基于black-scholes模型的巨灾风险期权定价研究

基于black-scholes模型的巨灾风险期权定价研究

自20世纪90年代末以来，全球非保险索赔能力一直稀缺。保险人除了在传统的保险市场上不断调整承保策略外,还竭力寻求其它的途径以尽快增加自身的承保能力。由此引发了在保险领域里的金融创新,巨灾风险证券化就是其中之一。具有代表性的巨灾证券化产品有巨灾债券、巨灾期权、巨灾互换等。巨灾证券化产品在20世纪90年代推出的时候,最初并不如人们所想象的那样受欢迎,其中一个重要原因就是投资者对定价原理知之甚少。因此对巨灾证券化定价问题的讨论,有助于投资者对产品的各个方面加深了解。一、专业风险金融产品和风险资产化的价格定义(一)证券的无套制策略对一般的金融期货可以通过建立某种无套利策略确定其合适的价格。比如,对某一债券期货,我们可以建立这样一个策略:此策略包括借入资金、买入可交割债券、卖出期货;在最初实施此策略时,所有的价格、利率和最后的结果均为已知;如果债券得以交割并平掉空头期货头寸,则此策略是无风险的。通过对该策略运用零利润限制可以求出期货合约的公平价格。但是对期权合约而言,由于其最终是否得到行使的不确定性使期权很难直接进行上述的无套利策略。针对这种不确定性有两种解决办法,其一是对标的资产一段时间的价格变动做出假设,以此出发来估计期权到期日的预期价值,这就是著名的Black-Schloes期权定价模型,其二是从期权第一次被卖出时就开始建立无套利策略,随时间变化不断调整,最终确定期权的价格,这就是期权定价的二项式模型。(二)无营利定价理论BS期权定价模型能否直接移植到巨灾期权的定价上来呢?答案是否定的。因为在BS模型中假设了对应资产价格是连续变化的。而这对巨灾期权是行不通的,因为其潜在的损失指数并不是连续变化的,而是一个跳跃过程,只在巨灾发生时有一个跳跃点。将BS期权定价模型进行改进后才可用于巨灾期权的定价[German(1994),Cummins和German(1995)]。巨灾风险证券化产品的定价比较复杂,仅运用无套利定价理论的话,其价格不唯一。主要原因在于巨灾证券处于不完全市场(incompletemarket)环境下。所谓完全市场(completemarket)是指任一现金流可用市场已交易的资产组合来复制。无套利意味着该现金流与复制组合必须有相同的价格,因为它们的收益是一样的。而巨灾证券的现金流支付依赖于飓风、地震等巨灾的发生,无法通过市场上已交易的某种股票和债券组成传统的资产组合来近似。这使得巨灾证券反映的状态不能由传统的证券所反映出来,因此无套利定价理论无法用于巨灾风险证券化产品的定价。但是,对这种产品却可以用均衡定价方法。二、风险资产合同模型的研究(一)巨灾损失指数4.2从20世纪90年代初出现巨灾风险证券化产品至今,海外学术界研究定价问题的文章并不多,具代表性的主要有以下一些:Geman(1994)和Cummins&Geman(1995):用套利(Arbitrage)的思想讨论这些衍生产品的定价,在一定程度上类似于股票期权定价的Black-Scholes模型,但有以下不同之处,与保险相关的衍生产品没有具体的在市场上交易的潜在资产,而是基于一个损失指数;损失指数的增量是用一个随机微分方程来建模的;而且这一增量是用一个几何布朗运动(用于说明索赔报告的随机性)加一个跳跃过程(只有巨灾索赔数据才用于构建指数)来描述。Aase(1995):介绍了期货合约及基于此合约的衍生产品的定价理论。该理论采用了效用极大化原理,并用在随机时点包含随机大小的跳跃的随机过程来构造巨灾损失模型。在运用这种方法时为了得到一个唯一的价格,必须假设保险市场的所有参与者(包括保险人、被保险人、投资组合管理人等)有相同的效用函数。Christensen(2000):讨论了PCS-期权的定价。分别对巨灾发生期和调整期的巨灾损失指数建立厚尾模型,然后基于一定的分布假设给出PCS-期权在各个时刻的价格的唯一显示表达式。Aase(2001):利用马尔可夫模型来给巨灾期货及基于此期货的金融衍生产品定价。在这里假设潜在巨灾损失值服从一个连续时间的马尔可夫过程,这个马尔可夫过程有一个离散的状态空间,且在巨灾随机发生的时点处有随机索赔额大小的跳跃。(二)投资再保险ft的定义在均衡模型中,假定一些个体(经济人)在市场中交易证券,每一个体有一定数量的初始财富;存在一个经济人可以用来买卖证券的金融市场。经济人通过市场上的交易活动极大化他们各自的福利,均衡价格来自于市场上所有个体的最优化行为。当价格使得每一个经济人的期望效用最大时,均衡便达到了。均衡达到时,在现行的价格机制下,没有人有继续交易的动机,由此可以导出定价公式。均衡价格与个体的属性紧密相连,同时也与交易证券的结构和类型有关。如果这些发生变化,对应的均衡价格一般也会发生变化。如果市场处于均衡中,直观地看,应该在市场中找不到套利机会。如果价格体系存在这样的套利机会,经济人便有零成本改进福利的能力,与均衡时经济人效用已极大化的要求相抵触。可见,无套利定价理论应该与均衡定价理论产生一致的定价。先考虑仅有单个投资者的情况。假设该投资者为一家保险公司,公司持有某一关于巨灾风险的保单组合,对此其收取保费,同时也承诺对发生的损失支付赔偿(Pt)0≤t≤T表示到时刻t为止所收取的总保费,(Yt)0≤t≤T表示到时刻t为止发生的总损失,这两个过程都定义在概率空间(Ψ,(Ft)0≤t≤T,P)上,其中Ft=σ(Ps,Ys,s≤t)我们假设存在一个具可流动性的再保险市场,也就是说,在任一时刻t≤T,保险公司均可基于到时刻t为止已获得的信息,将其现有风险(Ys)t≤s≤T的任何部分分出,更具体地给出如下定义:定义1:若t∈[0,T],再保险策略(ξs)t≤s≤T为定义在(Ψ,(Fs),P)上的一个可预见的随机过程,且对任一s∈[t,T]有0≤ξs≤1。Ht表示始于时刻t的所有再保险策略集。假设利率过程(i(t))0≤t≤T,i(t)表示在时刻t时投资1,到时刻T时的价值。过程(Xt)0≤t≤T:Xt=i(t)(Pt-Yt),0≤t≤T表示在时刻t预测到来自巨灾保险业务的到时刻T为止经利率调整后的净收入。如果保险公司在时刻t时选择一些再保险策略(ξs)∈Ht,则公司在时刻T的最终收益(或正或负)为:GT(ξ)=∫TξsdXs。设该保险公司的效用函数为u(x),假定其二次可微,且满足下述两个性质:(1)正边际效用:u′(x)>0,即u(x)为一个严格递增函数;(2)边际效用递减:u′′(x)<0,即u(x)为一个凹函数。表明该决策者为风险厌恶者。保险人的目标为:基于到时刻t为止所获得的信息(Ft),选择一些策略,通过风险交易实现决策的期望收益的极大化,即:(其中:At为Ht的一些子集)假设公司在时刻t再以价格Ft选择购买δ份某种证券,用FT表示此种证券在最终时刻T的收益,对任意的δ及Ft,定义:(其中:r为连续复利率,且,if为无风险利率)定义2:假设对每一个Ft,函数在δ=0处可微,若方程有唯一解Ft,则定义Ft为该证券在时刻t的价格。定理1:假设存在ξ∈A,使V=Ep(u(GT(ξ))),对每一个Ft,函数在δ=0处可微,且满足,则在时刻t时该证券的价格为:(证明过程略)。假设u(x)=1/α(1-e-αx)为指数效用,其风险厌恶系数为α>0。假设其不选择再保险策略,即:At={(1)t≤s≤T},则(1)式可变为:进一步假设保费过程(Pt)为确定的,YT为Ft—可测,显然i(T)=1,则(2)式又可变形为:以上的讨论是基于单个投资者的情况。事实上均衡价格是由保险市场上的所有经济人的期望效用同时极大化来决定的。这涉及到解一个包含很多方程的方程组,要对所有状态对所有个体一阶条件满足,这样的计算量很大。通过使用代表性经济人(representativeagent)概念,可简化模型,找到求均衡价格的捷径。我们要构造一个比原来简单得多的模型,但它们却有一样的均衡价格。在新模型中仅有一个经济人,而他被认为是代表性经济人。在一定条件下,可由原模型中所有经济人的效用函数构造出代表性经济人的效用函数。从一定意义上讲,此代表性经济人包含了原所有经济人所反映的信息。由此可以通过解新模型这一比较简单的问题得到相同的估价公式。我们假设所有的经济人有相同的概率空间,均有与状态无关的指数效用函数形式。于是就可用一个代表性经济人代表整个保险市场。这样可将前面讨论过的单个投资者看成是代表性经济人。于是,前面得到的证券在时刻t的价格Ft(如(1)式),即为均衡价格。设该代表性经济人也有上述的指数效用u(x)=1/α(1-e-αx)(但是其中的风险厌恶系数α由整个保险市场决定),则上述的(3)式即为此种情况下的均衡价格形式,但是这里的Yt表示整个保险市场损失情况。在均衡定价理论中没有必须在完全市场环境下的要求,因此可以将上述定价模型用于处在不完全市场环境下的巨灾风险证券化产品的定价。我们假设公司在时刻t选择购买巨灾证券产品(如:PCS-期权),且有指数效用形式,则在均衡定价理论下可得到该产品在时刻t的均衡价格为:其中:Ft表示时刻t时的价格,FT表示在最终时刻T的结算价值,(Lt)0≤t≤T表示到时刻t为止整个保险行业的巨灾损