相似三角形经典题型

相似三角形知识点与典型题型知识点1有关相似形的概念(1)形状相似的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简朴的是相似三角形.(2)如果两个边数相似的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2比例线段的有关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注：=1\*GB3①比例线段是有次序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．=2\*GB3②a、d叫比例外项，b、c叫比例内项,a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即那么b叫做a、d的比例中项，此时有。（3）黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即简记为：注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：①；②．注：由一种比例式只可化成一种等积式，而一种等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，，，，，，．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：．（4）合、分比性质：．注：事实上，比例的合比性质可扩展为：比例式中档号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．（5）等比性质：如果，那么．注：①此性质的证明运用了“设法”（即引入新的参数k）这样能够减少未知数的个数，这种办法是有关比例计算变形中一种惯用办法．②应用等比性质时，要考虑到分母与否为零．③可运用分式性质将连等式的每一种比的前项与后项同时乘以一种数，再运用等比性质也成立．如：；其中．知识点4比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC可得：注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行办法,即：运用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵照的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。知识点5相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表达，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表达对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②次序性：相似三角形的相似比是有次序的．③两个三角形形状同样，但大小不一定同样．=4\*GB3④全等三角形是相似比为1的相似三角形．两者的区别在于全等规定对应边相等，而相似规定对应边成比例．知识点6三角形相似的等价关系与三角形相似的鉴定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一有∽．②对称性：若∽，则∽．③传递性：若∽，且∽，则∽(2)三角形相似的鉴定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：，∴∽．知识点7三角形相似的鉴定办法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、鉴定定理1：如果一种三角形的两个角与另一种三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、鉴定定理2：如果一种三角形的两条边与另一种三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、鉴定定理3：如果一种三角形的三条边与另一种三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、鉴定直角三角形相似的办法：(1)以上多种鉴定均合用．(2)如果一种直角三角形的斜边和一条直角边与另一种直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。知识点8相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几个基本图形：如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。2、几个基本图形的具体应用：（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可鉴定△ADC∽△ACB．（4）当或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．知识点9：全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)

两角一对边对应相等(AAS)

两边及夹角对应相等(SAS)

三边对应相等(SSS)

直角三角形中始终角边与斜边对应相等(HL)相似鉴定的预备定理

两角对应相等

两边对应成比例，且夹角相等

三边对应成比例

直角三角形中斜边与始终角边对应成比例知识点10相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．知识点11相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法

1、证明四条线段成比例的惯用办法：

(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)运用相似三角形的性质(4)运用中间比等量代换(5)运用面积关系

2、证明题惯用办法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”

(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够构成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替代”)，惯用的“替代”办法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。办法：将等式左右两边的比表达出来。①②③(4)添加辅助线：若上述办法还不能奏效的话，能够考虑添加辅助线(普通是添加平行线)构成比例.以上环节能够不停的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中普通是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（5）比例问题：惯用解决办法是将“一份”看着k;对于等比问题，惯用解决措施是设“公比”为k。（6）．对于复杂的几何图形，普通采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的措施解决。知识点12相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，纯熟掌握相似三角形知识是基础和核心．知识点13位似图形有关的概念与性质及作法定义：如果两个图形不仅是相似图形，并且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注：（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，并且对应顶点的连线相交于一点.（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3）位似图形的对应边互相平行或共线.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形含有相似图形的全部性质.画位似图形的普通环节：（1）拟定位似中心（位似中心能够是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的核心点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，拟定所画位似图形中核心点的位置.（4）顺次连结上述得到的核心点，即可得到一种放大或缩小的图形.①②③④⑤注：①位似中心能够是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),典型例题透析类型一、相似三角形的概念

1．判断对错：

(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？

(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？

(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？

(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？

思路点拨：要阐明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要阐明不相似，则只要否认其中的一种条件.

解：(1)不一定相似.反例

直角三角形只拟定一种直角，其它的两对角可能相等，也可能不相等.因此直角三角形不一定相似.

(2)不一定相似.反例

等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此等腰三角形不一定相似.

(3)一定相似.

在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中

设AB=a，A′B′=b，则BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b

∴

∴ABC∽A′B′C′

(4)一定相似.

由于等边三角形各边都相等，各角都等于60度，因此两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.

(5)一定相似.

全等三角形对应角相等，对应边相等，因此对应边比为1，因此全等三角形一定相似，且相似比为1.

举一反三

【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？

解析：全等.由于这两个三角形相似，因此对应角相等.又相似比为1，因此对应边相等.

因此这两个三角形全等.

总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

(1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似.

(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似.

(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等.

【变式2】下列能够相似的一组三角形为()

A.全部的直角三角形B.全部的等腰三角形

C.全部的等腰直角三角形D.全部的一边和这边上的高相等的三角形

解析：根据相似三角形的概念，鉴定三角形与否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其它的角与否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中全部三角形都是由90°、45°、45°角构成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.

类型二、相似三角形的鉴定

2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出对应的相似比.

思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.

∴△BEF∽△CDF∽△AED.

∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；

当△CDF∽△AED时，相似比.

总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数.

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？

思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，因此可运用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边与否对应成比例.

解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.

由勾股定理得.

在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.

由勾股定理，得.

在△ABC和△EDF中，，，，

∴，

∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).

总结升华：

(1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就鉴定两三角形不相似.运用三边鉴定两三角形相似，应看三角形的三边与否对应成比例，而不是两边.

(2)本题也能够只求出AC的长，运用两组对应边的比相等，且夹角相等，鉴定两三角形相似.

4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足如何的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.

思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别办法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别办法寻找一种条件即可.

解：当满足下列三个条件之一时，△ACD∽△ABC.

条件一：∠1=∠B.

条件二：∠2=∠ACB.

条件三：，即.

总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别办法.在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：.不符合条件“最小化”原则，由于条件三能使问题成立，因此出现条件四是错误的.

举一反三

【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．

求证：△ADQ∽△QCP．

思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ与否垂直，因此不能用两个角对应相等鉴定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，因此可用对应边成比例夹角相等的办法来鉴定．具体证明过程以下：

证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2

∵=3，∴=4

又∵BC=2DQ，∴=2

在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，

∴△ADQ∽△QCP．

【变式2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：.

思路点拨：题目中求证的是等积式，我们能够转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.

证明：连接，.

在

∴∽

∴.

【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．

求证：△DFE∽△ABC．

思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．

证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，

∴DE=AB，

即=．

同理=．

∵EF为△ABC的中位线，

∴EF=BC，

即=．

∴==．

∴△DFE∽△ABC．

总结升华：本题证明办法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都能够证出△DEF∽△ABC．

类型三、相似三角形的性质

5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试阐明理由.

思路点拨：因没有阐明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种状况进行讨论.

解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y.

(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

总而言之，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.

总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意与否有图形的分类.

6．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

思路点拨：运用已知条件及相似三角形的鉴定办法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.

解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC.

∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.

∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.

由相似三角形对应高的比等于相似比，得，

∴，∴，.

∴EF=6cm，EH=12cm.

∴.

总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常运用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高能够先作出高.

举一反三

【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

∴

∵M为DE中点，∴

∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC

∴

∴=1：2.

总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和规定的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，运用M为DE中点的条件将条件由一种“”字形转化到另一种“”字形，从而解决问题.

类型四、相似三角形的应用

7．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，你有什么办法？

方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽.

方案2：

思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还能够借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.

如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m达到D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

答：河宽为85m．

总结升华：方案2运用了“”型基本图形，事实上测量河宽有诸多办法，能够用“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等.

举一反三

【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m．

(1)图中△ABC与△ADE与否相似?为什么?

(2)求古塔的高度．

解：(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE

∴∠ACB=∠AED=90°

∵∠A=∠A

∴△ABC∽△ADE

(2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴

∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m

∴

∴DE=16m

答：古塔的高度为16m.

【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

思路点拨：光线AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则，运用边的比例关系求出BC.

解：作EF⊥DC交AD于F.由于AD∥BE，因此又由于，

因此，因此.

由于AB∥EF，AD∥BE，因此四边形ABEF是平行四边形，因此EF=AB=1.8m.

因此m.

类型五、相似三角形的周长与面积

8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

思路点拨：运用△ADE∽△BCE，以及其它有关的已知条件，能够求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后运用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面积．

解：∵DA∥BC，

∴△ADE∽△BCE．

∴S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．

∵AE︰BE=1︰2，

∴S△ADE︰S△BCE=1︰4．

∵S△ADE=1，

∴S△BCE=4．

∵S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，

∴S△ABC=6．

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC．

∵AE︰AB=1︰3，

∴S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．

∴S△AEF==．

总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．

举一反三

【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.

解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且，，

∴，

∴.

【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重叠)，Q点在BC上．

(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

解：(1)∵S△PQC=S四边形PABQ

∴S△PQC：S△ABC=