2021年陕西省部分学校高考数学联考试卷（文科）

2021年陕西省部分学校高考数学联考试卷（文科）（2月

份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.己知集合4={%||%|N2},则=()

A.{x\x<2}B.[x\x<-2或%>2}

C.{%|0<%<2]D.{x|-2<%<2]

2.若复数z=芝苧，则|z|=()

A.3A/2B.18C.V10D.10

3.已知向量方=(zn,3),b=(-；且0+1)11则m=()

A.0B.4C.-6D.10

4.函数/(x)=W一+2的定义域是()

A.[-2,4-oo)B.[—2,—1)u(-1,+°°)

C.(-l,+8)D.[-2,-1)

5.在等比数列{斯}中，a3a7=9,则()

A.±3B.3C.+V3D.V3

6.某校为了丰富学生的课外生活，提高学习兴趣，成立了书法、篮球、信息技术，器

乐这4个兴趣小组.小华和小明各自参加了一个兴趣小组，则他们参加了同一个兴趣

小组的概率是（）

入IB.|C.|D.i

07

7.已知a=log040.3,b=log070.4,c=O.3,则（）

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

8.已知尸是双曲线C：捺一3=l（a>0,6>0）的右焦点，O为坐标原点，y=/cx与

双曲线C交于M（M在第一象限），N两点，3|MF]=|NF|,且NMFN=m，则该双

曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.V7D.y

9,《算法统宗少古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次

第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传意为：996

斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直

到第八个孩子为止,分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩

子分得斤数为（）

A.65B.99C.133D.150

10.清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人

职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业

.2019年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业

生总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和

就业质量稳步提升.根据如图，下列说法不正确的是（）

■本科生

■*士生

二

.

47

%s.

史

2岛

「433

2.%7.11.

%A%7.%7

口

n口

叫%

，

工IM

itK他地区

.友

毕业生签三方就业单位所在省（区、市）公布一

A.博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业

B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%

11.已知M,N是函数/'（x）=2cos（cox+叫（3>0）图像与直线y=%的两个不同的交

点.若|MN|的最小值是看，则3=（）

A.6B.4C.2D.1

12.在三棱锥A-BCD中，AC=BC,AC1BC,AB=2,而ABD平面ACB,BD=2DA,

则三棱锥A-BCD体积的最大值为（）

A.；B-C.延D.V2

933

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

%+y>1

13.已知实数x,y满足卜<1,贝ijz=3x—y的最小值为______.

（y<1

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14.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.现已知

该四棱锥的高与斜高的比值为a则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是

15.已知抛物线C：y2=4x,过点(2,0)的直线/交C于A,B两点，则直线OA,OB(。为

坐标原点)的斜率之积为.

16.已知函数/(%)=/+ax,当x20时,/'(X)20恒成立，则a的取值范围为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2B=y[2sinB.

(1)求B；

(2)若a=8,cosA=|,求BC边上的中线AZ)的长.

18.某商店在2020年上半年前5个月的销售额如表所示:

月份12345

销售额(千元)813172225

(1)若从这5个月中随机选取1个月计算销售纯收入，求选取月份的销售额不低于2

万元的概率；

(2)求销售额y(千元)关于月份x的回归直线方程,并预测该商店2020年上半年的销

售总额.

附：回归直线:_；丫4；的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=%竹啄&_

十£“一

y_OXaX?x2Q-nx

y-bx-

19.如图，在多面体ABC0FE中，侧面ABC。是边长为2的正方形，底面4BE尸是直

角梯形，其中乙4BE=90。，AF//BE,且DE=4尸=3BE=3.

(1)证明：^ABEFl¥ffiABCD,

(2)求点A到平面QE尸的距离.

20.椭圆C：摄+'=1®>b>0)的离心率为争长轴长与短轴长之积为16.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)在直线x+3y+t=0上存在一点P.过P作两条相互垂直的直线均与椭圆C相切、

求，的取值范围.

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21.已知函数f(%)=%sinx+2cosx+%,f'(%)为f(%)的导函数.

(1)证明：/'(%)在C，2TT)内存在唯一零点.

(2)当％e8，2兀］时，/(%)<QX恒成立，求。的取值范围.

22.在直角坐标系xOy中，曲线Q的参数方程为｛；Z/器：，9为参数)，已知点Q(6,0)，

点P是曲线G上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为

极轴建立极坐标系.

(1)求点M的轨迹的极坐标方程；

(2)若直线/：y=/c%与曲线。2交于A,8两点，若瓦？=2四，求&的值.

23.已知函数/(%)=|%+2|+3|x-a|(a>0).

(1)求④%)的最小值;

(2)当Q=1时，求函数g(x)=/(%)-10的图象与x轴围成封闭图形的面积.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由题意可得4={x|xW-2或x22},则CR4={x|-2<x<2}.

故选：D.

先利用绝对值不等式的解法求出集合4,再由补集的定义求解即可.

本题考查了集合的运算，主要考查了集合补集的求解，解题的关键是掌握集合补集的定

义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由题意可得z=詈=(；+；；：：：)=1+3"

则|z|=Vi2+32=VTo.

故选：C.

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.

本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：丫向量五=(zn,3),b=(-2,1)>且0+方)

(a+b)-b=a-b+b--(—2m+3)+5=0，

•••m=4,

故选：B.

由题意利用两个向量数量积公式、两个向量垂直的性质，求得加的值.

本题主要考查两个向量数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由题意可得

解得—2<x<—1或%>—1.

即函数的定义域为［—2,-1)U(-1,+8),

故选：B,

根据函数成立的条件，建立不等式关系进行求解即可.

本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键,

是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：因为等比数列｛aj中，a3a7=9,

所以由等比数列的性质得磋=a3a7=9,则=±3.

故选：A.

由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，可得礴=a3a7，由此即可求解.

本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：某校为了丰富学生的课外生活，提高学习兴趣，成立了书法、篮球、信息

技术，器乐这4个兴趣小组.

小华和小明各自参加了一个兴趣小组，

基本事件总数n=4x4=16,

他们参加了同一个兴趣小组的情况有4种，

则他们参加了同一个兴趣小组的概率P=白=；.

164

故选：D.

基本事件总数n=4x4=16,他们参加了同一个兴趣小组的情况有4种，由此能求出

他们参加了同一个兴趣小组的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心

素养，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解：1=log040.4<a=log040.3<logo.4O.l6=2,b=log070.4>

logo.70.49=2,c=O.307<0.3°=1,

故c<b<a,

故选：A.

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

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8.【答案】C

【解析】解：设双曲线的左焦点为F'.则MFNF'为

平行四边形，\NF\=\MF'\.

因为3|MF|=\NF\,所以3|MF|=\NF\=\MF'\,

所以|MF'|=3a-\MF\=a.

因为ZMFN=午.所以=p

所以3c2=9a2—2xax3ax-=7a2,

42

得c=^a,故离心率6=C.

22

故选：c.

设双曲线的左焦点为F'.MFNF'为平行四边形，|NF|=幽口,利用已知条件推出

NF'MF=（利用余弦定理转化求解双曲线的离心率即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

9.【答案】C

【解析】解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列｛an｝,

由题设知：公差d=17,

又a1+a2++…+=8al+—^―x17=996,解得的=65.

故&5=a1+4d=65+4x17=133,

故选：C.

设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列｛&J,由题设求得其首项与公差，即可求得

结果.

本题主要考查等差数列在实际问题中的应用及等差数列基本量的计算，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：对于A,由图中的数据可知I,在北京就业的博士生就业率为52.1%>50%,

故选项A正确;

对于B,毕业生在北京的就业率为21.9%X2971+39.6%X2527+52.1%X146734.7%<50%,故

2971+2527+1467

选项B正确；

对于C,到四川省就业的硕士毕业生人数为3.2%x2527=81人，到四川省就业的博士

毕业生人数为3.7%x1467=54<81,故选项C正确；

对于O,浙江省就业的毕业生人数占毕业总人数的比例为

3.0%X2971+S.6%X2S27+4.2%X1467

4.2%,故选项。错误.

2971+2527+1467

故选：D.

根据题中图表给出的数据信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.

本题考查了对统计图表的认识，根据图表得出有用的信息，读懂图表是关键，考查了逻

辑推理能力，属于基础题.

11.【答案】B

【解析】解：由于M,N是函数/(x)=2cos(o»x+w)(3>0)图像与直线y=遍的两个

不同的交点，

故M,N的横坐标是方程2cos(3%+0)=百的解，即M,N的横坐标是方程cos(3X+

0)=与的解,

可得|MN|mE=5=3解得3=4.

故选：B.

由题意可得，M,N的横坐标是方程cos(3%+9)=日的解，根据|MN|加n=击=e，

即可求得3的值.

本题主要考查余弦函数的图象和性质，函数的零点，属于中档题.

12.【答案】A

【解析1解：如图，由题意知AABC是等腰直角三角形,

由力C=BC,AC1BC,AB=2,得ZC=BC=

V2,

其面积SMBC=|XV2XV2=1,

•••平面4BD1平面ACS.•.此三棱锥的体积取决

于。点到48的距离.

在平面D48内，以A为坐标原点，布的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系

则4(0,0),5(2,0),设O(x,y).

2222

•••BD=2DA,J(x-2尸+y2=2y/x+y,得(%+1)+y=y(y*0),

二点D到AB距离的最大值为(

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故三棱锥A-BCD体积的最大值为；S-BCT=：.

故选：4.

由题意画出图形，求出底面三角形ABC的面积，在平面AB。内，利用解析法求出。到

A8距离的最大值，则三棱锥4-BCD体积的最大值可求.

本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中

档题.

13.【答案】-1

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

直线x+y=1与y轴交于4(0,1),

化z=3x-y为y=3x-z,由图可知，y=3x-z过点(0,1)时，

直线在)，轴上的截距最大，z取得最小值-1.

故答案为：一1.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

14.【答案】|

【解析】解：设该四棱锥底面的边长为加、高为人，斜高为砥，

则a=『］,从而该四棱锥底面面积4a2=||般，侧面面积为4乂卜2叽=4x|/t：=

匏，

故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是H好+冷好=|.

故答案为：

由已知可转化底面边长与斜高关系，然后分别求出底面积及侧面积，即可求解.

本题主要考查了四棱锥底面面积及侧面积的计算，属于基础题.

15.【答案】-2

【解析】解：设点4(%”),B(xB,yB),

设/的方程为x=ty+2,代入抛物线C：y2=4%,化简得y2—4ty-8=0,

则％-7B=-8，所以4-xB=与^=4,

16

从而丛丝=^=-2.

XX

AB4

故答案为：-2.

设出AB坐标，设出直线/的方程，利用直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，转化

求解斜率乘积即可.

本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及

计算能力，是中档题.

16.【答案】［一明+8)

【解析】解：当x=0时，/(0)=e°+0=1>。恒成立；

当％>0时，/(%)>0恒成立，即e*+ax>0,

即为—a<丝恒成立，

X

设g(x)=9，则g'(x)=今二2，

当x>l时，g'(x)>0,g(%)递增;当Ovxvl时，g'(x)v0,g(x)递减,

可得％=1处g(x)取得极小值，且为最小值e,

所以一a<e,即QN-e,

综上可得，。的取值范围是|-e,+8).

故答案为：［—e,+8).

讨论％=0时，不等式显然成立；当％>0时，由参数分离和构造函数，求得导数和单调

性、最值，结合恒成立思想，可得所求范围.

本题考查函数恒成立问题解法，考查构造法和转化思想、运算能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由题意可得2si几BcosB=&s讥8,

因为0<8<7T,

所以sinB*0,则cosB=—,

2

因为0<8V7T,

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所以B=?.

(2)因为cosA=|.

所以sinA=

因为A+B+C=TT,

所以sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB=-x—+-x—=—,

k7525210

由正弦定理可得品=就，则©=喏=率=7奁，

sinAsiTicsinA-

5

由余弦定理可得=AB2+BD2_2AB,BDcosB=98+16-2X7A/2X4X—=

2

58,

则力。=V58.

【解析】(1)由题意，利用二倍角的正弦公式化简已知等式，结合sinB*0,可求cosB=岑，

结合范围0<8<兀，可求8的值.

(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值,利用两角和的正弦公式可求sinC的值，

由正弦定理求得c的值，进而根据余弦定理可得AD的值.

本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，正

弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为这5个月中销售额不低于2万元的只有4月和5月，

所以所求概率P=|.

(2)%=：X(1+2+3+4+5)=3,亍=：X(8+13+17+22+25)=17,£乙々%=

1x8+2x13+3x17+4x22+5x25=298,

疥=1君=I2+22+32+42+52=55,

7

b=-29-8---5-X-3-X-17=4..r3,

55-5X32

a=y-bx=17-4.3x3=4.1,

故销售额y(千元)关于月份的回归直线方程为y=4.3%+4.1-

当％=6时，y=4.3X64-4.1=29.9(千兀)•

故该商店2020年上半年的销售总额为8+13+17+22+25+29.9=114.9千元，即

11.49万元.（注：单位写千元或万元都可以）

【解析】（1）利用古典概型概率公式求解即可.

（2）求解样本中心坐标，回归直线方程的系数，得到回归直线方程，然后代入x=6,求

解预报值即可.

本题考查古典概型的概率的求法，回归直线方程的求法与应用，是中档题.

19.【答案】（1）证明：连结B。，因为ABCD是边长为2的正方形，所以BD=2近，

因为DE=3BE=3,所以BE=1,DE=3,所以BE?+BD2=

DE2,则

因为乙4BE=90°,所以BE1AB,因为4BCBD=D,AB,BDu1秒之二

平面ABCD,故胆平面ABCD,

因为BEu平面ABEF,所以平面4BEFJL平面ABCD；

（2）解：连结AE,因为4尸=3,AB=AD=2,则三棱锥。-4EF的体积为］x1x3x2x

2=2,

由（1）可知，ADABEF,则力CJ.4E,AD1.AF,

因为4D=2,4F=3,所以OF=g,因为4B=2,BE=1,NABE=90。，所以4E=遍,

则DE=VT+4=3.

过点E作EHLAF,垂足为H,则EH=2,HF=2,从而EF=2在，

在ADEF中，由余弦定理可得cos/CEF=生殳2=虫，贝Usin/DEF=每，从而ADEF

2x3x27266

的面积为工X3X2四x^=g,

26

因为三棱锥A-DEF的体积与三棱锥。-4EF的体积相等，

设点A到平面OE尸的距离为"，所以;xgd=2,解得d=2,

317

所以点A到平面OEF的距离为2.

17

【解析】（1）连结80,利用正方形的性质以及勾股定理证明BE1B0,结合已知条件得

到BE14B,由线面垂直的判定定理证明BE，平面ABC。，再利用面面垂直的判定定理

证明即可；

（2）连结AE,求出三棱锥。-4EF的体积，然后利用边角关系求出△DEF的面积，利用

等体积法求出点A到平面OEF的距离即可.

本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的

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应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于中档题.

20.【答案】解：⑴由题意椭圆C：捻+，=l(a>b>0)的离心率为多长轴长与短

轴长之积为16.

£_V3

Zab=16,可得a=2近，b—VL

a2=b24-c2

所以椭圆c的标准方程为正+^=1.

82

(2)①当过点P的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线斜率为0,

易得P(±2&,土&).

②过点P的椭圆C的切线的斜率均存在时，设P(xo，yo)，%o*±2V2，

设切线方程为y=fc(x-x0)+y0，

22

代入椭圆方程得(41+l)x-8/c(fcx0-y0)x+4(/cx0-y0)-8=0,

222

由4=[8fc(/cx0-y0)]-4(4/c+l)[4(kx0-y0)-8]=0,

2

可得(瑞-8)fc-2x0y0k+据-2=0,

设过点P与椭圆C相切的切线斜率分别为七，k2,则后七=生1，

因为两条切线相互垂直，所以警=-1,即诏+据=10(&#±2&)，

结合①②知，P在圆/+y2=io上，

又因为点尸在直线x+3y+t=0上，

所以直线％+3y+t=0与圆/+y2=10有公共点，

则七W/1U,得—10StS10.

综上所述，，的取值范围为[-10,10].

【解析】(1)利用椭圆的离心率以及长轴长与短轴长之积为16.求解a,b得到椭圆C的

标准方程.

(2)①当过点尸的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线斜率为0,求出P的

坐标.

②过点P的椭圆C的切线的斜率均存在时，设P(xo，yo),xo4±2&,设切线方程为y=

k(x—x())+yo,代入椭圆方程利用韦达定理以及斜率乘积，推出P在圆/+/=io上,

结合点P在直线％+3丫+£=0上，推出磊求解即可.

本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，参变量，的范围问题的

求解，考查分析问题解决问题的能力，是难题.

21.【答案】(1)证明：因为f(%)=xs讥％+2cosx+%,所以f'Qr)=%cosx-sin%+1,

i己g(x)=/'(x)=xcosx—sinx+1,则g'(x)=—xsinx,

当％eg,TT)时，g，(x)v0,当xW(m2初时，g'(x)>0,

所以g(x)在碎,兀)上单调递减，在32扪上单调递增，

即「(工)在碎㈤上单调递减，在(凡2扪上单调递增，

因为(©)=0,(⑺=一兀+1<o,f'w=2?r+1>0,

所以存在唯一Xo€(兀,2兀),使得f'Oo)=0,

即((乃在(泉2兀)内存在唯一零点.

(2)解：由⑴可知当加6碎，而)时，fW<0,当⑸,2扪时，尸(乃>0,

所以f(x)在g，x。)上单调递减，在(沏,2兀］上单调递增，

因为当x6g，2初时，/(x)<ax恒成立，

则至少满足/(：)=兀W］a，/(2TT)=2n+2<2arc,即a22,

①当％eg,复时，樽)=0,f(%)mg=f©)=呜满足“乃42代

②当无6百，2兀］时，f(x)max-/(2TT)=2TT+2,而2x>2xy=3TT,满足/(无)<2%,

即当Xe岁2兀I时，都有/(X)W2x,又当a22时，x6碎,2兀］时，ax22%,

从而当a>2时,/(%)<ax对一切无6毋,2兀］恒成立，

故a的取值范围是［2,+8).

【解析】(1)求出/'(*),令g(x)=f'(x),再对g(x)求导，可得g(x)的单调性，由零点存

在定理即可得证；

(2)由(1)可求得/(x)的单调性，则由当xeg，2扪时，/(x)Wax恒成立，可得a22,

当a=2时满足f(x)W2x,又ax22%，从而可得a22时，不等式恒成立.