第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）

第1页（共1页）第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）若将一个边长为8厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半，占正方形面积的四分之三．那么这个三角形的面积是平方厘米．2．（10分）如图是两个两位数的减法竖式，其中A，B，C，D代表不同的数字．当被减数取最大值时，A×B+（C+E）×（D+F）＝．3．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要分钟才可将水池注满．4．（10分）将六个数1，3，5，7，9，11分别填入如图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边上三个数的和都等于17，则三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为．5．（10分）四年级一班用班费购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种文具．已知购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少2件，且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半．若购买的三种文具恰好共用了66元，那么甲种文具最多购买了件．6．（10分）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有种不同的走法．7．（10分）一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥，共用115秒，已知每辆车长6米，相临两车间隔20米，则这个车队一共有辆车．8．（10分）有一个长方形，如果它的长和宽同时增加6厘米，则面积增加了114平方厘米，则这个长方形的周长等于厘米．二、简答题（每题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）扑克牌的点数如图所示，最大时13，最小是1．现小明手里有3张点数不同的扑克牌，第一张和第二张扑克牌点数和是25，第二张和第三张扑克牌点数和是13，问：第三张扑克牌的点数是多少？10．（15分）如图是一个净化水装置，水流方向从A先流向B，再流到C．原来容器A﹣B之间有10个流量相同的管道，B﹣C之间也有10个流量相同的管道．现调换了A﹣B与B﹣C之间的一个管道后，流量每小时增加了40立方米．问：通过调整管道布局，从A到C的流量最大可增加多少立方米？11．（15分）如图中的一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，四个2，两个3和一个4，那么纸板剩下的部分的面积最大是多少？12．（15分）有20张卡片，每张上写一个大于0的自然数，且任意9张上写的自然数的和都不大于63．如果写有大于7的自然数的卡片为“龙卡”，问：这20张卡片中“龙卡”最大有多少张？所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少？

第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）若将一个边长为8厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半，占正方形面积的四分之三．那么这个三角形的面积是96平方厘米．【分析】根据正方形的面积公式S＝a×a求出正方形的面积，再根据“占正方形面积的三分之二，”求出两个图形重叠部分的面积，进而求出三角形面积．【解答】解：8×8×÷，＝48×2，＝96（平方厘米），答：这个三角形的面积是96平方厘米；故答案为：96．2．（10分）如图是两个两位数的减法竖式，其中A，B，C，D代表不同的数字．当被减数取最大值时，A×B+（C+E）×（D+F）＝144．【分析】根据题干分析可得，A，B，C，D代表不同的数字．当被减数取最大值可以是98，则此题属于不借位减法，则F+D＝B＝8，C+E＝A＝9，据此即可解答问题．【解答】解：A，B，C，D代表不同的数字．当被减数取最大值可以是98，所以C、D都是小于8的数，则F+D＝B＝8，C+E＝A＝9，所以A×B+（C+E）×（D+F）＝9×8+9×8＝72+72＝144，故答案为：144．3．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满．【分析】我们把水池的容量看作单位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用单位“1”除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水，需要的时间．【解答】解：1÷[（1﹣）÷40]，＝1÷，＝60（分钟）；答：单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满．故答案为：60．4．（10分）将六个数1，3，5，7，9，11分别填入如图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边上三个数的和都等于17，则三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为15．【分析】根据题意，设三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是A、B、C；每个边上的数加起来就是1+3+5+7+9+11+A+B+C＝17×3，然后再进一步解答即可．【解答】解：设三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是A、B、C；由题意可得：1+3+5+7+9+11+A+B+C＝17×3，36+A+B+C＝51，A+B+C＝15．1+3+11＝15，3+5+7＝15，1+5+9＝15；又因为：1+9+7＝17，9+3+5＝17，1+11+5＝17；所以，三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是1、9、5；那么，1与9中间的数是7，9与5之间的数是3，1与5中间的数是11；由以上可得：所以，三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为15．故答案为：15．5．（10分）四年级一班用班费购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种文具．已知购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少2件，且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半．若购买的三种文具恰好共用了66元，那么甲种文具最多购买了11件．【分析】设购买甲文具为x元，则乙为（x﹣2）元，由于甲、乙、丙三种文具恰好用了66元钱，则买甲、乙两种文具的钱≤66，再根据购买甲文具的费用不超过总费用的一半，列不等式解答．【解答】9解：设买甲种文具数量为x，丙种文具数量为y，则乙种文具数量为（x﹣2），则3x+2（x﹣2）+y＝66，即y＝70﹣5x，又3x≤，解得x≤11，所以甲文具最多购买11件，答：甲种文具最多购买了11件．故答案为：11．6．（10分）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有6种不同的走法．【分析】本题可以这样想：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点，经过这三个面各有一条最短路线，这样有3种选择，接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供选择，所以根据乘法原理，可得共有：3×2＝6种不同的走法；据此解答．【解答】解：根据分析可得，共有：3×2＝6（种），答：蚂蚁有6种不同的走法．故答案为：6．7．（10分）一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥，共用115秒，已知每辆车长6米，相临两车间隔20米，则这个车队一共有7辆车．【分析】车队过桥所经过的路程是车队长加桥长，车队长：115×4﹣298＝162（米），车的间隔数是：（162﹣6）÷（20+6）＝6个，则这个车队一共有：6+1＝7辆车；据此解答．【解答】解：根据分析可得，车队长：115×4﹣298＝162（米），车的间隔数是：（162﹣6）÷（20+6）＝6（个），车一共有：6+1＝7（辆）；答：这个车队一共有7辆．故答案为：7．8．（10分）有一个长方形，如果它的长和宽同时增加6厘米，则面积增加了114平方厘米，则这个长方形的周长等于26厘米．【分析】如下图：由于原来长方形的长×6+原来长方形的宽×6+6×6＝114平方厘米，根据乘法分配律可求原来长方形的长+宽，从而求得原来长方形的周长．【解答】解：（114﹣6×6）÷6×2，＝（114﹣36）÷6×2，＝78÷6×2，＝13×2，＝26（厘米），答：这个长方形的周长是26厘米．故答案为：26．二、简答题（每题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）扑克牌的点数如图所示，最大时13，最小是1．现小明手里有3张点数不同的扑克牌，第一张和第二张扑克牌点数和是25，第二张和第三张扑克牌点数和是13，问：第三张扑克牌的点数是多少？【分析】由于最大时13，最小是1，又第一张和第二张扑克牌点数和是25，25＝13+12，即第一张与第二张点数一定分别是12或13．又第二张和第三张扑克牌点数和是13，由于最小是1，则第二张一定是13﹣1＝12，则第三张是1．【解答】解：由于最大时13，最小是1，25＝13+12，即第一张与第二张点数一定分别是12或13．又第二张和第三张扑克牌点数和是13，所以第二张一定是13﹣1＝12，则第三张是1．10．（15分）如图是一个净化水装置，水流方向从A先流向B，再流到C．原来容器A﹣B之间有10个流量相同的管道，B﹣C之间也有10个流量相同的管道．现调换了A﹣B与B﹣C之间的一个管道后，流量每小时增加了40立方米．问：通过调整管道布局，从A到C的流量最大可增加多少立方米？【分析】由于调换了A﹣B与B﹣C之间的一个管道后，流量每小时增加了40立方米可得：A﹣B和B﹣C之间的管道不一样，应该是其中的一组管道比另一组管道流量大，且调换一个管道流量每小时就增加40立方米，因为流量较大的一组共有10个管道，那么调换5组管道应该是增加流量最大，据此依据最大增加流量＝调换管道数×一组管道增加流量即可解答．【解答】解：40×（10÷2），＝40×5，＝200（立方米），答：通过调整管道布局，从A到C的流量最大可增加200立方米．11．（15分）如图中的一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，四个2，两个3和一个4，那么纸板剩下的部分的面积最大是多少？【分析】原来长方形纸板的面积是：12×11＝132，为定值，要使纸板剩下的部分的面积最大，则必须使切掉的四个小长方形的面积之和最小，显然应该用1和4配对，然后用两个2和两个3分别配对，最后是两个2配对，被切掉的4个小长方形的面积分别是：4、6、6、4，这时切掉的四个小长方形的面积之和最小，于是即可求出纸板剩下的最大面积．【解答】解：据分析可知：切掉的四个小长方形的面积分别为：1×4＝4，2×2＝4，2×3＝6，2×3＝6，原来纸板的面积：12×11＝132，切掉的四个小长方形的面积之和：4+4+6+6＝20，纸板剩下的最大面积：132﹣20＝112；答：纸板剩下的部分的面积最大112．12．（15分）有20张卡片，每张上写一个大于0的自然数，且任意9张上写的自然数的和都不大于63．如果写有大于7的自然数的卡片为“龙卡”，问：这20张卡片中“龙卡”最大有多少张？所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少？【分析】由于“龙卡”上写的数最小是8，8×8＝64＞63，所以8张，所以最多有7张；设7张“龙卡”上写的自然数的和是S，如果再去两张小于8的卡片，就组成9张，当这两张的和最小时，S的值最大，又因为每张上写一个大于0的自然数，最小是1，所以当这两张都是1时，它们的和最小，即是2，又因为任意9张上写的自然数的和都不大于63，即最大为63，所以S的值最大是：63﹣2＝61；据