问题的一般步骤(1)选取不共线的两个平面向量作为基底;(2)将相关的向量用基底表示,将几何问题转化为向量问题;(3)利用向量知识进行向量运算,得到向量问题的解;(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解.变式训练3设平面内不在同一条直线上的三个点为O,A,B,求证:当p,q满足成果验收·课堂达标检测1234C12342.(多选题)如图所示,已知P,Q,R分别是△ABC三边AB,BC,CA的四等分点,如果,以下向量表示正确的是(

)BC123412343.在△ABC中,E为AB边的中点,F为AC边的中点,BF交CE于点G.若