2021年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷（含解析）

2021年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷

一、选择题（共8小题）.

1.1的倒数是（)

2021

A.2021B.1C.-2021

20212021

2.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在我国北京市和张家口市联合举行，在

会微的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上

3.清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡

丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为

（）

A.8.4X10-5B.8.4X10-6C.84X107D.8.4X106

4.将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视

图是（）

5.如图，在平面直角坐标系中，△A8C位于第二象限，点A的坐标是（-2,3）,先把△

ABC向右平移5个单位长度得到△48C”再作△4B1G关于x轴对称的△A2&C2,则

点A的对应点A:的坐标是（）

6.如图，四边形ABC。内接于。0,连接80.若AC=BC，NBDC=50°,则N4OC的度

数是（）

R

7.如图，矩形ABCD中，点G,E分别在边BC,OC上，连接AG,EG,AE,将和

△ECG分别沿AG,EG折叠，使点B,C恰好落在AE上的同一点，记为点凡若CE=

3,CG=4,则DE的长度为（）

8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为

10.在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%,环境卫生成绩占40%,个人

卫生成绩占30%.八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查

的总成绩.

11.若二次函数y=-N+6x-的图象与x轴没有交点，则的取值范围是

12.如图，平面直角坐标系中，。8在x轴上，NA8O=90°,点4的坐标为（-1,2）,

将△AOB绕点A顺时针旋转90°,点。的对应点。恰好落在双曲线y=K上，则我的值

13.四边形A8CO是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接。E交AB于点尸，ZAED=2

14.如图，AB是。。的直径，AC是。。的切线，切点为A,BC交。。于点。，直线。E

是0。的切线，切点为。，交AC于E,若0。半径为1,BC=4,则图中阴影部分的面

积为

Q

E

B

D

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.已知：如图，M,N分别是N8AC两边A8,AC上的点，连接MN.

求作：。。，使。。满足以线段MN为弦，且圆心。到N84C两边的距离相等.

B

四、解答题（本大题共9小题，共74分）

16.（1）化简：（x-生均4-X2-4X+4.

x-1x-1

’5xT<3（x+l）

（2）解不等式组：2x-l5x+l/-

-2-

17.4张相同的卡片分别写有数字1,2,3,4,将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1

张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1,2,3的3个小球,

这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数.

（1）求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明）

（2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时;则甲获胜；否则，乙获胜.你

认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由.

18.垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物

尽其用.为了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校

对八年级甲，乙两班各60名学生进行了垃圾分类相关知识的测试，并分别抽取了15份

成绩，整理分析过程如下，请补充完整.

【收集数据】

甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）

68,72,89,85,82,85,74,92,80,85,78,85,69,76,80.

乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）

86,89,83,76,73,78,67,80,80,79,80,84,82,80,83.

【整理数据】（1）按如下分数段整理、描述这两组样本数据

组别65.5〜70.570.5〜75.575.5〜80.580.5〜85.585.5〜90.590.5〜95.5

甲224511

乙11ab20

在表中，67=,b—.

（2）补全甲班15名学生测试成绩的频数分布直方图.

班级平均数众数中位数方差

甲80X8047.6

乙8080y26.2

（3）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：在表中：x=,y

（4）若规定得分在80分及以上（含80分）为合格，请估计乙班60名学生中垃圾分类

及投放相关知识合格的学生有人.

（5）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，说明理由.

19.某住宅小区有平行建设的南、北两栋高层建筑.冬至日正午，南楼在北楼墙面上形成的

影子AF的高度为42米，此时太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）

35。，夏至日正午，南楼在水平地面形成的影子与北楼的距离。尸为80米，此时太阳高

度角NC£>E=80°.求两楼间的距离.（参考数据：sin35°弋0.57,cos35°七0.82,tan35°

心0.7,sin80°g0.98,cos80°^0.175,tan80°g5.6)

20.春节是我国的传统节日，人们素有吃水饺的习俗.某商场在年前准备购进A、8两种品

牌的水饺进行销售，据了解，用3000元购买A品牌水饺的数量（袋）比用2880元购买

8品牌水饺的数量（袋）多40袋，且B品牌水饺的单价（元/袋）是A品牌水饺单价（元

/袋）的1.2倍.

（1）求A、8两种品牌水饺的单价各是多少？

（2）若计划购进这两种品牌的水饺共220袋销售，且购买A品牌水饺的费用不多于购买

8品牌水饺的费用，写出总费用卬（元）与购买A品牌水饺数量，"（袋）之间的关系式，

并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少？

21.如图1,已知矩形4BC。，连接AC,将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC,AE

交CD于点F.

（1）求证：DF=EF；

（2）如图2,若30°,点G是AC的中点，连接。E,EG,求证：四边形AOEG

是菱形.

22.某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）

与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

销售单价x（元）406080

日销售量y（件）806040

（1）求y与x的关系式；

（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%,求公司销售该商品获得的最大

日利润；

（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成

本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不

变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值.

23.【问题提出】：将一个边长为〃（〃22）的菱形的四条边”等分，连接各边对应的等分

点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？

【问题探究】：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律.

探究一：将一个边长为2的菱形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该菱

形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？

如图1,从上往下，共有2行，我们先研究平行四边形的个数：

（1）第一行有斜边长为1,底长为1〜2的平行四边形，共有2+1=3个；

（2）第二行有斜边长为1,底长为1〜2的平行四边形，共有2+1=3个；

为了便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二

行的平行四边形，以下各行类同第二行.因此底第二行还包括斜边长为2,底长为1〜2

的平行四边形，共有2+1=3个.

即：第二行平行四边形共有2X3个.

所以如图1,平行四边形共有2X3+3=9=（2+1）2.

我们再研究菱形的个数：

分析：边长为1的菱形共有22个，边长为2的菱形共有了个，

所以：如图1,菱形共有22+l占5==X2X3X5个.

6

探究二：将一个边长为3的菱形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该菱

形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？

如图2,从上往下，共有3行，我们先研究平行四边形的个数：

（1）第一行有斜边长为1，底长为1〜3的平行四边形，共有3+2+1=6个；

（2）第二行有斜边长为1,底长为1〜2的平行四边形，共有3+2+1=6个；底在第二行

还包括斜边长为2,底长为1〜3的平行四边形，共有3+2+1=6个，即：第二行平行四

边形共有2X6个.

（3）第三行有斜边长为1,底长为1〜3的平行四边形，共有3+2+1=6个；

底在第三行还包括斜边长为2,底长为1〜3的平行四边形，共有3+2+1=6个.

底在第三行还包括斜边长为3,底长为1〜3的平行四边形，共有3+2+1=6个，即：第

三行平行四边形共有3X6个.

所以如图2,平行四边形共有3X6+2X6+6=（3+2+1）X6=（3+2+1）2.

我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有32个，边长为2的菱形共有22个，

边长为3的菱形共有P个.所以：如图2,菱形共有32+22+12=14=5X3X4X7个.

6

探究三：将一个边长为4的菱形的四条边分别4等分，连接各边对应的等分点，则该菱

形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？

如图3,从上往下，共有4行，我们先研究平行四边形的个数：

（1）第一行有斜边长为1,底长为1〜4的平行四边形，共有4+3+2+1=10个；

（2）第二行有斜边长为1,底长为1〜4的平行四边形，共有4+3+2+1=10个；底在第

二行还包括斜边长为2,底长为1〜4的平行四边形，共有4+3+2+1=10个，即：第二行

平行四边形共有2X10个.

（3）模仿上面的探究，第三行平行四边形总共有个.

（4）按照上边的规律，第四行平行四边形总共有个.

所以，如图3,平行四边形总共有个.

我们再研究菱形的个数：

分析：边长为1的菱形共有42个，边长为2的菱形共有32个，边长为3的菱形共有22

个，边长为4的菱形共有12个.

所以：如图3,菱形共有42+32+22+12=”X个，（仿照前面的探究，写成三个整

数相乘的形式）

【问题解决】将一个边长为〃（〃22）的菱形的四条边〃等分，连接各边对应的等分点，

根据上边的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是和菱形个数

分别是《X.（用含〃的代数式表示）

【问题应用】将一个边长为，（〃>2）的菱形的四条边〃等分，连接各边对应的等分点，

若得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是441个，则〃=.

【拓展延伸】将一个边长为〃（〃22）的菱形的四条边〃等分，连接各边对应的等分点，

当该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形个数之比是135：19时，则n

24.已知：如图，在矩形ABC£>中，AB=24cm,BC=16cro,点E为边CD的中点，连接

BE,EFLBE交于点F.点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为2c/n/s；同

时，点。从点A出发，沿A8方向匀速运动，速度为3c〃?/s.当一个点停止运动时，另一

个点也停止运动.设运动时间为t（s）（0<f<8）.解答下列问题：

（1）当，为何值时，点P在线段8。的垂直平分线上？

（2）连接产。，设五边形AFEP。的面积为y（cm。）,求y与/的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻f,使S砌彩AFEPQ：S^ABCD=33：64?若存在，

求出f的值：若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻f,使点。在NAFE的平分线上？若存在，求出

/的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1

1.的倒数是（)

2021

1

A.2021B.C.-2021

20212021

【分析】直接利用倒数的定义得出答案.

解：-晨丁的倒数是：-2021.

2021

故选：C.

2.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在我国北京市和张家口市联合举行，在

会微的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上

的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（）

【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可.

解：4、是轴对称图形，本选项不合题意；

8、是轴对称图形，本选项不合题意；

C、是轴对称图形，本选项不合题意；

。、不是轴对称图形，本选项符合题意.

故选：D.

3.清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡

丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为

)

A.8.4X10-5B.8.4X106C.84X107D.8.4X106

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为4X10,与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的0的个数所决定.

解：0.0000084=8.4X10-6,

故选：B.

4.将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视

图是（）

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的和看不到的棱都应表现在

左视图中.

解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形

画为虚线，

故选：D.

5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（-2,3）,先把△

ABC向右平移5个单位长度得到△48C”再作△△由1G关于x轴对称的△A2&C2,则

点A的对应点42的坐标是（）

A.(-3,3)B.(3,-3)C.(2,-3)D.(3,3)

【分析】首先利用平移的性质得到△48C”进而利用关于x轴对称点的性质得到△

2c2,即可得出答案.

解：如图所示：点A的对应点A2的坐标是：（3,-3）.

故选：B.

6.如图，四边形ABC。内接于连接50.若公或，NBDC=50。，则N4OC的度

数是（）

A.125°B.130°C.135°D.140°

【分析】连接OA,OB,OC,根据圆周角定理得出NBOC=100。，再根据余=前得到

乙4OC,从而得到NABC,最后利用圆内接四边形的性质得到结果.

解：连接。A,OB,OC,

；NBDC=50°,

AZBOC=2ZBDC^100°,

7AC=BO

：.ZBOC=ZAOC=\OQ0,

AZABC=—ZAOC=50Q,

2

AZADC=]S0°-ZABC=\30°.

B

故选：B.

7.如图，矩形ABC。中，点G,E分别在边8C,DCh,连接AG,EG,AE,将△ABG和

△ECG分别沿AG,EG折叠，使点B,C恰好落在4E上的同一点，记为点尸.若CE=

3,CG=4,则。E的长度为（）

A.—B.—C.3D.—

332

【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE=5,BC=AD=8,证得RtZsEG/sRt4

EAG,求AE的长，再利用勾股定理得到OE的长.

解：矩形A8CD中，GC=4,CE=3,ZC=90°,

・•・GE=yjCG2<E2=V42+32=5，

根据折叠的性质：BG=GF,GF=GC=4f

CE=EF=3,ZAGB=ZAGF,

NEGC=NEGF,NGFE=NC=90°,

N8=N4尸G=90°,

：.BG=GF=GC=4,ZAFG+ZEFG=180°,

・・・8C=A£>=8,点A,点尸，点£三点共线，

VZAGB+ZAGF+ZEGC+ZEGF=180°,

AZAGE=90°,

ARtAEGF^RtAEAG,

,GEEF

•A•EG二」E,

•㈤哼

DE=｛血2_皿2T管「一产,

故选：B.

8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y^ax+b和二次函数y^ax^+bx+c的图象可能为

【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=

ax+b的图象相比较看是否一致.

解：A、由抛物线可知，“VO,x--—<0,得匕<0,由直线可知，a<0,b<0,故本

2a

选项正确；

B、由抛物线可知，a>0,由直线可知，”<0,故本选项错误；

C、由抛物线可知，a>0,x=-—>0,得人<0,由直线可知，a>0,b>0,故本选项

2a

错误；

D、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a<0,故本选项错误.

故选：A.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.计算：患）-^V3=_y_-

【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算即可.

解：原式=(3«-乎)

=7_

~~3'

故答案为:(•.

10.在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%,环境卫生成绩占40%,个人

卫生成绩占30%.八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查

的总成绩90分.

【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可.

解：该班卫生检查的总成绩=85X30%+90X40%+95X30%=90(分).

故答案为90分.

11.若二次函数尸-/+6x-m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是加>9.

【分析】利用判别式的意义得到4=62-4X(-1)X(-/»)<0,然后解不等式即可.

解：；二次函数y=-x2+6x-'"的图像与x轴没有交点，

.\A=62-4X(-1)X(-m)<0,

解得w>9.

故答案为相>9.

12.如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，NABO=90°,点A的坐标为(-1,2),

将△408绕点A顺时针旋转90°,点。的对应点。恰好落在双曲线>=区上，则k的值

X

【分析】因为点。在双曲线y=K上，求出点。的坐标即可，根据A(-l,2)和旋转,

x

可以求出相应线段的长，根据相应线段的长转化为点的坐标，代入反比例函数的关系式

即可.

解：过点。作。ELv轴，DF1AB,垂足为E、凡4(-1,2)

・・・/\AOB绕点A顺时针旋转90°

••・△AOB四△ADC,NBAC=90°

又・・・NC=NA8O=90°,

・・・四边形ACE3是矩形，

：.AC=DF=EB=AB=2fCD=BC=AF=l,

：.DE=BF=AB-AF=2-1=1,OE=OB+BE=2+1=3,

：.D(-3,1)

•••点D恰好落在双曲线y=K上，

x

:.k=(-3)X1=-3.

13.四边形ABC。是矩形，点E在线段C3的延长线上，连接QE交A3于点忆ZAED=2

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出NAGE=N

ADG+ZDAG=2ZDAG9然后求出N4EQ=N4G£：,根据等角对等边可得AE=AG,再

利用勾股定理列式求出AB,进而得出CD,

解：在△ADG中，ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZDAG,

又丁NAED=2/CED,

：.NAED=ZAGE9

：.AE=AG,

・・・AG=4,

：.AE=4t

在RtAAEB中，由勾股定理可求A5=印42_/二色区,

：・CD=yl~^,

故答案为：

14.如图，A8是。。的直径，4C是。。的切线，切点为4,8c交。0于点。，直线DE

是。。的切线，切点为。，交AC于E,若。。半径为1,3。=4,则图中阴影部分的面

积为-F•二

【分析】连接0。、0E、AD,A。交0E于尸，如图，根据切线的性质得到NBAC=90°,

利用余弦的定义可计算出/8=60°,则根据圆周角定理得到/4。8=90°,ZAOD=

120°,于是可计算出BO=1,AD=M，接着证明△4OE为等边三角形，求出0尸=卷,

1

根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=5四边形OAE。-S就形AOO=SZ\AOE+SA4OO-S血形AO。进行计*

算.

解：连接O。、OE、AD,AO交OE于F,如图，

TAC是OO的切线，切点为A,

：.AB±AC,

：.ZBAC=90°,

在Rtz^ABC中，VcosB=—,

BC42

・・・NB=60°,

AZAOD=2ZB=nO°,

TAB为直径,

・・・NADB=90°,

・・・NBAD=30°,

：.ZDAE=60°

在RtZ^AOB中，BD=—AB=\,

2

:.AD=gD=M，

•.•直线OE、EA都是。。的切线,

；.EA=ED,

.•.△人。£为等边三角形，

而OA=OQ,

・・・OE垂直平分AD,

在RtZ\AO/中，。尸=』04=」，

22

**•5阴影部分=S四边形OAED-SWAOD

=S^ADE^-S^AOD-S扇形A。。

哼X（V3）2+品遂*手皿需£1

=后於

故答案为--^Tt.

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.已知：如图，M,N分别是NBAC两边AB,4c上的点，连接MN.

求作：。0,使O。满足以线段MN为弦，且圆心。到NBAC两边的距离相等.

【分析】作线段的垂直平分线。E,作NBAC的角平分线AP,AP交DE于点0,以

O为圆心0M为半径作OO即可.

解：如图，o。即为所求.

四、解答题（本大题共9小题，共74分）

16.（1）化简：（x-生三）-?X2-4X+4.

x-1x-1

’5xT<3（x+l）

（2）解不等式组：<2x-l5x+l/-

~2-

【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法

则变形，约分即可得到结果；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可确定出不等式组

的解集.

解：（1）原式=x（x-l）;4+x.产%

x-1（x-2）2

_（x+2）（x-2）.x-1_

x-1（x-2）2

x+2

’5x-l〈3（x+l）①

x

（2）年QY,~15x+②1/.»

o/

由①得：x<2,

由②得：x2-1,

则不等式组的解集为-lWx<2.

17.4张相同的卡片分别写有数字1,2,3,4,将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1

张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1,2,3的3个小球,

这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数.

（1）求这两个数的差为。的概率；（用列表法或树状图说明）

（2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜.你

认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由.

【分析】（1）利用树状图法列举出所有可能，进而求出概率;

（2）利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案.

解：（1）列表如下：

1234

10123

2-1012

3-2-101

•.•共有12种等可能的结果，其中两个数的差为0的情况占3种,

：.p（两个数的差为0）=义=4.

124

（2）•••两个数的差为非负数的情况有9种,

：.P（甲获胜），P（乙获胜）1

12-4124

•：P（甲获胜）＞P（乙获胜），

...这样的规则不公平

可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则，乙获胜.

此时尸（甲获胜）=P（乙获胜）=，•.

18.垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物

尽其用.为了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校

对八年级甲，乙两班各60名学生进行了垃圾分类相关知识的测试，并分别抽取了15份

成绩，整理分析过程如下，请补充完整.

【收集数据】

甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）

68,72,89,85,82,85,74,92,80,85,78,85,69,76,80.

乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）

86,89,83,76,73,78,67,80,80,79,80,84,82,80,83.

【整理数据】（1）按如下分数段整理、描述这两组样本数据

组别65.5〜70.570.5-75.575.5〜80.580.5〜85.585.5〜90.590.5~95.5

甲224511

乙h20

班级平均数众数中位数方差

甲80X8047.6

乙8080y26.2

（3）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：在表中：x=85,>•=

80.

（4）若规定得分在80分及以上（含80分）为合格，请估计乙班60名学生中垃圾分类

及投放相关知识合格的学生有40人.

（5）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，说明理由.

【分析】（1）由收集的数据即可得;

(2)根据题意不全频数分布直方图即可;

(3)根据众数和中位数的定义求解可得;

(4)用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得;

(5)甲、乙两班的方差判定即可.

解:（1）乙班75.5〜80.5分数段的学生数为4,80.5〜85.5分数段的学生数为5,

故</=7,6=4,

故答案为:7,4；

（2）补全甲班15名学生测试成绩频数分布直方图如图所示,

（3）甲班15名学生测试成绩中85出现的次数最多，故x=85；

把乙班学生测试成绩按从小到大排列为:67,73,76,78,79,80,80,80,80,82,

83,83,84,86,89,

处在中间位置的数为80,故)，=80；

故答案为：85,80；

(4)60X—X100%=40(人)，

15

答：乙班60名学生中垃圾分类及投放相关知识合格的学生有40人；

故答案为：40；

(5)乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，

•.•甲班的方差〉乙班的方差，

，乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好.

19.某住宅小区有平行建设的南、北两栋高层建筑.冬至日正午，南楼在北楼墙面上形成的

影子4尸的高度为42米，此时太阳高度角(即正午太阳光线与水平面的夹角)NC4B=

35。，夏至日正午，南楼在水平地面形成的影子与北楼的距离。F为80米，此时太阳高

度角NC£>E=80°.求两楼间的距离.(参考数据：sin35°-0.57,cos35°~0.82,tan35°

心0.7,sin80°~0.98,cos80°«=0.175,tan80°g5.6)

【分析】直接利用锐角三角函数关系表示出8C,DE,EC的长，进而得出答案.

解：根据题意，设两楼之间的距离为x米，

由题意可得：四边形ABE尸是矩形，/CAB=35°,ZCDE=80°,

FD=80米，AF=42米,

在RtAABC中，

BC=x,tan35°,

在Rtz^QEC中，CE=QE・tan80°

=(x-80)・tan80°

又BE=AF=42米，BE=CE-CB,

所以(JC-80),tan800-x*tan350=42,

解得：4100,

答：两楼之间的距离为100米.

20.春节是我国的传统节日，人们素有吃水饺的习俗.某商场在年前准备购进A、B两种品

牌的水饺进行销售，据了解，用3000元购买A品牌水饺的数量（袋）比用2880元购买

8品牌水饺的数量（袋）多40袋，且8品牌水饺的单价（元/袋）是A品牌水饺单价（元

/袋）的12倍.

（1）求A、8两种品牌水饺的单价各是多少？

（2）若计划购进这两种品牌的水饺共220袋销售，且购买A品牌水饺的费用不多于购买

8品牌水饺的费用，写出总费用卬（元）与购买A品牌水饺数量相（袋）之间的关系式,

并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少？

【分析】（1）设A品牌水饺单价为x元/袋，则8品牌水饺单价为1.2x元/袋，由题意列

出分式方程，解方程即可；

（2）设购进A品牌水饺加袋，则购进B品牌水饺（220-加）袋，先由题意得不等式15机

W18（220-m）,解得加，120,再由题意得w=-3，〃+3960,然后由一次函数的性质解

答即可.

解：（1）设A品牌水饺单价为x元/袋，则B品牌水饺单价为1.2x元/袋,

根据题意'得：等-黑=4。,

解得：x=15,

经检验，x=15是原方程的解，

；.1.2%=18；

答：A品牌水饺单价为15元/袋，B品牌水饺单价为18元/袋；

(2)设购进A品牌水饺〃?袋，则购进8品牌水饺(220-〃?)袋,

依题意，得：15mW18(220-m),

解得：〃?2120,

由题意得：w—15/H+18(220-/«)=-3〃z+3960,

当加=120时,w最小=3600,

220-120=100,

答：A品牌水饺购买120袋，B品牌水饺购买100袋时，总费用最低，最低是3600元.

21.如图1,己知矩形A8CD,连接AC,将AABC沿AC所在直线翻折，得到AE

交CD于点F.

(1)求证：DF=EF；

(2)如图2,若/BAC=30°,点G是AC的中点，连接OE,EG,求证：四边形ADEG

是菱形.

【分析】(1)根据矩形的性质得到4D=8C,/£>=/8=90°,由折叠的性质得到/E

=NB=90°,CE=BC.根据全等三角形的性质即可得到结论；

(2)根据折叠的性质得到/AEC=NB=90°,CE=BC,根据直角三角形的性质得至I」

CE=^AC,CE=AG=EG=AD,根据菱形的判定定理即可得到结论.

解：(1)1•四边形ABCC是矩形，

：.AD=BC,ND=NB=90°,

•.•将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC,

AZ£=ZB=90°,

CE=BC.

；./D=NE,AD=CE,

•.*/AFD=/CFE,

AAADF^ACEF（A4S）,

：.DF=EF；

（2）・・,四边形48co是矩形，

：.AD=BC,ZADC=ZB=90°,

・・,将aABC沿AC所在直线翻折，得到△4EC,

AZAEC=ZB=90°,CE=BC,

VZCAB=30°,

：.ZCAE=30°,

.•.CE=—AC,

2

:点G是AC的中点，

：.CE=AG=EG=AD,

；.N4EG=NEAG=30°,

：.ZDAE=30°,

，ZDAE=ZAEG,

J.AD//GE,

四边形4OEG是菱形.

22.某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）

与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

销售单价X（元）406080

日销售量y（件）806040

（1）求y与x的关系式；

（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%,求公司销售该商品获得的最大

日利润；

（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成

本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不

变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值.

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则卬=(x-20)y=(x-20)(-x+120)

=-(JC-70)2+2500,进而求解；

(3)由题意得：w=(x-20X2)(-%+120)=-x2+160x-4800=-(x-80)2+1600,

当w刑大=1500时，-(x-80)2+1600=1500,解得xi=70,n=90,而40WxWa,进

而求解.

解：(1)设函数的表达式为y=fcv+4

将(40,80)、(60,60)代入上式得：［4°k+b=80,解得(k=-l,

I60k+b=60lb=120

故y与x的关系式为y=-x+120：

(2)公司销售该商品获得的最大日利润为川元，

贝ijw=(x-20)y=(x-20)(-x+120)=-(x-70)2+2500,

Vx-20>0,-x+12020,x-20^20X100%,

，2(XW40,

V-l<0,

故抛物线开口向下，

故当x<70时，w随x的增大而增大，

.•.当x=40(元)时，w的最大值为1600(元)，

故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；

(3)当M/增大=1500时,-(x-80)2+1600=1500,

解得xi=70,及=90,

2X2020,

；.x-40,

又'.'xWa,

•••有两种情况,

①a<80时，即40WxWa,

在对称轴左侧，卬随X的增大而增大,

.•.当x=a=70时，wia大=1500,

②。，80时，即40WxWa,

在40WxWa范围内wa/^^OO^lSOO,

,这种情况不成立，

."=70.

23.【问题提出］：将一个边长为〃(〃22)的菱形的四条边”等分，连接各边对应的等分

点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？

【问题探究】：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律.

探究一：将一个边长为2的菱形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该菱

形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？

如图1,从上往下，共有2行，我们先研究平行四边形的个数：

(1)第一行有斜边长为1,底长为1〜2的平行四边形，共有2+1=3个；

(2)第二行有斜边长为1,底长为1〜2的平行四边形，共有2+1=3个；

为了便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二

行的平行四边形，以下各行类同第二行.因此底第二行还包括斜边长为2,底长为1〜2

的平行四边形，共有2+1=3个.

即：第二行平行四边形共有2X3个.

所以如图1,平行四边形共有2X3+3=9=(2+1)2.

我们再研究菱形的个数：

分析：边长为1的菱形共有22个，边长为2的菱形共有了个，

所以：如图1,菱形共有22+12=5=5X2X3X5个.

6

探究二：将一个边长为3的菱形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该菱

形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？

如图2,从上往下，共有3行，我们先研究平行四边形的个数：

（1）第一行有斜边长为1,底长为1〜3的平行四边形，共有3+2+1=6个；

（2）第二行有斜边长为1,底长为1〜2的平行四边形，共有3+2+1=6个；底在第二行

还包括斜边长为2,底长为1〜3的平行四边形，共有3+2+1=6个，即：第二行平行四

边形共有2X6个.

（3）第三行有斜边长为1,底长为1〜3的平行四边形，共有3+2+1=6个；

底在第三行还包括斜边长为2,底长为1〜3的平行四边形，共有3+2+1=6个.

底在第三行还包括斜边长为3,底长为1〜3的平行四边形，共有3+2+1=6个，即：第

三行平行四边形共有3X6个.

所以如图2,平行四边形共有3X6+2X6+6=（3+2+1）X6=（3+2+1）2.

我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有32个，边长为2的菱形共有22个，

边长为3的菱形共有I2个.所以：如图2,菱形共有32+22+12=i4=^X3X4X