2024年高考数学第一轮复习专题5.1 平面向量的概念及其线性运算(解析版)

5.1平面向量的概念及其线性运算思维导图知识点总结1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘规定实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘，记作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)若a≠0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.[常用结论]1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

典型例题分析考向一平面向量的有关概念设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|答案C解析因为向量eq\f(a,|a|)的方向与向量a方向相同，向量eq\f(b,|b|)的方向与向量b方向相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件.感悟提升平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.考向二向量的线性运算角度1平面向量加、减运算的几何意义例2(2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则eq\o(FE,\s\up6(→))＝()

A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析由题图，得eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选A.角度2向量的线性运算例3在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b答案A解析如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.角度3利用向量的线性运算求参数

例4在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq\r(3)，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ－μ＝________.答案eq\f(1,3)解析如图.∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴BD＝eq\r(3)＝eq\f(1,3)BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，故λ－μ＝eq\f(1,3).感悟提升平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.考向三共线向量定理的应用例5(1)(2022·绵阳二诊)已知平面向量a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，则()A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线答案D

解析对于A，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，与eq\o(AB,\s\up6(→))不共线，A不正确；对于B，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不共线，B不正确；对于C，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，则eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))不共线，C不正确；对于D，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.故选D.(2)(2023·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，yeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值为()A.3 B.4C.5 D.6答案A解析延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)\o(AM,\s\up6(→))＋\f(1,y)\o(AN,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3x)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,3y)eq\o(AN,\s\up6(→)).∵M，G，N三点共线，∴eq\f(1,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3.故选A.感悟提升利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线.(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.

考向四等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.例给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上运动，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.答案2解析法一由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略).其中A(1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(cosθ，sinθ)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中∠AOC＝θ，0≤θ≤\f(2π,3))).则有eq\o(OC,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)＝x(1，0)＋yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝cosθ，,\f(\r(3),2)y＝sinθ，))

得x＝eq\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ，y＝eq\f(2\r(3),3)sinθ，x＋y＝eq\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ＋eq\f(2\r(3),3)sinθ＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，其中0≤θ≤eq\f(2π,3)，所以(x＋y)max＝2，当且仅当θ＝eq\f(π,3)时取得.法二如图，连接AB交OC于点D，设eq\o(OD,\s\up6(→))＝teq\o(OC,\s\up6(→))，由于eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝t(xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))).因为D，A，B三点在同一直线上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝eq\f(1,t)，由于|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝t|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝t，当OD⊥AB时t取到最小值eq\f(1,2)，当点D与点A或点B重合时t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.法三(等和线法)连接AB，过C作直线l∥AB，则直线l为以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当l与圆弧相切于C1时，定值最大，

因为∠AOB＝120°，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＋y的最大值为2.基础题型训练一、单选题1．下面给出的关系式中正确的个数是（

）①；②；③；④；⑤A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】向量数乘仍是向量，故①错误；由向量数量积的运算律，有②③正确；应用数量积的运算可证明、不成立，故④⑤错误【详解】①错误，正确的是，向量数乘结果还是向量.②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.④错误，，故⑤错误，综上，正确的个数为2故选：B【点睛】本题考查了向量的运算性质、数量积的运算律，判断正误2．下列结论中，正确的是（

）A．2020cm长的有向线段不可能表示单位向量B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得是单位向量C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移【答案】B

【分析】根据单位向量的定义，向量的概念及共线向量的概念，逐项判定，即可求解.【详解】由一个单位长度取作2020cm时，2020cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误；根据单位向量的定义，在直线上有且仅有两个点使得为单位长度，所以B正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行的，所以两向量为共线向量，故C错误；根据位移的定义，向量表示点到点的位移，所以D不正确.故选：B.3．若＝(1，1)，＝2，且，则与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，求得，再利用平面向量的夹角公式求解.【详解】解：因为，所以，即，解得，所以，因为，所以，故选：B4．若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据几何关系结合平面向量的线性运算可得，，设，利用平面向量数量积的运算律即可求解.

【详解】解：因为为等边三角形，是边的中点，故,,又是线段上任意一点，故设，因为，所以.故,又,故.故选：C.5．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的减法法则画出，得到一个等腰直角三角形，求其结果即可.【详解】如图，，，则，设最小的小正方形网格长度为1，则，，所以，所以三角形是等腰直角三角形，，

向量与的夹角为的补角.故选：D.6．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（

）A． B．C． D．以上都不对【答案】B【分析】先证明出若且，则、、、四点共面，进而可得出合适的选项.【详解】设且，则，，则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.对于A选项，，，、、、四点不共面；对于B选项，，，、、、四点共面；对于C选项，，，、、、四点不共面.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量判断四点共面，考查推理能力，属于中等题.二、多选题7．若是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（

）A． B． C．与的夹角为 D．【答案】BC

【分析】根据条件可得，进而可判断ABC，然后利用向量数量积的概念可判断D.【详解】因为，，所以，故A错误，B正确，C正确；所以，故D错误.故选：BC.8．对于两个向量和，下列命题中错误的是（

）A．若，满足，且与同向，则 B．C． D．【答案】ACD【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐项运算，即可求解.【详解】对于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A不正确；对于B中，由，又由，因为，所以成立，所以B正确；对于C中，，所以C不正确；对于D中，，所以，所以D不正确.故选：ACD.三、填空题9．若向量，满足，，，则与的夹角为_________.【答案】【分析】由向量夹角公式直接求解即可.

【详解】，夹角为，故答案为：.10．在中，、、分别是角A、、的对边，，，，，则___________.【答案】【分析】将已知向量等式两边平方，利用向量的数量积的运算法则运算化简，进而再开方求得答案.【详解】，，故答案为：.11．在中，，且，则的最小值是___________.【答案】【分析】计算出，利用二次函数的最值问题即可解出答案.【详解】，当时，，所以.故答案为：.12．已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______.【答案】/【分析】令，进而根据向量模的不等式关系得，且

，再求向量的模，并结合二次函数性质即可得答案.【详解】设，则，所以，，由二次函数性质可得，，即：所以，所以的最小值为故答案为：.四、解答题13．运用数量积知识证明下列几何命题：(1)在中，，则；(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)证明：由题得,因为，所以,所以，所以.(2)证明；因为矩形ABCD，所以，同理,

因为,所以,所以AC＝BD.14．如图所示，中，，边上的中线交于点，设，用向量表示.【答案】，；，.【解析】利用平行线以及三角形相似，先找出线段间的关系，再结合图象得到向量间的关系．【详解】解析因为，所以.由，得.又是的底边的中点，，所以，.【点睛】本题考查向量的几何表示，三角形相似的性质，向量的加减法，体现了数形结合的数学思想．属于基础题.15．已知，且与的夹角为，又，，(1)求在方向上的投影；(2)求．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据在方向上的投影为计算即可得解；（2）根据向量的线性运算求出，再根据向量的模的计算公式结合数量积的运算律即可得出答案.(1)

解：因为，且与的夹角为，所以在方向上的投影为；(2)解：因为，，所以，则，即.16．平面内给定三个向量，且．(1)求实数k关于n的表达式；(2)如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量平行的坐标运算求解即可；（2）由向量的运算得出，再由三点共线，得出，再由基本不等式求最值.【详解】（1）因为，所以，即.（2）由（1）可知，，，由题意可知因为，所以

又，，所以.因为三点共线，所以.当且仅当时，取等号，即时，取最小值.提升题型训练一、单选题1．已知是互相垂直的单位向量，若，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】利用向量数量积运算求得正确答案.【详解】故选：A2．如图，四边形中，，则相等的向量是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】D【分析】判断出四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质以及相等向量的定义可得出合适的选项．【详解】因为在四边形中，，

则四边形为平行四边形，故，，，故选：D．3．下列命题正确的是A．B．C．D．【答案】C【详解】试题分析：由题；A.，错误；向量的模长相等，但方向不同；B．，错误；向量是有方向的，不能比大小；D．，错误；向量相等，则模长相等，方向相同．而共线则方可相反．C．，正确；符合零向量的定义．考点：向量的概念．4．对于非零向量，，定义．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据定理可得，然后利用向量模的计算求出，代入即可求解.【详解】∵，∴．由可得，两式相减得，∴．故选：B.5．设向量，满足，，，则的取值范围是（

）

A．[，＋∞) B．[，＋∞)C．[，6] D．[，6]【答案】B【分析】由复数的数量积与模的关系将转化为数量积，再利用数量积的定义化简求最值.【详解】＝＝＝＝≥，当t＝－1时取等号．故选：B.6．已知，，则的最大值等于（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【分析】利用基本不等式得到，然后利用平面向量数量积运算求解.【详解】因为，，所以，当且仅当，即时取等号，故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.二、多选题7．有如下命题，其中真命题为（

）A．若幂函数的图象过点，则B．函数（且）的图象恒过定点C．函数在上单调递减D．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是．【答案】BD【分析】A选项，根据幂函数经过的点，求出解析式，即可判断；B选项，根据指数函数恒过定点

即可得到；C选项，根据二次函数的单调性可以判断；D选项，由投影向量知识可算得.【详解】对A选项，设幂函数的解析式为，因为幂函数的图像经过点，即，解得，则，，故A选项错误；对B选项，函数的图象恒过定点，故B选项正确；对C选项，函数在上单调递增，故C选项错误；对D选项，在方向上的投影向量,故D选项正确.故选：BD.8．下列命题中假命题的是（

）A．向量与向量共线，则存在实数使B．，为单位向量，其夹角为θ，若，则C．若，则D．已知与是互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.【答案】ACD【分析】A.根据共线向量定理进行分析判断即可；B.将左右同时平方，由此求解出的取值范围，则范围可求；C.考虑零向量存在的情况；D.根据，同时注意排除两向量同向时的情况.【详解】A.根据共线向量定理可知，此时，故错误；B.因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故正确；C.当中有零向量时，此时，因为零向量方向是任意的，所以不一定满足，故错误；D.因为向量与的夹角为锐角，所以，所以，即，且与不同向，

当向量与共线时，设，所以，所以，显然时，与同向，综上可知，的取值范围是，故错误；故选：ACD.三、填空题9．下列向量中，与一定共线的有_______．（填序号）①，；