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文档简介
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2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)
数学
本试卷共5页,22小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:L答卷前,考生务必将自己的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、
座位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上ffl
“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目
选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答
案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各
题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写
上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合'={xI-7<3x-l<2(,N=|x|x+l>0|,则M(JN=
A.(—2,+oo)B.(—1,1)C.(-oo,1)D.(—1,+oo)
2.若复数?满足(z-l)(l+i)=2-2i,则|z|=
A.aB.#C.5D.J5
3.已知函数丁=/的图象与函数y=/(口的图象关于直线y=x对称,则/(2e)=
A.2eB.2eC.1+In2D.21n2
4.函数/(x)=cos2x+6cos传-x)(xw[0,男)的最大值为
A.4B.5C.6D,7
5.已知数列Iaj的前n项和S“=2"-1,则数列|logz%1的前10项和等于
A.1023B.55C.45D.35
6.已知a,b是两个正数,4是2"与16"的等比中项,则下列说法正确的是
A.,必的最小值是1B.向的最大值是I
C.工+;的最小值是菅D.:+;的最大值是生
auj(LD2
7.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍,其中记载有求“困盖”的术:置如
其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一•该术相当于给出了由圆锥的底面周长
L与高鼠计算其体积V的近似公式V=会公人用该术可求得圆周率7T的近似值
数学模拟测试(一)第1页(共5页)
现用该术求得ir的近似值,并计莫得一个底面宜径和母线长相等的网锥的表面积的
近似值为9,则该圆锥体积的近似值为
A.AB.2;3C.373D.3
/,]一
8.若卜;+1-2)(x+“)““>())的展开式中J的系数为3,则"=
A.1B.~C.&D.2
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知曲线C:三一+=1(小关-1,且用/_4),则下列结论正确的是
A.若曲线C为椭圆或双曲线,则其焦点坐标为(±厅,0)
B.若曲线C是椭圆,则m>-1
C.若m<-1且m#-4,则曲线C是双曲线
D.直线区_y-A=0(ZreR)与曲线C恒有两个交点
10.已知/(*)是定义在R上的奇函数,/(x)的图象关于x=l对称,当xe(0.1]时,
/(x)=-X2+2X,则下列判断正确的是
A./(口的值域为(0,1]B./(*)的周期为2
C./(工+1)是偶函数D./(2021)=1
11.已知函数/(x)=cosx+Asinx,则下列说法正确的是
A.若函数/(X)的最小值为-6,则A=2
B.若xe(0,y),则〃€(0,1)使得/(幻=A成立
C,若A=4,Vxe[O,即都有l/(x)-ml<1成立,则me(l,2)
D.若函数/(x)在(0,彳)上存在最大值,则正实数人的取值范围是(0,8)
12.数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微•”事实上,很多代数问
题可以转化为几何问题加以解决•例如,与,(x-,,)2+(>-〃广相关的代数问题,
可以转化为点4(x,y)与点"("/)之间的距高的儿何阿密・结合上述观点,对于函
数/(x)=/X2+4X-75+/X2-4X+5,下列结论正确的是
A.f(x)=6无解
”,6方
B./(x)=6的解为丁=±育
C./(一的最小值为26
D./(工)的最大值为26
数学模拟测试(一)第2页(共5页)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知|“|=1,|6|=有,且|。--|=2,则|。+2/=________.
14.某圆形广场外围彳i12盏灯,如右图所示,为了节能每天晚上12时,”下。
关掉其中4盏灯,则恰好每间隔2盏灯关掉I盏的概率是________.g
2
15.斜率为々的直线过抛物线C:y=2p.x(P>0)的焦点,且与C交于b:
A,8两点,若|/1*=34,则/>=,AAOB(。为坐标原鼠〜/
点)的而积为.(本小即第一空2分,笫二空3分)
16.在四面体A8C。中,/IB=4C=8C=/1O=C〃=2,二面角8-/JC-〃为120。,则四
而体的外接球的表面积为.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
记S.为数列1g」的前“项和,已知q=1,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若儿=设数列的前”项和为证明:
(Z-,14)(k2..—1)
VneN*,
从下列三个条件中任选一个,补充在上面问题的横线中,然后对题目进行求解.
条件①:S”一〃2+n,neN*;
2
条件②:nSn>l=(n+1)Sn+n+n,neN*;
条件③:后;=陷+1,HGN\
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)
在△48C中,角A,/?,C的对边分别是a,b,c,已知a•sinA+a•sinC•cosB+
6-sinC•cosA=b•sin/?+c-sinA.
(1)求角。的大小;
(2)若6=3新,c=3",点〃满足标=1■力+•近,求△八80的面积.
数学模拟测试(一)第3页(共5页)
19.(12分)
如图,在四棱锥P-/18C。中,平而平面川?(万,BC//AD,乙BAD=90。,PA=
AD=2AB=4BC=4,PC=y2\.
(1)证明:PAl^-^ABCD;
(2)线段AB上是否存在一点M,使得MC与平面PCD所成角的正弦值为上笋?
若存在,请求出喘的值;若不存在,请说明理由.
20.(12分)
已知椭圆C:乌+占=1(。>6>0)的离心率为I,过椭圆C右焦点并垂直于工轴
ab2
的直线PM交椭圆C于P,M(点P位于工轴上方)两点,且△OPM(。为坐标原
点)的面积为去
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线/交椭圆C于4B(A,8异于点P)两点,且直线PA与P8的斜率
之积为-言,求点P到直线/距离的最大值・
4
21.(12分)
已知】函数/(工)=lnx-"X+।(«6R).
(1)讨论函数/(x)的零点个数;
(2)设距,句是函数/(幻的两个零点,证明:々+巧+2elna>0.
数学模拟测试(一)第4页(共5页)
22(12分)
在新冠肺炎疫情肆虐之初,作为正要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众
抗击疫情的武器与保障.为了打赢疫情防控阻击战,我国企业依售自身强大的科
研能力,果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机,“争分夺秒、保质保4”
成为口罩生产线上的乖要标语.
(1)在试产初期,某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序,前三道工序完
成成品口罩的生产且互不影响,第四道是检测工序,包括红外线自动检测与人工
抽检•已知批次1的成品口罩生产中,前三道工序的次品率分别为四=看,P2=
11
田内=彳
①求批次I成品口罩的次品率p1.
②第四道工序中红外线自动检测为次品
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