第四章-环境规划与管理的数学

第四章环境规划与管理的数学基础

第一节环境数据处理方法第二节最优化分析方法第三节常用决策分析方法

第一节环境数据处理方法一、数据的表示方法和数据特征

（一）数据的表示方式

1.列表法：将数据列成表格，将各变量的数值依照一定的形式和顺序一一对应起来，它通常是整理数据的第一步，能为标绘曲线图或整理成数学公式打下基础。例:研究电阻的阻值与温度的关系时，测试结果如下：测量序号温度(t)/℃电阻(R)/Ω110．510．42229．410．92342．711．32460．011．80575．012．24691．012．67

2.图示法：将数据用图形表示出来，它能用更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来，可以直观地看出数据变化的特征和规律，为后一步数学模型的建立提供依据。图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量y与自变量x相对应的yi与xi数据表格。作曲线图时必须依据一定的法则，只有遵守这些法则，才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的曲线图形。坐标纸的选择：常用的坐标系为直角坐标系，包括笛卡尔坐标系（又称普通直角坐标系）、半对数坐标系和对数坐标系。筛下累计频率（Fi）粒径（dp）/μm例：PM50粒径分布图（二）数据特征

数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础，是认识数据理论特性的基本出发点，通常可分为以下三类：位置特征数:表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位置的特征数；离散特征数:用来描述数据分散程度；分布形态特征数:刻划了根据所获数据绘制的分布曲线图的形态。1.位置特征数（1）算术平均数：式中：x1，x2，…，xn为样本个体数据，n为样本个数。（2）加权平均数：

如果样本个体数据x1，x2，…,xn取值因频数不同或对总体重要性有所差别，则常采取加权平均方法。式中：wi是个体数据出现频数，或是因该个体对样本贡献不同而取的不同的数值。

（4）调和平均数：（3）几何平均数：几种平均数之间的关系数量关系：调和平均数(H)≤几何平均数(G)≤算术平均数例：某工厂某生产组六个工人的日产量分别为15、16、17、18、19、20（单位：件），据此计算的各平均数如下：算术平均数=17.5（件）几何平均数=17.4（件）调和平均数=17.3（件）几种平均数在实际运用中的选择：凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度时，都可适用几何平均数计算平均比率或平均速度。凡是变量值的总和等于总体指标值总量时，均可采用算术平均数的方法。调和平均数是标志值倒数的算术平均值的倒数，它和算术平均数的实际意义相同，计算公式可以互推。因而，算术平均数和调和平均数是研究同一问题时，因掌握不同资料而采用的不同方法。例：某厂由三个车间构成流水作业线，第一车间的合格率为90%，第二车间为85%，第三车间80%，求全厂的平均合格率。分析：此题由于每后一车间的合格率是在前一车间合格率基础上的，因此不能用算术和调和平均数计算公式，而只能用几何平均数计算公式。解：G=(x1

*x2

*x3)1/3=(90%*85%*80%)1/3≈84.9%例：设某菜场某蔬菜早、中、晚价格分别为0.25元/斤，0.2元/斤，0.1元/斤，现早、中、晚各买一斤该蔬菜，问全天的平均价格为多少？

解：平均值=总支出/总斤数

=(0.25*1+0.2*1+0.1*1)/3=0.183（元/斤）（简单算术平均数）

◆现早、中、晚分别买该蔬菜1、2、3斤，问全天的平均价格为多少？

解：平均值=总支出/总斤数

=(0.25*1+0.2*2+0.1*3)/(1+2+3)=0.14（元/斤）（加权算术平均数）

◆现早、中、晚各买该蔬菜1元，问全天的平均价格为多少？

解：平均值=总支出/总斤数

=3/(1/0.25+1/0.2+1/0.1）

=0.158（元/斤）（简单调和平均数）（5）中位数

环境数据有时显得比较分散，甚至个别的数据离群偏远，难以判断去留，这时往往用到中位数。

样本数据依次排列（从大到小或者从小到大），居中间位置的数即为中位数，若数据个数为偶数，则中位数为正中两个数的平均值。中位数位置=

(n+1)/2

只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表这组数据的中心趋向，近似于真值。例：有5位学员，他们的年龄分别为17、19、20、23、24，

则：中位数位置=(5+1)/2=3，即20为中位数。例：有6位学员，他们的年龄分别为17、19、20、22、24、

25，

则：中位数位置=(6+1)/2=3.5，即第三、四位则20、22居于中位数位置。中位数=(22+20)/2=21环境统计中常常用到几何平均数。不同的平均值都有各自适用场合，选择的平均数指标应能反映数据典型水平，并非随意采用。（1）级差（全距）：指总体各单位的两个极端标志值之差，可反映总体标志值的差异范围。

（2）差方和，样本方差和样本标准差差方和：样本方差：样本标准差：（3）变异系数：2.离散特征数

样本方差与样本标准差样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。变异系数标准差与平均数的比值称为变异系数。变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用变异系数来比较。例：已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为190kg，标准差为10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为196kg，标准差为8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。

分析：此例观测值虽然都是体重，单位相同，但它们的平均数不相同，只能用变异系数来比较其变异程度的大小。

解：由于，长白成年母猪体重的变异系数：C=10.5/190*100%=5.53%

大约克成年母猪体重的变异系数：C=8.5/196*100%=4.34%

所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。3.分布形态特征数

刻划数据分布形态的特征数有两个：偏态系数和峰态系数。

（1）偏态系数

主要描述数据频率分布对称特征，反映数据是对称分布或偏向某方向。（2）峰态系数峰态系数描述数据分布陡峭程度。式中：s为样本标准差。二、异常数据的剔除

目前人们对异常数据的判别与剔除主要采用物理判别法和统计判别法两种方法。

物理判别法就是根据人们对客观事物已有的认识，判别由于外界干扰、人为误差等原因造成实测数据偏离正常结果，在实验过程中随时判断，随时剔除。

统计判别法是给定一个置信概率，并确定一个置信限，凡超过此限的误差，就认为它不属于随机误差范围，将其视为异常数据剔除。格拉布斯准则

用格拉布斯准则检验可疑数据xp时，选取一定的显著性水平α，若：

则应将xp从该组数据中剔除，称为格拉布斯检验临界值，可查相关表格得到。

以上准则是以数据按正态分布为前提的，当数据偏离正态分布,特别是测量次数很少时，则判断的可靠性就差。因此，对粗大误差除用剔除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外,要保证测量条件稳定，防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。注意：三、数据的误差分析（一）几种误差的基本概念绝对误差：绝对误差＝观测值-真值。绝对误差反映了观测值偏离真值的大小。通常所说的误差一般是指绝对误差。相对误差：相对误差是绝对误差和真值的比值，常用百分数表示。

算术平均误差可以反映一组数据的误差大小。

标准误差也称均方根误差或标准偏差，它常用来表示观测数据的精密度，能明显地反映出较大的个别误差，标准误差越小，说明数据精密度越好。（二）误差的来源及分类1.随机误差

随机误差是在一定条件下以不可预知的规律变化着的误差。这些偶然因素是操作者无法严格控制的，故无法完全避免随机误差。但它的出现一般具有统计规律，大多服从正态分布。2.系统误差系统误差是指由某个或某些不确定的因素所引起的误差。当条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，它不能通过多次测量取平均值的方法来消除，只能根据仪器的性能、环境条件或个人偏差等进行校正，使之降低。

3.过失误差过失误差是由于操作人员不仔细、操作不正确等原因引起的，它是完全可以避免的。（三）误差分析

精密度反映了随机误差大小的程度，是指在相同条件下，对被测对象进行多次反复测量，测量值之间的一致(符合)程度。正确度指测量值与其“真值”的接近程度。对于一组数据来说，精密度高并不意味着正确度也高；反之，精密度不好，但当测量次数相当多时，有时也会得到好的正确度。准确度指被测对象测量值之间的一致程度以及与其“真值”的接近程度。准确度、正确度和精密度的关系四、数据的标准化处理

在大批的环境统计数据中，当数据的物理量不同、单位