1999年考研数学一真题及答案

第第1页1999数学一试题一、填空题(此题共5个小题，每题3分，总分值15分。把正确答案填写在题中横线上。)(1) lim1 1 x0x2 xtanxd x(2)

dx0

sin(xt)2dt(3) y“4ye2x

y设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是设两两相互独立的三大事A,B和C满足条件：ABC,P(A)P(B)P(C)

1,P(ABC)9,PA

2 16二、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分。每题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )f(x)F(x必是偶函数。f(x)F(x必是奇函数。f(x)F(x必是周期函数。f(x)F(x必是单调增函数。1cosx,x0x(2)f(x)xxg(x),x0

其中g(x)是有界函数，则f(x)在x0处( )(A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续连续，但不行导 (D)可导x, 0x1(3)

设f(x) 2,S(x)a

cosnxx其中0 1 2 n022

2

n1a 21

f(x)cosnxdx,(n0,1,2,),则S5等于( ) n1(A)

0 2(B)12 23(C)

34 4设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则当mn时，必有行列式AB0 (B)当mn时，必有行列式AB0(C)当nm时，必有行列式AB0 (D)当nm时，必有行列式AB0设两个相互独立的随机变量X和Y分别听从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则(A) Y01. (B) 2 2(C) (D) 2 2三、(此题总分值5分)yy(x)，zz(xzxf(xyF(xyz=0fFdz分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 。dx四、(5分)

I2ax2ax-x2

exsinyb(xy)

excosyax

dy其中a,b为正常数，L为从点A

2a,0沿曲线y= 到点O(0,0)的弧.(此题总分值6分)设函数yxx0二阶可导，且yx0y01过曲线yyx上任意一点Px,yxx轴所围成的三角形的面积记为S，区间0,x

yy

x

为曲边的曲边梯形面积记为

2SS1

1恒为1，求此曲线yy

x的方程.六、(此题总分值6分) 试证：当x0时，x21lnxx2.七、(此题总分值6分)为去除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，井深30m30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2023N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问抑制重力需作多少焦耳的功？(说明：①1N1m1J其中mNsJ分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度无视不计.)八、(此题总分值7分)设S为椭球面

z2 1的上半局部，点P(x,yz∈S,π为S在点P处的切平面，2 2(x,yz为点O(0,0,0)到平面π的距离，求S九、(此题总分值7分)

z dS.(x,y,z)设a n

4tannxdx,0(1)求n1

1an

an2

的值；(2)试证：对任意的常数>0,级数n1

an收敛n第3页第第4页十、(此题总分值8分)a 1 c A5

b 3 A1又AA*有一个特征值，属01c 0 a于的一个特征向量为(1,1,1)T求abc和0

的值.十一、(此题总分值6分)设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩rBn.十二、(此题总分值8分)设随机变量X与YX,Y联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的局部数值，试将其余数值填入表中的空白处.YYXy1yy23PXxpi ix 118x2PYy pj18161j十三、(此题总分值6分)设总体X的概率密度为

6x(x),0xf(x)30, 其他X,X1

2

是取自总体X的简洁随机样本.n求的方差D .参考答案一、1.3x0的等价变换和洛必达法则求函数极限.【解析】方法1lim1

1 limtanxxtanxxlimtanxxx0x3tanxxlimtanxxx0x3

x0

x2tanxtanx xlimx2x03x2洛limsec2x1tanx xlimx2x03x2x0

3x2

x0 3x2 3方法2lim1

1 lim1

cosxlimsinxxcosx x0x2 x

x0x2

x

x0

x2sinxsinx xlimsinxxcosx洛limcosxcosxxsinxlimsinx1x0 x3

x0

3x2

x0

3x 3【答案】sinx2【分析】欲求外

db(x,t)dt，唯一的方法是作变换，使含有(x,t)中的x“转移”到之dxa【解析】令uxt，则dtdu，所以有d x d 0 d xdx0

sin(xt)2dt

dx

sinu2

du

dx0

sinu2dusinx2yCe2x

C

xe2x其中CC

为任意常数.1 1 2 4 1 21 【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.y“4y0240,解得1

2,2

2，y“4y0y1

Ce2x1

Ce2x,2f(x)e2xy*Axe2x,代入原方程可求得1 1 A yy4

Ce2x1

C

xe2x44【解析】由于1 1 ... 11 1EA ... ...

... ... ...

(对应元素相减)两边取行列式，

1

1 ... 11EA 1

1 ... 11 ... 1

n 1 ... 1，加到第1列，加到第1列...

... ...

... ... ... ...1 1

... 1

1 ... 11 1

...

1 2行1行

1 1 ... 1(

n)1 1 ... 1 3行1行(

n)0

... 0的公因子n-1(n)

... ... ... ... ... ... ... ...1 1 ... 1n行1行 0 0 ... EAn-1(n)0，得1

n(1重)，2

0((n1)重)，故矩阵A的n个特征值是n和0((n-1)重)【答案】14【解析】依据加法公式有P(A B C)P(A)P(B)P(C)P(AC)P(AB)P(BC)P(ABC)PA)P(B)P(C)PA)P(B)P(C)p由于A,B,C两两相互独立，所以有P(AB)PA)P(B)ppp2P(AC)PA)P(C)ppp2，P(BC)P(B)P(C)ppp2，ABCPABC)P()0,所以 P(A B C)P(A)P(B)P(C)P(AC)P(AB)P(BC)P(ABC)9 pppp2p2p203p3p29 PAp2p

，从而P(A B C)3p3p2B C)91630，解得p3或pB C)91616 4 4

，则有3p3p2 016 16PAP(B)P(Cp

1，故p1PA12 4 4二、【答案】(A)【解析】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.f(x)F(xF(x)x0

f(t)dtC,于是F(x)xftdtCutxf(uduC.0 0f(x)f(u)f(u，从而有F(x)x0

f(u)duCx0

f(t)dtCF(x)即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：1f(x)x2是偶函数，但其原函数F(x) x31不是奇函数，可排解(B)；3f(x)cos2x是周期函数，但其原函数F(x)

1x1sin2x不是周期函数，可排解(C)；2 4f(x)x在区间(内是单调增函数，但其原函数F(x)非单调增函数，可排解(D).

1x2在区间(内2【答案】(D)【解析】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.1f(x)f(0) 1cosx 2x2x xx x由于 f(0)limx xx x

lim lim

0, x0

x0

x0f(0)lim

f(x)f(0)

lim

x2g(x)

limxg(x)0, x0

x0

x0 x

x0f(0)f(0)0，故正确选项为(D).【答案】(C)【解析】由题设知，应先将f(x)从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[1,1]上的偶函数，然后再作周期(周期2)延拓，进一步开放为傅里叶级数，S(5)S(21)S(1)S(1)2 2 2 2x

f(x)的连续点，按狄利克雷定理有，21 1 1f( 0)f( 0)1 2 2

21 3S( ) .2 2 2 4【答案】B【解析】方法1AmnBnmAB是m阶方阵，因r(AB)minr(A),r(B)minm,n.mnrABmin[rAr(B)]nm.(AB)x0的系数矩阵的秩小于未知数的个数)，故有行列式AB0，故应选(B).方法2Bnm矩阵,当mn时,则r(B)n(系数矩阵的秩小于未知数的个数)，方程Bx0必有非零解，即存在x0

0Bx0

0，两边左乘AABx0

0，即ABx0有非零解，从而AB0，应选(B). 3：用排解法 mnA

1,B

0 0, AB0 AB0，(A)不成立 m

0 nm

0 0nmAmnnmAmn

0,Bnm0,Bnm

01 , AB0，AB0，(C)不成立1 10 , AB1，AB1，(D)不成立，应选(B).0 【答案】B.X和YX~N(0,1)Y~N(1,1)，所以TXY~N(u,1 1

2),T1

XY~N(u, 2)2 2其中u1

E(XY)，21

D(XY)，u2

E(XY)，22

D(XY)E(T)EXY)EXEY011，1E(T2

)E(XY)EXEY011D(T)DXY)DXDY1121D(T2

)D(XY)DXDY112所以 T1

XY~N(1,2)，T2

XY~N(1,2)(一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点动身)APXY01.因T

XY~N(1,2)2X~N(u,XY1

12)，则

Xu

~N(0,1)所以，2

N(0,1)，将其标准化有PXY0PXY1

01PXY1 22212 22212 (保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变，右边也同样的变化)y轴对称，所以XY1212 1 XXY12122P 02，而P 2

，所以A错. BPXY11.222XY1 11 XY1 1222P2

P

0

2(依据标准正态分布的对称性)故B正确.CPXY0

1.2

XY12XY(1) 0(1)XY12P

P

2，故C错.222 222DPXY11.22PXY1)11)PXY12

2

1，故D错. 2222 222三、zxf(xyF(x,yz)0x求导数，得dz

f(x,y)x1dy

f(x,y)dx

dxFFdyFdz0x ydx

zdxxf(x,y)dydz

f(x,y)xf(x,y) dx dx整理后得 F

dyFdz

F y解此方程组，得

dx xf

dx xfxfdz y

Fx

(fxf)Fxf y

z,(Fxf

0)dx xf 1F F

Fxf y y zy z四、【解析】方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.添加从点O(0,0)y0A2a,0的有向直L1I

,如图，则exsinyb(xy)

excosyax

dyL1

exsinyb(xy)L1

dxexcosyaxdy利用格林公式，前一积分Q P I1 xD

dxdy(ba)dxdyD

a2(ba)2其中DL1

+L所围成的半圆域，后一积分选择xL:1xx,0x2a,y02a 可直接积分 I

(bx)dx2a2b，故III 2a2b a3.2 0

2 2 2方法2.Iexsinyb(xy)dxexcosyaxdyLexsinydxexcosydyb(xy)dxaxdyL L前一积分与路径无关，所以exsinydxexcosydyexsiny(0,0) 0L (2a,0)对后一积分，取L的参数方程第10xaacost dxasintdt ，则

t从0到，得 yasint dyacostdt b(xy)dxaxdyL(a2bsinta2bsintcosta2bsin2ta3costa3cos2t)dt01 2a2b a2b a1 2 21 1 从而 I0(2a2b2a2b2a3)2

2a2b a3 2五、yy(xP(x,y处的切线方程为Yy(x)y(xXx)x轴的交点为x

y,0y y y”(x)0,y(0)1,y(x)0(x0)1 y y2于是

yxx .1 2

2y”又S xy(t)dt，2 0依据题设2SS

即2

y2

xy(t)dt1,x求导并化简得yyy”21 2 2y” 0pyydp

dpdy

pdp，dx dy dx dyypdp

p2dp

dy

，解得pC

ydy

Cy,dy p y 1 dx 1从而有 yCex1

C，依据 y(0)1,y”(0)1,可得C2

1,C2

0,故所求曲线得方程为yex六、【解析】构造函数，利用函数的单调性，证1：令 f(x)x2lnxx2.易知f(1)0又 f(x)2xlnxx21,f(1)0x第11f(x)2lnx1

1,f(1)20x2f(x)

2(x21)x3可见，当0x1f(x0；当1xf(x0f(x) f(x)f(1)2f(x的最小值，即当0xf(xf(1)20，所f(x为单调增函数.f(1)0，所以有0x1f(x0；1xf(x0，所以利用函数单调性可知，f为f(x的最小值，即f(xf(1)0所以有x0时，x2lnxx2.证法2：先对要证的不等式作适当变形，当x1时，原不等式明显成立；当0x1时，原不等式等价于lnxx1;x1当1x时，原不等式等价于lnxx1

x1;x1令 f(x)lnx

x1则 f(x)1

x21

0x0x x2 xx2又由于f(1)0,利用函数单调性可知当0x1f(x)0,即lnxx1;当1xf(x)0,即lnx

x1;x1 x1综上所述，当x0时，x2lnxx2.七、【解析】建立坐标轴如下图，方法1：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功WWW1 2

W，其中W3

是抑制抓斗自重所作的功；W2

是抑制缆绳重力作的功；W3

为提出污泥所作的功.由题意知W400N30m12023J.1xxdx处，抑制缆绳重力所作的功为dW=缆绳每米重×缆绳长×提上升度250(30x)dx,第12第第13从而 W2

3050(30x)dx22500J.0在时间间隔[t,tdt]内提升污泥需做功为dW(原始污泥重漏掉污泥重提上升度(3dt)3(202320t)3dt将污泥从井底提升至井口共需时间

30m10s,3m/s所以 W3

103(202320t)dt57000J.0因此，共需做功WWWW1 2

方法2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W，当抓斗运动到xf(x)包括抓斗的自重400N,缆绳的重力50(30x)N，污泥的重力(202320 170

x20)N,3即 f(x)40050(30x)2023

x3900 3 330

170 85于是 W0

3900

xdx3900x3

x2303 0

1170002450091500J八、【分析】先写出切平面方程，然后求(x,y,z)，最终将曲面积分化成二重积分.【解析】点P(x,yzSSP处的法向量为nx,y,2z，设X,YZ)为上任意一点，则的方程为xXxy(Yy2z(Zz)0xXyYzZ1O(0,0,0)到的距离

2 2AxByCzA2AxByCzA2B2C22xxyyzz2(x)2(y)2z2221(x,y,z) 4

z24 从而

z dSz

x2

z2dS2(x,y,z) 4 42S S SxOyD(x,y|x2y22x2 y2由曲面方程知z 1 2

x,yD,于是2zx

x ,z2121x2y222

y ,21x2y2224x221x2y2224x2y221x2y222因此 dS

x

yd d故有

dSz

x2

y z2dS2(x,y,z) 4 42S S1

1 2 322 4x2y2 d极坐标 d (4r2)rdr .4 40 0 2D九、【解析】(1)由于

1a a

1tannx(1tan x)dx1tan442 44

xsec2

xdxn n n2

n 0 n 01 tanxt1 1 1 4tannxdtanx tndt又由局部和数列

n 0 n 0 n(n1)S

1aa

1 n(

1)1 1 ,11n i i1

i2

i1

i(i1)

ii1

i1 n1有 limSn

1,因此

1a a

1.n nn1

n2(2)先估量a 的值，由于n dta 4tannxdx，令ttanx，则dtsec2xdx，即dxn 0 1t2所以 a

1 tn

1tndt 1 ,n 01t2 0 n1a所以 nn

1 1 ,n(n1) n1 1

a由于10，所以

n1

n1

收敛，从而

n1

n也收敛.n十、A*有一个特征值0

，属于0

的一个特征向量为(1,1,1)T, 依据特征值和特征向量的概念，有A*,0A1AA*AEAA*AEEAA*E.A*0代入，于是AA*AA, 即A0 0 0a 1 c1 1 a1c 1也即 5

b 311， 5b310 0 1c 0 a1a1c

1

(c)a

1常数

乘以矩阵

5b3

，需用

乘以矩阵的每一个元素0 (c)aa1c

0(a1c) 15b30(5b3)10 0 0(c)a [(c)a] 10矩阵相等，则矩阵的对应元素都一样，可得(a1c)1 (1)0(5b3)1 (2)0(1ca)1A0A因A10，A的特征值0A*的特征值*由(1),(3)两式得

0，故 00(a1c)0

(1ca)，两边同除0

，得a1c(1ca)整理得ac，代入(1)中，得0

1.再把0

1代入(2)中得b33行1行2列1列A1b3以及a3行1行2列1列a 1 a

a 1 a

a a1 aA 51a

3 30 a

5 3 31 1 0a1 a

5 2 31 0 0

(其中(1)31的指数3，1分别是1的行数和列数)2 33(a1)2aa31故ac2,因此a2,b3,c2, 1.0十一、【解析】“必要性”.BTAB为正定矩阵，则由定义知，对任意的实nx0，有xTBTABx0,即BxTABx0,于是，Bx0n维列向量x0Bx0.(Bx0A(Bx)A00冲突).因此，Bx0rBnBx0有唯一零解的充要条件是rBn).“充分性”.A为mAT

A，故BTB

BTATBBTAB依据实对称矩阵的定义知BTAB也为实对称矩阵.假设rBnBx0而对任意的实nx0Bx0.A为正定矩阵，所以对于Bx0有BxT

ABxxTBTABx0, 故BTAB对任意的实n维列向量x0，有xT BTAB

x0).十二、【解析】离散型随机变量边缘分布律的定义：p PXxPXx,Yy

p,i1,2,i i j j

j ijjjp Pj

Yy j

P Xx,Yy i j

p,j1,2,iji i(X的边缘分布时，就把对应xy都加起来，同理求关于Y的边yx都加起来)故PYyp1 1

PXx,Yyp 即i 1 i1i iPYyPXx,YyPXx,Yy1 1 1 2 1PYy1PXx,Yy1，所以1 6 2 1 8PXx,YyPYyPXx

,Yy

1111 1

2 1 6 8 24X和Y相互独立，则有：PXx,YyPXxPYi j i

pj

ppi jPXx,Yy1PYy1PXx,YyPXxPYy1 1 24 1 6

1 1 1 1

Xx,Yy

124 1P

Xx 1

PY1 y11

1 46再由边缘分布的定义有PXxPXx,YyPXx,YyPXx,Yy1 1 1 1 2 1 3所以 PXxPXx,YyPXx,Yy1

1 3 1111

1 1