基于核函数主元分析的故障特征提取方法

基于核函数主元分析的故障特征提取方法

特征提取方法故障诊断和机械故障诊断的本质是故障识别的过程。随着设备结构日益复杂,故障类别越来越多,反映故障状态的特征也相应增加。在实际诊断过程中,为了使诊断准确可靠,对于测试信号总希望通过预处理获得尽可能多的特征参数。但是,当太多的特征输入分类器时,会引起训练过程耗时费工,甚至妨碍训练的收敛性,最终影响分类精度。因此,要从故障特征集中提取对状态敏感的特征子集,这一工作就是特征提取。特征提取方法有多种。主元分析(PCA)是最为常用的特征提取方法,它依据输入变量的线性变换,由输入变量互相关矩阵的主要特征值的大小来确定坐标变换和变量压缩,其目的是在数据空间中找出一组m个正交向量。它们最大可能地表示数据方差,以便将数据从原始的n维空间映射到这组正交向量组成的m维子空间上,从而完成降维任务(m<n)。然而,从本质上讲主元分析方法是基于线性代数理论的线性空间变换方法,是一种线性映射算法,在处理非线性问题时,往往不能取得好的效果。为此,专家、学者提出了一系列的改进PCA算法,如文献提出的最小PCA方法(MWPCA),由于其本质上是用逐段线性去逼近非线性,因此无法从根本上解决非线性问题。基于核函数的主元分析(KPCA)方法是Scholkopf等在研究支持矢量分类算法提出的。它通过某种事先选择的非线性映射,将输入向量X映射到一个高维特征空间F,使输入向量具有更好的可分性。然后,对高维空间中的映射数据做线性主元分析,从而得到数据的非线性主元,以所选的非线性主元作为特征子空间。本文将系统介绍核函数主元分析的计算方法,着重讨论此方法在故障特征提取中的应用,并以转子试验台在偏心、裂纹、碰摩状态下的振动信号为例进行研究,取得了较好的效果。1基于构建函数的主构建分析1.1通过中心化来转化为零均值矩阵对于数据矩阵XM×N,每一列对应于一个向量,每一行为观测样本,可以表示为X=TP=t1pΤ1T1+t1pΤ1T1+…+tapTa(a<N)(1)其中:ti为得分向量;pi为负荷向量。得分向量是两两正交的,负荷向量也是两两正交的并且负荷向量的模为1。每一个得分向量实际上是矩阵X在与此得分向量相应的负荷向量方向上的投影,也就是通常所说的主元。ti=Xpi(2)对矩阵进行主元分析实质上就是对矩阵的协方差矩阵进行特征向量分析。在实际分析中,通常假设数据为零均值的。这样假设并不失一般性,对于非零均值矩阵可通过中心化将其转化为零均值矩阵。零均值数据矩阵X的协方差矩阵可以表示为C=1ΜΜ∑i=1xixΤi(3)对C做特征向量分析,即对下式求解λipi=Cipi(4)如果将C的非零特征值λi从大到小排列,那么与这些特征值相对应的特征向量pi就是矩阵X的负荷向量,从而由式(2)可以求得矩阵的主元。然而,主元分析方法是基于高斯统计假设的,对于非线性问题,结果往往差强人意。1.2核函数主元分析核函数主元分析首先通过非线性映射函数Φ:RN→F,将输入空间Xk,k=1,2,…,M映射到特征空间F:Φ(Xk),k=1,2,…,M中,然后在该特征空间中进行主元分析。设Φ(Xk),k=1,2,…,M已经去均值,即Μ∑k=1Φ(Xk)=0,则F空间上的协方差矩阵为ˉC=1ΜΜ∑i=1Φ(xi)Φ(xi)Τ(5)对应的特征方程为λV=ˉCV(6)要求解式(6)中特征值λj>0和对应特征向量Vj∈RN,V≠0。将每个样本与式(6)作内积,可得λ(Φ(xk)⋅V)=(Φ(xk)⋅ˉCV)(k=1,2,⋯,Μ)(7)则特征向量V可以表示为V=Μ∑j=1αjΦ(xj)(8)其中:αj为相关系数。合并式(6),(7)和(8),可得λΜ∑j=1αj(Φ(xk)⋅Φ(xj))=1ΜΜ∑j=1αj(Φ(xk)⋅Μ∑i=1Φ(xi)(Φ(xi)⋅Φ(xj)))(9)定义一个M×M的方阵KΚij=(Φ(xi)⋅Φ(xj))(10)则式(9)简化为ΜλΚα=Κ2α(11)为求解式(11),只需求解下式即可Μλα=Κα(12)结合式(8)可知,由矩阵K的特征向量α可以求出ˉC的特征向量V,得到特征空间的主元方向。矩阵K可以通过选择核函数来确定。对矩阵K实行对角化,用λ1<λ2<…<λm表示其特征值,α1,α2,…,αm为相应的特征向量,设λp为第1个不为零的特征值,通过V的归一化对αp,…,αm标准化,令VkVk=1(k=p‚⋯‚m)(13)将式(8)代入式(13),可得Μ∑i‚j=1akjakj[Φ(xi)⋅Φ(xj)]=Μ∑i‚j=1akjakjΚij=akΚak=λk(ak⋅ak)=1(14)为了提取主元特征,计算映射数据在特征向量Vk上的投影[Vk⋅Φ(x)]=Μ∑j=1akj[Φ(xj)Φ(x)](15)其中:x为原始空间的输入向量;Φ(x)为高维空间的映射向量。这一投影就是通过非线性映射Φ所求得的矩阵X的非线性主元。上述算法是在假设映射数据为零均值的情况下准导的,但实际上由于没有显式的映射函数Φ,所以不能直接去均值。可以先不去均值求得矩阵K,然后ˉΚij=(Κ-lΜΚ-ΚlΜ+lΜΚlΜ)ij(16)其中:lM是元素为1/M的M×M常数方阵。用ˉΚ代替式(12)中K即可满足去均值的要求。核函数主元分析是一种非线性方法,它引入某种非线性映射将原空间中的非线性问题转化为映射空间中的线性问题。这一非线性映射是在原空间中利用核函数内积运算实现的,而无需关注具体的映射形式,因此称作核函数主元分析。线性主元是原始变量的线性组合,它使数据点到它所代表的直线间距离的和为最小,而非线性主元则使数据点到它所代表的曲线或者曲面间距离的和最小。通过核方法可将线性主元分析拓展到非线性领域,从而为机械故障诊断特征提取提供了又一种有效的方法。1.3生成核主元分析支持矢量分类中,不同的内积核函数将形成不同的分类算法,目前常用的核函数主要有3类。(1)高斯径向基函数Κ(xi‚xj)=exp(-|xi-xj|22σ2)(17)其中:σ为标准差参数。(2)多项式Κ(xi‚xj)=(xi‚xj)d(18)其中:d为多项式指数参数(d∈R+)。(3)指数径向基Κ(xi‚xj)=exp(-|xi-xj|2σ2)(19)其中:σ为标准差参数。其他还有Fourier级数、样条函数、B样条函数等都可以作核函数。以上核函数中的变量xi,xj分别表示两个不同的样本向量Xk,k=1,2,…,M。综上所述,进行核主元分析,步骤如下:a.选择合适的核函数,计算矩阵K,进而获得去均值后的ˉΚ;b.按式(12)计算特征向量;c.提取最大的几个特征值对应的特征向量;d.按式(15)计算映射数据在所提取的特征向量方向上的投影,该投影即矩阵X的非线性主元。2转子故障模式分析转子振动是监控旋转机械工作状态的一个重要指标。但目前对转子故障模式判别研究还很不够,主要原因就是转子常见的故障模式较多,一般来说可以分为9种:转子不平衡、转静件碰摩、转子热弯曲、转子突加不平衡、转子裂纹、转子两项刚性差别过大、转子失稳、转子偏心、转子支承结构间隙松动。其故障特征表现见文献,不同的故障模式往往有相似的特征,从而给转子的故障模式判别带来一定困难,因此建立了相应的转子试验台,分析转子故障模式。受现有试验条件所限,该试验台暂时只分析了3种转子故障模式:转静件碰摩、转子偏心、转子裂纹。采用电涡流传感器测量了上述3种情况下转子弯曲振动信号,采样频率为2kHz。实验共获得120组数据,每种故障各40组数据。在具体分析前进行数据预处理,包括零均值处理和异常点剔除。通过振动信号描述转子工作状态的指标众多,本文选择了6个常用的基于统计特性的无量纲指标{αv,βv,Cf,Ιf,Clf,Sf}(20)以此构成转子状态的原始特征集。其中:αv为歪度指标;βv为峭度指标;Cf为峰值指标;If为脉冲指标;Clf为裕度指标;Sf为波形指标。由于以上几个无量纲指标形式简单,数量有限,无法实现对不同故障机理信号的准确描述,因而有必要针对不同的故障模式,选择和构造最能反映故障本质的特征参数。下面就以上述6个无量纲指标作为原始特征向量,利用KPCA进行特征提取。2.1两种特征提取本文以转子的3种工作状态各20组数据,共60组数据的特征向量作为训练样本,用KPCA进行特征提取。经过多次取值试验,KPCA中的核函数采用径向基函数,取σ=0.15,KPCA可以达到较好的降维和分类效果。为了比较特征提取的效果,本文还同时采用PCA方法进行特征提取。两种特征提取方法所得参数如表1所示。从表1可看出,KPCA的前2个主元的累积贡献率(88.92%)虽然小于线性主元的累积贡献率(97.63%),但是其携带的变异信息大于85%,因此可以用来描述转子的工作状态,用于状态识别。从下面的分析结果可看出,KPCA的前2个主元的识别分类效果明显优于线性主元分析的前2个主元。2.2特征集的组成从样本集的可分性和分类器的分类性能两方面来考察PCA和KPCA在特征提取中的有效性。首先,根据PCA和KPCA的先后处理过程,定义下列3种不同的特征集。(1)原始特征集Ⅰ:选取歪度、峭度、波形、峰值、脉冲和裕度指标组成原始特征集Ⅰ。(2)特征集Ⅱ:由PCA从原始特征集Ⅰ提取的4个新特征PC1,PC2,PC3,PC4组成特征集Ⅱ。(3)特征集Ⅲ:由KPCA从原始特征集Ⅰ提取的4个新特征KPC1,KPC2,KPC3,KPC4组成特征集Ⅲ。2.2.1根据特征提取的可分性为了证明本文提出的KPCA特征提取方法的有效性,对以上3组特征样本集的可分性进行对比分析。首先,定义平均类间可分性参数ρ=1s(s+1)s-1∑i=1s∑j=i+1(1-exp{-dijri+rj})(21)可分性参数用来度量给定特征样本集的可分性大小。上式中:s为模式类别数;dij为第i类模式与第j类模式间的类内距离;ri,rj分别为第i,j类模式中样本距模式中心的最大距离,即为容纳本类样本的最小球体的半径。图1为3种特征样本集的可分性参数对应不同特征维数的可分性变化曲线。从图中可以看出,基于PCA的特征样本集的可分性比原始特征样本集的可分性有很大的提高,而基于KPCA的特征样本集的可分性比PCA的可分性又有所提高。进一步观察可以发现,基于KPCA的特征样本集的可分性随着特征维数的增加而基本保持不变,而原始特征样本集的可分性受特征维数的影响最大。说明KPCA很好地提取了类别可分信息,最大程度地提高了样本的可分性。为了更直观地看到不同特征样本集的可分性大小,把特征样本进行归一化处理,然后投影到2维平面显示。图2、图3和图4分别是原始特征样本、基于PCA的特征样本和基于KPCA的特征样本在2维平面的投影效果。图中3种标志‘o’、‘*’、‘+’分别表示转子的裂纹、偏心、碰摩3种故障状态。从图2可以看出,3种工作状态重叠比较严重,可分性较差,相应的可分性参数值就比较低。图4中,3种工作状态基本上没有重叠,可分性较好,因此相应的可分性参数值就较高。图3中3种工作状态重叠情况及可分性介于图2和图4之间。原因分析:PCA和KPCA中主元对特征集贡献率的大小表示了它所携带的原始特征变异信息的大小,贡献率越大,表明它对特征信息的解释能力越强,对原始变量的综合能力也越好。由表1可见,线性主元分析第1个主元携带的变异信息就超过93%。但是用于模式识别分类效果却不理想,可分性较低,原因在于转子的振动信号本身就具有非线性,而带有故障的转子振动信号所具有的非线性就更强,此时线性主元分析方法已不再适用;并且原始特征集中存在重叠信息,夸大了某些特征对于工作状态的影响。而核函数主元分析适用于对非线性数据进行处理,它的前2个主元的累积贡献率虽然小于线性主元的累积贡献率,但是携带的变异信息大于85%,故可以用来描述转子的工作状态,用于状态识别,并且分类效果明显优于采用线性主元分析的结果。2.2.2支持向量机特征维数的压缩根据分类器的分类性能来验证本文特征提取方法的有效性。在60组训练样本数据的基础上,另外选取60组数据作为测试数据,计算相应的无量纲指标。分类器采用一对多支持向量机分类器,其中,核函数选用式(17)中的径向基函数。为了考察采用不同方法提取的特征向量集对支持向量机核函数参数的敏感性,SVM取两组参数设置SVM1:σ=0.25,C=100;SVM2:σ=1,C=100。从表2的对比可以看出,采用KPCA特征提取的多类支持向量机的分类效果远远优于直接使用原始特征的多类支持向量机,也要好于PCA的特征提取的多类支持向量机的分类效果。因此,从支持向量机的分类正确率来看,使用KPCA提取的2维特征就能达到满意的分类识别效果,有效地实现了特征维数的压缩。当支持向量机核函数参数改变时,直接使用原始特征的多类支持向量机的分类效果明显下降,采用PCA特征提取的