新教材2023-2024学年高中数学第1章数列1.2等差数列1.2.3等差数列的前n项和第2课时等差数列的前n项和的性质课件湘教版选择性必修第一册

第1章1.2.3第2课时等差数列的前n项和的性质课标要求1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用;2.能利用等差数列前n项和的函数特征求最值;3.掌握等差数列的各项的绝对值的和的求法.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升学以致用·随堂检测全达标目录索引

基础落实·必备知识全过关知识点1等差数列前n项和的函数特征等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程Sn=na1+,整理得Sn=,所以Sn可以看成y=当x=n(n∈N+)时的函数值等差数列的前n项和公式与二次函数的关系令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn.①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项为0的常数列.②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的一次函数,{an}为各项非零的常数列.③当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0)名师点睛等差数列前n项和的最值的求法(1)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数,所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.(2)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数,所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.(3)若a1>0,d>0,则{Sn}是递增数列,S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则{Sn}是递减数列,S1是{Sn}的最大值.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(

)(2){an}是等差数列,其前n项和为Sn,{|an|}的前n项和也是Sn.(

)2.当一个数列的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R,且a≠0)满足什么条件时,数列的通项公式是分段形式?××提示由等差数列的前n项和的函数特征可知,当c≠0时,数列的通项公式是分段形式.知识点2等差数列前n项和的性质

2.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.3.设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则4.若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),5.若等差数列{an}的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,6.若{an}为等差数列,则S2n-1=(2n-1)an.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为3.(

)(2)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则S3,S6,S9也成等差数列.(

)2.在等差数列{an}中,S2=3,S4=6,则S6=

,数列的公差为d=

.

√×90解析

∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴3+(S6-6)=2×3,得S6=9.∵(S4-S2)-S2=22d=0,∴d=0.3.在等差数列{an}中,若a4=10,则S7=

.

70解析

由S2n-1=(2n-1)an,可知S7=7a4=70.重难探究·能力素养全提升探究点一等差数列前n项和的性质及其应用【例1】

(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为

.

分析

根据题目的特征,选择相应的性质求解.210解析

(方法1)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列.

∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.变式探究

规律方法

利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.探究点二等差数列前n项和的最值【例2】

在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9.请问数列{an}的前多少项和最大?解

(方法1)设数列{an}的公差为d,∵a1=25,S17=S9,故该数列的前13项和最大,最大值是169.(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴当n≤13时,an>0;当n≥14时,an<0.∴数列的前13项和S13最大.(方法4)由方法1,得数列{an}的公差d=-2.故当n=13时,Sn有最大值.故数列的前13项和S13最大.规律方法

求等差数列前n项和的最值的方法

[提醒]一个等差数列的前n项和存在最值的条件:一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值.变式训练在数列{an}中,an=3n-12,求数列{an}的前n项和Sn的最小值,并指出何时取最小值.探究点三

求数列{|an|}的前n项和问题

【例3】

若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.分析根据题意求出数列的通项公式,根据通项公式,求出项的正负,根据项的正负,去掉绝对值号后求和.变式探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和Tn.规律方法

已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的方法:先根据通项公式判断{an}的各项的正负,然后去掉绝对值号,转化为等差数列的求和问题.要注意转化的等价性.本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列前n项和的函数特征;(2)等差数列前n项和的性质.2.方法归纳:性质转化法求解基本量,前n项和最值的求法,分类转化法求{|an|}的前n项和.3.注意事项:等差数列前n项和的性质与通项公式的性质的区别,利用二次函数性质求最值要注意n是正整数的限制,求{|an|}的前n项和分类讨论去掉绝对值后,要注意分段求解.学以致用·随堂检测全达标1234561.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10=S11,则a1=(

)A.18 B.20

C.22

D.24B解析

由S10=S11,得a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.1234562.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a7的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是(

)A.S7

B.S8

C.S13

D.S15C1234563.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则实数λ的值是

.

-1解析

等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn(a,b∈R),故λ=-1.1234564.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若公差d<0,且a5>0,a6<0,则当Sn取得最

值时,n的值为

.

大5解析

因为公差d<0,所以数列是递减数列.结合a5>0,可知a1>0,因此Sn有最大值S5,所以n=5.1234565.等差数列{an}的前n项和为Sn,若

=2,则数列{an}的公差d=

.

2解析

因为S5=(a1+a5)+(a2+a4)+a3=5a3