一维应力波理论

材料动态力学概论2.一维应力波理论

本节讨论波阵面在连续介质中传播时，波阵面前后各参量之间应满足的限制条件，即波阵面上的守恒条件：质量守恒条件、动量守恒条件和能量守恒条件。2.8波阵面上的守恒条件质量守恒条件

设有平面波阵面以波速D向右传播，波阵面上的任一物理量为，设波阵面之前和之后的ψ值分别表示为和，则波阵面前后参量的变化值表示为：

(2-8-1)

如果ψ在波阵面上连续，有，有间断则，用表示物理量在波阵面前后的差值，即突跃值。考察物理量对时间的变化率，即随波微商有：

(2-8-2)

对和分别取随波微商并相减，可得

(2-8-3)2.8波阵面上的守恒条件

对于一阶奇异面（强间断），ψ连续而一阶导数发生间断，有，(2-8-3)式变为：

(2-8-4)此即著名的Maxwell定理。2.8波阵面上的守恒条件强间断：如果位移函数u的一阶导数间断弱间断：如果函数u及其一阶导数皆连续，但其二阶导数等发生间断

对于二阶奇异面，用ψ的一阶偏导数和代替(2-8-3)式中的ψ，有

ψ及其一阶导数连续，二阶导数间断，有，，从而有：

(2-8-5)2.8波阵面上的守恒条件(2-8-3)-(2-8-5)式分别对应于ψ本身、ψ的一阶导数和二阶导数发生间断情况下波阵面上运动学相容条件的通式。以此类推，还可得到更高阶奇异面上的运动学相容条件。如果是对于左行波，相应的关系式只需用-D替代D即可。

2.8波阵面上的守恒条件

如果波阵面上运动学相容条件的通式中的ψ用位移u来代替，根据位移连续条件，显然有

对于冲击波（一阶奇异面）波阵面，ψ用位移u来代替，(2-8-4)式整理可以变为：

(2-8-6)

对于加速波波阵面（一阶奇异面）

，ψ用位移u来代替，(2-8-5)式整理可以变为：

(2-8-7)

2.8波阵面上的守恒条件冲击波和加速波波阵面的运动学相容条件——质量守恒条件动量守恒条件

对于强间断波，根据动量定理，有：波速，两边除以dt，则上式变为：

(2-8-8)图2-8-12.8波阵面上的守恒条件

对于弱间断波，有，，需要考察v和ε偏导数之间的关系，把一维纵波的动量守恒方程分别应用于波阵面的前方和后方并相减可得：

(2-8-9)

(2-8-8)和(2-8-9)式分别为强间断波与加速度波的动量守恒条件。2.8波阵面上的守恒条件

对于冲击波，由质量守恒条件(2-8-6)式和动量守恒条件(2-8-8)式可推得：

(2-8-10)

故冲击波的波速可表示为：

(2-8-11)

对于加速度波，由质量守恒条件(2-8-7)式和动量守恒条件(2-8-9)式可推得：

(2-8-12)从而加速度波的波速可表示为：

(2-8-13)2.8波阵面上的守恒条件

讨论：

（1）波阵面上运动学的相容条件和动力学的相容条件，在推导时未涉及材料的物性，因此其结果对任何连续介质中的表面波一概成立。2.8波阵面上的守恒条件2.8波阵面上的守恒条件

（2）弱间断波的波速与强间断波的波速是不同的，因为关系与关系是不同的，这涉及到材料的物性。根据应变率无关理论，应力是应变的单值连续函数，对于弱间断有

则波速形式变为：

(2-8-14)

这样加速度波的波速仍然是由材料本构关系曲线的切线斜率所确定。若应力与应变满足线性关系，则，此时加速度波与强间断波的波速一致。冲击波波阵面上的能量守恒条件

如图，对于冲击波，根据能量守恒定律，应力波在dt时间内，对dX微元内介质所做的功，一部分用来增加介质的内能，一部分变为介质的运动动能，即有：

式中e为介质的比内能（单位质量的内能）。图2-8-12.8波阵面上的守恒条件整理可得(2-7-15)利用

和

将上式展开整理可得：

（2-7-16）引入单位体积内能E，有上式变为： （2-7-17）2.8波阵面上的守恒条件

冲击波波阵面上的守恒条件统称为冲击突跃条件或Rankine-hugoniot关系：（2-8-18）或（2-8-19）2.8波阵面上的守恒条件

如果令冲击波波阵面上的突跃值由有限值趋于无限小，波速用C来替代D，则相应的守恒方程组变为：（2-8-20）或（2-8-21）2.8波阵面上的守恒条件

从弱间断波与强间断波的波阵面上的相容条件的前两式的形式可以看出，它与特征线上的相容关系正好符号相反。2.8波阵面上的守恒条件

这是因为波阵面上的相容条件反映的是波阵面前方和后方状态参量之间的关系，即跨过波阵面时状态参量所应满足的关系，而特征线上相容条件是沿着特征线前进时状态参量之间所应满足的关系。扰动沿着右行特征线传播时将跨过一系列左行特征线，也就是要跨过一系列左行波的波阵面，反之则反，因此二者的相容关系正好反号。2.8波阵面上的守恒条件2-9横向惯性引起的弥散效应前面几节讨论了一维应力纵波的初等理论，这一理论忽略了杆中质点的横向运动惯性作用，即忽略了横向惯性（包括收缩和膨胀）对动能的影响，显然这是一种粗糙的近似理论。下面在弹性波范围内考察横向惯性的影响，以此来考察初等理论的局限性，以及初等理论在何种条件下才适用。2.9横向惯性引起的弥散效应2-9-1横向运动的动能（弹性杆）杆在轴向应力作用下，除了有轴向应变之外，还存在着因Poisson效应引起的横向变形（应变），即对于纵向应变有：（2-9-1）而对于横向应变有：（2-9-2）上式进行积分，可以得到横向位移为：（2-9-3）2.9横向惯性引起的弥散效应

取杆横截面中心为横向坐标Y和Z的原点，可得横向运动的质点速度和加速度分别为：（2-9-4）（2-9-5）2.9横向惯性引起的弥散效应

以上各式表明：只要杆的截面存在横向质点位移，就会存在横向速度和横向加速度，杆的截面将会发生变形，不再保持平截面，长杆的应力状态不再是一维应力状态了，而是二维或者三维问题了。2.9横向惯性引起的弥散效应

从能量角度来看，忽略横向惯性就是忽略横向运动的动能。对于单位体积平均横向动能可由（2-9-4）式导出为：（2-9-6）式中为截面对X轴的回转半径： （2-9-7）2.9横向惯性引起的弥散效应2-9-2横向动能对弹性应力应变关系的影响图2-9-1有：2.9横向惯性引起的弥散效应

图中微元体两侧所受力，可分解为静力平衡力和与微元体纵向惯性有关的非静力平衡力。其中非静力平衡力在单位时间内对微元体所做的功等于纵向动能的增加率，即： （2-9-8）整理上式，所得正好是一维应力纵波的运动方程，即2.9横向惯性引起的弥散效应

一对静力平衡力对微元体所做的功，在初等理论中不考虑横向惯性效应，全部转化为微元体的内能，在弹性波情况下就转变为弹性应变能：或

2.9横向惯性引起的弥散效应

考虑横向惯性效应时，静力平衡力所做的功，分为两部分：一部分使微元体应变能增加，一部分近似认为转变成横向动能。静力平衡力在单位时间、单位体积所做的功为：横向动能

整理可得：（2-9-9）弹性应变能2.9横向惯性引起的弥散效应

讨论：（1）（2-9-9）式为考虑横向惯性效应时，杆在弹性阶段的应力-应变关系，其中第二项即为惯性效应修正项，若忽略该项时，杆的本构关系就简化为一维应力下的本构关系（Hooke定律）：（2）由于惯性修正项与成正比，因此只有当施加的载荷随时间有十分显著的变化的情况下，这一修正才是必要的，否则就可忽略惯性效应的影响。2.9横向惯性引起的弥散效应2-9-3横向惯性效应对波动方程的影响将考虑横向惯性效应的本构方程（2-9-9）式代入运动方程得

将代入上式整理可得（2-9-10）2.9横向惯性引起的弥散效应

讨论：（1）（2-9-10）式即考虑了横向惯性的影响之后的弹性波的波动方程，与一维纵波的波动方程相比，增加了反映惯性效应的第二项。（2）由于存在横向惯性效应，杆中的弹性波将不再以恒速C0进行传播了，对于不同频率（或波长）的谐波将以不同的波速（相速）传播。2.9横向惯性引起的弥散效应为了求解考虑横向惯性效应下的波速表达式，利用谐波解：

将其代入（2-9-10）式，可得（2-9-11）式中，u为位移，ω为圆频率，,f为频率，k为波数，

,为波长。圆频率为ω的谐波中任一相位的相速度C可表示为：则（2-9-11）式可变为：（2-9-12）

2.9横向惯性引起的弥散效应当时，上式可近似变为：（2-9-13）对于半径为a的圆柱杆，，则（2-9-14）这是考虑到横向惯性修正的近似解，称为Rayleigh近似解。2.9横向惯性引起的弥散效应

讨论：（1）对于一般介质，，则，当杆的半径（直径）与波长相比很小时，可忽略横向惯性效应的影响，此时。（2）研究表明，时，Rayleigh修正式能给出较好的结果，但相对波长再短的波，该式就不够精确了。（3）对于高频波（短波）——f高，λ小，则就大，相速C就低；反过来，低频波（长波），相速高。不同频率的波将各自按自己的相速传播，于是应力波在传播过程中不再保持不变的波形了。2.9横向惯性引起的弥散效应

（4）波的弥散现象：应力波在传播过程中波形发生散开的现象，它包括有几何弥散、非线性本构弥散和粘性弥散等几类。这里所讨论的是由于几何形状所引起的，称为几何弥散。前面讨论不同材料中波的传播特点时，所描述的由应力应变本构关系的非线性所引起的弥散现象，称为非线性本构弥散。由材料的粘性效应所引起的，称为粘性弥散。2.9横向惯性引起的弥散效应

（5）按照初等理论，两杆相撞时（如在Hopkinson撞击实验中），在弹性范围内，波形应该为矩形。但是实测所得的波形总是或多或少地呈现出几何弥散现象，见图所示。包括波形的拉平、变长，以及发生局部振荡等，特别是包含高频分量的强间断波在杆中传播时一般都难以保持其陡峭的前沿，这主要就是因为杆中横向惯性或多或少地存在着。图2-9-2

2.9横向惯性引起的弥散效应

（6）圆杆中的横向惯性效应具体表现在以下几个主要方面：

a）杆横截面上应力分布不均匀；

b）波形振荡；

c）应力脉冲前沿升时增大；

d）应力脉冲峰值随传播距离发生衰减。2.9横向惯性引起的弥散效应2-10杆中的扭转波前面讨论的都是一维应力纵波，这一节讨论杆中的弹性扭转波（横波），作为长杆中波的传播问题的补充内容。2.10扭转波2-10-1弹性扭转波的控制方程研究对象：截面均匀的圆柱杆基本假定：圆杆平截面不变形加载性质：纯扭转加载坐标系：物质坐标系2.10扭转波

参量说明：M——扭矩，——扭转角，ω——角速度，θ——单位扭转角，τ——剪应力，——剪应变，I——单位长度杆微元对扭转轴X的转动惯量。

补充说明：与一维应力状态相比，可以把某些参量看成具有一定的相互对照关系，即，，，2.10扭转波mm

OBA

基本关系式：，（2-10-1）（相对照：，）（2-10-2）（2-10-3）式中，r为杆截面上任一点距扭转轴的的距离，m为线密度，即单位长度圆杆的质量，G为剪切模量。2.10扭转波如图所示，有（2-10-4）由（2-10-1）式，可得连续方程：（2-10-5）（相对照：）图2-10-12.10扭转波根据扭转过程的角动量守恒条件有：（2-10-6）由（2-10-4）式和（2-10-6）式，可得角动量守恒方程为：（2-10-7）由（2-10-3）式和（2-10-7）式，可得角动量守恒方程的另一种形式：（2-10-8）（对照：）

式中，CT称为弹性扭转波的波速，。2.10扭转波

（2-10-5）式和（2-10-8）式就组成了以ω和θ为未知参量的一阶偏微分方程组：（2-10-9）（对照：）2.10扭转波

根据各参量之间的关系，同理可得到以ω和τ为未知参量的一阶偏微分方程组：（2-10-10）（对照：）2.10扭转波

将,代入（2-9-8）式，可得到以为未知参量的二阶双曲型偏微分方程，即扭转波的波动方程：（2-10-11）（对照：）2.10扭转波

讨论：（1）因剪切模量，而泊松比一般介于0~0.5之间，故G<E，，二者之比为：（2-10-12）介于之间。部分材料的剪切模量和扭转波速见下表。

钢铜铝玻璃橡胶G（GPa）814526287.0×10-4CT（米/秒）3220225031003350272.10扭转波

（2）对于平均半径为a的薄壁管，设剪应力在管截面上均匀分布，则（2-10-9）式保持不变，因为

而（2-10-10）式变为：（2-10-13）2.10扭转波2-10-2扭转波的特征线方程和特征线上的相容关系对（2-10-13）式采用前面介绍的方向导数法来求解弹性扭转波的特征线方程和特征线相容关系。2.10扭转波解：对于所给的一阶偏微分方程组，根据方向导数法的定义，（1）式及（2）式分别乘以λ1

，λ2并进行线性组合可得：上式中