专题07 数列（选填题6种考法）（解析版）

专题07数列（选填题6种考法）考法一等差等比数列的运算及性质【例1-1】（2023·江西上饶·统考一模）设等差数列前项和为，若，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】设等差数列的公差为，由可得，故，由可得，故，所以，所以故选：C【例1-2】（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【解析】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.【例1-3】（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.【例1-4】（2023·贵州贵阳·统考一模）等差数列中，，则数列的前9项之和为（

）A．24 B．27 C．48 D．54【答案】B【解析】在等差数列中，，则所以，又，所以，所以.故选：B【例1-5】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，所以，，所以，，解得，因此，.故选：D.【例1-6】（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）设数列，均为等差数列，它们的前n项和分别为，，若，则________.【答案】【解析】因为数列，均为等差数列，所以，所以.故答案为：.【例1-7】（2023·河南·校联考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，，则（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】因为，当时，，当时，，则，当时，，则，因为是等比数列，所以，则，所以，解得，则，则.故选：B.【例1-8】（2023·吉林·统考二模）已知是等比数列，下列数列一定是等比数列的是（

）A．（k∈R） B． C． D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，当时，，数列不是等比数列；当时，，数列不是等比数列；当时，，数列不是等比数列；因为，由等比数列的定义可知：数列是等比数列，故选：.【例1-9】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．9【答案】B【解析】设数列的公比为，若，则由题意知，，成等比数列，则，又，所以，所以，当且仅当，即时取等号，即，时等号成立，则的最小值为.当时，由，可得，所以，故的最小值为.故选：B.考法二常见求通项与求和方法【例2-1】（2023·广西桂林·统考模拟预测）设为数列的前项和，已知，，则A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，由，得，则，，…，将各式相加得，又，所以，因此，则将上式减下式得，所以.故选D.【例2-2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）（多选）数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（

）A．B．数列的前n项和C．数列的前n项和D．【答案】BCD【解析】由，有，又所以是首项为，公差为的等差数列，则，则，则，A错误；由，可得，解之得又时，，则，整理得则数列是首项为3公比为3的等比数列，则，则数列的前项和，B正确；，则数列的前项和，C正确；设数列的前项和，则，，两式相减得整理得，则当时，，D正确.故选：BCD.【例2-3】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）数列满足，，则__________【答案】【解析】由得：，；设，则，，，，即，，，.故答案为：.考法三数列在实际生活的应用【例3-1】（2023·陕西咸阳·校考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（

）A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米【答案】C【解析】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，，所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离.故选：C【例3-2】（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D【例3-3】（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C【解析】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，因为，，可得，可得，又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.故选：C.【例3-4】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种治疗新冠肺炎的新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药2小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过3小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（

）A．11小时 B．14小时 C．17小时 D．20小时【答案】C【解析】检测第n次时，给药时间为，则是以2为首项，3为公差的等差数列，则.设当给药时间为小时的时候，患者的血药浓度为，血药浓度峰值为a，则数列是首项为a，公比为0.4的等比数列，所以，令，即，解得，所以当血药浓度为峰值的时，给药时间为.故选：C.考法四数列的单调性及最值【例4-1】（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【例4-2】（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项积为，若，，且，则使最大的正整数n的值为（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B【解析】易知，因为，，所以，，将其代入，得，所以，即数列是以128为首项，为公比的等比数列，所以，，，当时，，所以，因为均小于0，即，，故最大.故选：B．【例4-3】（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，两式相减可得，则，当时，可得满足上式，故，所以，因数列为单调递增数列，即，则整理得，令，则，当时，，当时，，于是得是数列的最大项，即当时，取得最大值，从而得，所以的取值范围为．故选：A【例4-4】（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时，_______________．【答案】6【解析】在等比数列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得单调递减，且，因为，，所以当时，，当时，，所以当取得最大值时，．故答案为：6【例4-5】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知数列满足，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】由题意可得：，即：，整理可得：，又，则数列是首项为-10，公比为的等比数列，，则：,很明显，为偶数时可能取得最大值，由可得：，则的最大值为.考法五斐波那契数列与三角垛【例5-1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）杨辉是南宋杰出的数学家,他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述,他给出了著名的三角垛公式:.若正项数列的前项和为,且满足,数列的通项公式为,则根据三角垛公式,可得数列的前10项和（

）A．440 B．480 C．540 D．580【答案】A【解析】由题知,所以,当时,,当时,满足上式,故,所以,由三角垛公式:可得:,即,因为,所以,故.故选:A【例5-2】（2023·安徽淮南·统考一模）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2023项的和为（

）A．2023 B．2024 C．2696 D．2697【答案】D【解析】因为，且，所以数列为，此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列为，是以6为周期的周期数列，所以数列的前2023项的和，故选：D【例5-3】（2023·湖南长沙·统考一模）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且．卢卡斯数列是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以当时，，所以，故，因为，所以，，故，所以.故选：C.考法六数列与其他知识综合【例6-1】（2023·全国·模拟预测）（多选）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若，点在函数的图像上，则下列结论正确的是（

）A．数列递增 B．C． D．【答案】ABD【解析】由题意知，选项A：所以，故，若存在，则有，即存在，当时，，与矛盾，当时，由得，若，有，则或，若与且矛盾；若时有，递推可得，与矛盾，综上，不存在，所以，故数列递增，故A正确．选项B：数列递增，，故，故，所以与同号，因为，所以，即．综上，，故B正确．选项C：由选项B知，所以，即，故C错误．选项D：由题意，可视为数列的前n项和，因为，所以，又递增，所以，故，即，故D正确．故选：ABD.【例6-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数且有三个不同的零点，，，若，则（

）A．B．当为，的等比中项时，为，的等差中项C．当为，的等差中项时，D．实数a的取值范围为【答案】BCD【解析】A：，因为，所以，根据函数和的图象及增长趋势，若满足，则，又因为，所以，A错误．B：，，，两边同时取对数，，，，，，因为为，的等比中项，，所以，即是的等差中项，故B正确；C：为，的等差中项，则，得，得，则，整理为，则或，由图象可知，，所以，故C正确；D：当时，易知方程有两个不同的解，等号两边同时取对数得，，令，则，令，得，由A选项知，所以，，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以．，又当无限趋近于负无穷大时，为正数，无限趋近于正无穷大，当无限趋近于0时，也无限趋近于正无穷大，故要使有两个零点，只需，即，所以，解得，又，故实数a的取值范围为，故D正确．故选：BCD【例6-3】（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）（多选）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为【答案】ACD【解析】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，故A正确，，故B错误，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，故C正确，由于且，所以，所以，故D正确.故选：ACD.1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知，均为等差数列，且，，，则数列的前5项和为（

）A．35 B．40 C．45 D．50【答案】B【解析】由题知，均为等差数列，且，，，所以，得，所以数列的前5项和为．故选：B2．（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（

）A．30 B．10 C．9 D．6【答案】B【解析】为正数的等比数列，则，可得，∵，∴，又∵，则，可得，∴，解得，故.故选：B.3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，得，解得；由，得，两式相减得，整理得，故数列是以6为首项，为公比的等比数列，所以，，则．故选：A．4．（2023·全国·校联考模拟预测）记数列的前n项和为．若等比数列满足，，则数列的前n项和（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以等比数列的公比，所以，则，由，可知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．故选：D．5．（2023·山东威海·统考一模）已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】由可设的公比为，等比数列的前三项和为84，，，解得，故选：B.6．（2023·河南·校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列的前项和为.若成等比数列，，则（

）A．17 B．19 C．21 D．23【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，整理得①.又，即，所以②.由①②得，故.故选：A7．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（

）A．196 B．197 C．198 D．199【答案】C【解析】设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知，所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，所以将所有上式累加可得，所以；即该数列的第15项为.故选：C8．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（

）A．25 B．45 C．55 D．65【答案】D【解析】由等差数列的前项和为，所以为等差数列，设其公差为，由，知，所以，所以，所以，故选：D．9．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（

）A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文【答案】A【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，则，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故选：A.10．（2023·山西临汾·统考一模）1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年､1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预㝘它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（

）A．2042 B．2062 C．2082 D．2092【答案】B【解析】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，则等差数列的通项公式为，∴，.∴可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年.故选：B.11．（2023·广东深圳·统考一模）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，即经过4次操作之后所得图形的面积是.故选：A12．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）设为等差数列的前项和，，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以.故选：C.13．（2023·陕西铜川·校考一模）设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为q，则，且不为1又由已知可得，解得，所以．故选：D.14．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列的通项公式为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，，数列是首项为2，公比为的等比数列，所以.故选：D15．（2023·福建漳州·统考二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（

）A．110 B．100 C．90 D．80【答案】A【解析】观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，，因为，所以数列的前20项和为：，故选：A16．（2023·浙江·校联考模拟预测）记为数列的前n项积，已知，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【解析】1.当时，，，；2.当时，有，代入，得，化简得：，则，.故选：D17．（2023·河南郑州·统考一模）记为等比数列的前n项和．若，，则（

）A．32 B．31 C．63 D．64【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，，解得又，解得，则故选：B18．（2023·河南郑州·统考一模）设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方法1：∵为等差数列，，∴，；方法2：∵为等差数列，，∴，∴.故选：A.19．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知等差数列，，，则数列的前100项和（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为等差数列且，，故，故，故数列的前100项和为，故选：A.20．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知数列满足，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得：，数列为等差数列，又，，数列的公差，，，.故选：C.21．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知数列满足，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，所以有.又，，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列.所以，.所以，，所以.故选：C.22．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．23．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】[方法一]:常规解法因为，所以，，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.[方法二]：特值法不妨设则故D正确.24．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.25．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．26（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，，且，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以，当x为正整数且奇数时，函数单调递减，当x为正整数且偶数时，函数单调递增，所以时，取得最大值，当时，取得最小值，所以，解得.故选：B.27．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则（

）A．2023 B．2021 C．1011 D．1013【答案】D【解析】由，得，

①，②①-②得，即，，当时，，即，也适合，综上，，因为所以是以2为首项，公差为1的等差数列，所以，所以.故选：D.28．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是局部等比数列．在，，，这4个数列中，局部等比数列的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．若，则，则是等比数列，所以不是局部等比数列．若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．所以局部等比数列的个数是，故选：.29．（2023·河南·校联考模拟预测）任意写出一个正整数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成，如果是个偶数，则下一步变成，无论是怎样一个数字，最终必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列（为正整数），，若，则的所有可能取值之和为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，的可能情况有：①；②；③；④；⑤；⑥；所以，的可能取值集合为，的所有可能取值之和为.故选：B.30．（2023·安徽宿州·统考一模）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（

）A．B．7阶幻方第4行第4列的数字为25C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396【答案】D【解析】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为.对A，，A对；对B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字该数列的中间值，即，B对；对C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，C对；对D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，D错.故选：D31．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列满足：，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，∴，，∴，又，故，所以，所以，故，则，所以.故选：C．32．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知正项数列的前n项和为，且，设，数列的前n项和为，则满足的n的最小正整数解为（

）A．15 B．16 C．3 D．4【答案】A【解析】由题设且，当时，，则，当时，，则，可得，所以，当时，，则，由上，也成立，故是首项、公差均为1的等差数列，则，即，又，所以，即，故的n的最小正整数解为.故选：A33．（2021·全国·统考高考真题）（多选）设正整数，其中，记．则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A选项，，，所以，，A选项正确；对于B选项，取，，，而，则，即，B选项错误；对于C选项，，所以，，，所以，，因此，，C选项正确；对于D选项，，故，D选项正确.故选：ACD.34．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列1，1，2，3，5，8，…被称为“斐波那契数列”该数列是以兔子繁殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”，斐波那契数列满足，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A选项：由题意知：，，，，，，所以，所以A正确；B选项：由得，当时，，即，于是，故B正确；C选项：，所以C正确；D选项：当时，，而，则，故D不正确，故选：ABC.35．（2023·全国·模拟预测）（多选）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（

）A． B．当时，C． D．【答案】BC【解析】A选项：因为，所以，所以A不正确；B选项：因为，，则，所以，所以，所以B正确；C选项：因为，所以，所以，所以C正确；D选项：，当且仅当时，等号成立．所以D不正确．故选:BC.36．（2023·安徽合肥·统考一模）（多选）已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（

）A． B． C．0 D．1【答案】BC【解析】由可得，若对，都有成立，即，整理可得，所以对都成立；当为奇数时，恒成立，所以，即；当为偶数时，恒成立，所以，即；所以的取值范围是，则整数的值可能是.故选：BC37．（2023·浙江·校联考模拟预测）（多选）数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（

）A．数列的第项为 B．数列的第2023项为C．数列的前项和为 D．【答案】ACD【解析】…，，故A选项正确；，，故B选项错误；，，…，当时，，所以，故C选项正确；当时，，，故D选项正确；故选：ACD.38．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）（多选）在数列中，若对于任意，都有，则（

）A．当或时，数列为常数列B．当时，数列为递减数列，且C．当时，数列为递增数列D．当时，数列为单调数列【答案】ABC【解析】对于A选项，由得，所以，当时，，是常数列；当时，是常数列，故A选项正确；对于B选项，，因为，所以，当时，，即，同理可得，，所以，即，所以数列为递减数列，且，故B选项正确；对于C选项，当时，由得，即由得，所以，，同理可得，所以，即，所以，数列为递增数列，故C选项正确；对于D选项，当时，由，即，由得，符号不确定，所以符号不确定，所以，当时，数列的单调性无法确定，故错误.故选：ABC39．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）（多选）已知递增的正整数列的前n项和为．以下条件能得出为等差数列的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，时，，当时，满足，而且时，，则为等差数列，A正确；对于B，，当时，不满足上式，得，因此数列不是等差数列，B错误；对于C，，即为隔项等差数列，且是递增的正整数列，则，，，且，有，即，于是，，因此，所以为等差数列，C正确；对于D，，，，，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，从到中间恰有项：，它们是递增的正整数，而到中间恰有个递增的正整数：，于是得，，又，，令，即有，又，故对，，显然数列是等差数列，D正确.故选：ACD40．（2023·福建·统考一模）（多选）记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由题意可得：等比数列的首项，公比，即，对A：，且，即为等比数列，A正确；对B：，且，即为等比数列，B正确；∵，则有：对C：，均不为定值，即不是等比数列，C错误；对D：，均不为定值，即不是等比数列，D错误；故选：AB.41．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）（多选）设正整数，其中.记，当时，，则（

）A．B．C．数列为等差数列D．【答案】ACD【解析】当时，，又，所以，同理，所以，…，，所以，，所以，所以，A项正确；，，B项错误；当时，，当时，，当时也符合，所以，所以，所以，所以数列为等差数列，C项正确；，，D项正确.故选:ACD.42．（2023·山西·统考一模）（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A． B．为偶数C． D．【答案】ACD【解析】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，故选项A正确；对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误；对于C：由题意知：，所以，故选项C正确；对于D：，故选项D正确，故选：ACD.43．（2023·全国·模拟预测）（多选）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（

）A．B．C．D．数列的前2n项和的最小值为2【答案】ACD【解析】令且，当时，①；当时，②，由①②联立得.所以，累加可得.令(且为奇数)，得.当时满足上式，所以当为奇数时，.当为奇数时，，所以，其中为偶数.所以，故C正确.所以，故A正确.当为偶数时，，故B错误.因为，所以的前2n项和，令，因为数列是递增数列，所以的最小项为，故数列的前2n项和的最小值为2，故D正确.故选:ACD.44．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）（多选）已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】当时，，当时，.因为是等比数列，所以需满足，所以，.所以，A项正确，B项错误；因为，，所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列.所以，所以C项错误，D项正确.故选：AD.45．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）（多选）已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（

）A．n为偶数时， B．C． D．的最大值为20【答案】AC【解析】根据递推关系可知，n为奇数时，n为偶数时，，故A对；根据奇数项构成等差数列可得：而又：则有：，故B错误；，故C对；根据中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据特点可知：的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值为，故D错故选：AC46．（2023·江苏南京·校考一模）（多选）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（

）A．数列的通项公式为B．数列的第2021项为C．数列的前项和D．数列的前项和【答案】CD【解析】数列各项乘以10再减4得到数列故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；从而所以故B错误当时；当时0.3.当时也符合上式，所以故C正确因为所以当时当2时，所以所以又当时也满足上式，所以，故D正确.故选：CD.47．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）（多选）在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（

）A．实数的取值范围是或B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为C．若数列为等比数列且，则D．若数列为等比数列且，则的最小值为4【答案】AD【解析】对A，有两个根，，解得：或，故A正确；对B，若数列为等差数列，和是关于的一元二次方程的两个根，，则，故B错误；对C，若数列为等比数列且，由韦达定理得：，可得：，，，由等比数列的性质得：，即，故C错误；对D，由C可知：，且，，，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选AD.48．（2023·江西上饶·统考一模）已知数列中，，，，记数列前项和为，则__________．【答案】【解析】因为，所以，令，则，所以，则该数列奇数项是以，公比为的等比数列，偶数项是以，公比为的等比数列，.故答案为：.49．（2023·江苏南通·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.①；②【答案】（答案不唯一）【解析】可构造等比