【高中数学课堂】第4章 指数函数、对数函数与幂函数-2023-2024学年高一数学上学期单元测试能力卷（人教B版2019）解析版

高一数学上学期单元测试能力卷（人教B版2019）第4章指数函数、对数函数与幂函数一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知幂函数在区间上单调递增，则（

）A．-2 B．1 C． D．-12．不等式的解集为，则函数的零点为（

）A． B． C． D．3．下列可能是函数的图象的是（

）A．

B．

C．

D．

4．已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（

）（参考数据:）A．年 B．年 C．年 D．年6．已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．已知，则的值为（

）A． B． C． D．8．一般地，设、分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一的也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称是函数的反函数，记作.在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成的形式.例如函数的反函数为.设，则函数的值域为（

）A． B． C． D．二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知函数，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减10．已知实数满足且，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则的最小值为C．的最大值为D．若，则的最小值为11．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．12．函数的定义域为R，为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（

）．A．在上单调递增B．C．若关于x的方程在区间上的所有实数根之和为，则D．函数有2个零点三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．函数只有一个零点，则的取值集合为14．已知函数是定义在上的奇函数，若对任意，且，都有，则不等式的解集为．15．定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：①若为递增数列，则存在最大值；②若为递增数列，则存在最小值；③若，且存在最小值，则存在最小值；④若，且存在最大值，则存在最大值.其中所有错误结论的序号有．16．已知集合M是具有以下性质的函数的全体：对于任意s，都有，且．给出下列四个结论：①函数属于M；②函数属于M；③若，则在区间上单调递增；④若，则对任意给定的正数s，一定存在某个正数t，使得当时，恒有．其中所有正确结论的序号是．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知函数（）．(1)若函数在上是减函数，求的取值范围；(2)当时，设函数的最小值为，最大值为，求函数与的表达式．18．近日，随着假期来临，常州市政府积极制定政策，决定政企联动，决定为某制衣有限公司在假期间加班生产提供（万元）的专项补贴．该制衣有限公司在收到市政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时该制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．(1)求该制衣有限公司假期间，加班生产所获收益（万元）关于专项补贴（万元）的表达式，并求当加班生产所获收益不低于35万元时，实数的取值范围；(2)常州市政府的专项补贴为多少万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益（万元）最大？19．已知函数．(1)求的反函数；(2)若函数，当时，，求a的取值范围．20．已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断的单调性；(3)若存在，使成立，求的取值范围.21．已知函数是定义域为的奇函数，满足．(1)求函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)求不等式的解集．22．已知函数，.(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数；(2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围；(3)当，判断与的大小，并注明你的结论.参考答案：1．B【分析】根据幂函数的定义及性质分类讨论计算即可.【详解】由题意有，解得或，①当时，，在区间上单调递减，不合题意；②当时，，在区间上单调递增，符合题意.故选：B2．A【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系即可结合根与系数的关系求解.【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和1，且，则变形可得故函数，轴的交点坐标为和，所以零点为.故选：A.3．C【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD.【详解】函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D，故选：C.4．B【分析】首先求出参数的值，再判断函数的单调性，最后根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为函数的图象关于原点对称且定义域为，所以，解得，经检验符合题意，所以，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在上单调递增，又，由，即，所以，解得．故选：B5．B【分析】根据已知条件得,解方程组求出的值,当时,在等式两边取对数即可求解.【详解】由题意得:,解得,所以,当时,得,即,两边取对数得,所以,即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要年.故选:B.6．B【分析】由为偶函数得到对称轴，结合图像平移得的图象关于直线对称，在上单调递增，则在上单调递减，进而可求.【详解】为偶函数，的图象关于轴对称，则的图象关于直线对称．在上单调递增，在上单调递减，，解得，即原不等式的解集为．故选：B．7．B【分析】根据对数和指数的互化关系可得均满足方程，进而根据一元二次方程的解，即可结合的单调性求解.【详解】令，则，由可得，进而可得故，同理可得，令或，故均为方程的实数根，故，，由于函数为单调递增函数，所以，，故选:B8．D【分析】先解出，再根据基本不等式求的值域.【详解】由题意可得，则，由，根据基本不等式，，当且仅当时，等号成立，故的值域为.故选：D9．ABD【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.【详解】令，则，对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确；对于选项B：因为，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.10．ABD【分析】根据给定条件，可得，再结合均值不等式逐项分析判断作答.【详解】由，得，而，则，对于A，，A正确；对于B，，则，显然均为正数，即有，因此，当且仅当，即时取等号，B正确；对于C，显然，由，得，因此，C错误；对于D，由，得，当且仅当时取等号，即，由，得，则的最小值为，D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.11．BC【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式进行逐一判断即可.【详解】令、，则、，在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，因为函数的零点为，函数的零点为，所以，，解方程组，因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，则，，所以，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.故选：BC【点睛】关键点睛：对于零点关系问题，往往把函数零点转化方程的根，再转化为新函数的交点横坐标关系问题，另外本题要注意函数与函数是反函数，故两个交点A、B关于点中心对称.12．BD【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件可以推出周期性，奇偶性，A选项根据奇偶函数的性质结合周期性判断，B选项，由于函数的周期性可将待求表达式分组求和，CD选项需借助画出的图像，数形结合来处理.【详解】由于为偶函数，则关于对称，则，故，结合可得，，用取代，得到，用取代，得到，于是的周期为，由可得，结合可得，故为奇函数.A选项，根据幂函数的性质，在上递增，根据奇函数性质，在上递增，又关于对称，则在上递减，又的周期为，故在上递减，A选项错误；B选项，奇函数的定义域为，故，由于的周期为，故，由，取得到，取，得到，故，由于的周期为，故C选项，先作出在上的图像，若时，横坐标交点之和为，若时，横坐标交点之和为若，根据的对称性可得，交点的横坐标之和为，故，除了交点之外，根据对称性，其余四个点的横坐标之和为：，设的横坐标为，则，解得，当时，，，根据周期性，，C选项错误；D选项，在同一坐标系下作出和的图像如下，由图像可知有两个交点，故有2个零点，D选项正确.故选：BD【点睛】本题综合考察了幂函数的性质，抽象函数中，点对称，轴对称，周期性，奇偶性的推导，由此可作出函数图像，数形结合是解题的关键.13．【分析】分和讨论即可.【详解】（1）若，即时，①当时，此时，此时没有零点，②当时，此时，令，解得，符合题意，（2）当时，令，则，解得或1（舍去），综上或，则的取值集合为.故答案为：.14．【分析】确定的图像关于直线对称，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，不等式变换为，解得答案.【详解】函数是定义在上的奇函数，则，所以，则，所以的图像关于直线对称，因为对任意，且，都有，所以在区间内单调递减，则在区间内单调递增，因为，，所以，所以，解得，故不等式的解集为．故答案为：.15．①③④【分析】结合函数的单调性判断最值，即可判断①②，利用取反例，判断③④.【详解】①由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么在区间，函数的最大值是，若数列为递增数列，则函数不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，若为递增数列，那么在区间的最小值是，且为递增数列，所以函数在区间的最小值是，故②正确；③若，取,,则，存在最小值，但此时的最小值是的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若，取，则恒成立，则有最大值，但的最大值是的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误.故答案为：①③④16．②③④【分析】根据集合M具有的性质逐个分析判断.【详解】对于①，，则，所以不属于M，所以①错误，对于②，，则当时，，，因为，所以，所以，所以，所以属于M，所以②正确，对于③，因为，所以对于任意s，都有，且，所以，因为，所以在区间上单调递增，所以③正确，对于④，对给定的正数s，若，则取，使得当时，由③单调性恒有．若，因为对于任意s，都有，且．所以同理可得，所以存在，则取，使得当时，由③单调性恒有．综上可得④正确，故答案为：②③④【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查分析问题的能力和计算能力，属于较难题.17．(1)(2)；【分析】（1）根据单调区间与对称轴的关系求解；（2）分对称轴与区间的关系求函数最小值，根据对称轴与0的大小关系分类求最大值即可.【详解】（1）因为函数在上是减函数，且其对称轴为，所以．（2）①当时，函数单调递增，；②当时，函数先减后增；③当时，函数单调递减．故；当时，；当时，故18．(1)，(2)3万元【分析】（1）根据题意写出解析式，解不等式可得实数的取值范围；（2）化简解析式，利用均值不等式求最值即可得解.【详解】（1）由题意可得．因为，所以．由，得，即，所以，又，所以实数的取值范围是．（2）因为．又因为，所以，所以（当且仅当时取“=”），所以，即当万元时，取最大值36万元．答：常州市政府的专项补贴为3万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益最大．19．(1)，(2)【分析】（1）由反函数的概念求解，（2）由换元法与对数函数性质求值域，再分类讨论解不等式．【详解】（1）令，所以，所以，解得，所以的反函数，．（2）因为，所以．设，所以，所以．设，则在区间上单调递减，值域为，当时，，即，所以，解得；当时，，即，所以，解得（舍）．综上a的取值范围为．20．(1)(2)函数在上是减函数(3)【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出.（2）将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断.（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，又因为，所以，将代入，整理得，当时，有，即，又因为当时，有，所以，所以.经检验符合题意，所以.（2）由（1）知：函数，因为为上单调增函数，且，则函数在上是减函数.