全等三角形作辅助线经典例题初中教育

PE⊥AB于E，PF⊥ACPE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．3.如图，在等腰梯形ABCD中，∠CDE⊥BD于D，交BC于点E．A练习：1．如图，在△ABC中，∠B=90，AD为∠BAC的平分线，DEF和∠CBE相等吗？请说明理由；(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理线与角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形〕5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特一、倍长中线〔线段〕造全等DAC.全等三角形作辅助线经典例题AABDCA小.小EFBBDEC1、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置．中考应用：三.借助角平分线造全等1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,，CE⊥AD．中考应用：三.借助角平分线造全等1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．2．如图，△ABC中，AB=AC，定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：AE=ED．②以角的平分线为对称轴构造对称ADEBCADCBA12PBCD.AM与DE的数量关系是；A二、截长补短BDC3：如图，已知在ABC内，BAC600CABQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPBQPC过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出〔2〕利用角的平分线构造全等三角形：①过角平分线上一点作两边的垂线段练习：如图22，AB∥CD，E为角平分线成为垂直平分线例：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B．9B．8C．7D．6BEBDDCECA11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，AEOBDEBCFOMFDFCCD1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交CAD1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：〔1〕如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。BBEEPANRt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=4，将△ADC绕点A顺时针旋转900：∠C=2∠B．BDC5．已知，E为△ABCRt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=4，将△ADC绕点A顺时针旋转900：∠C=2∠B．BDC5．已知，E为△ABC的∠A的平分线AD上一点，AB＞AC．求证：AB-AC＞°时,求AB与PD的长;(F、C、D在同一条直线上。〔1〕求证：AB⊥ED。〔2〕若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全BBABBAECFNMAFADBEC2：D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。四、平移变换1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周五、旋转BDECBDC1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；AMNCD〔1〕当MDN绕点D转动时，求证DE=D〔2〕若AB=2，求四边形DECF的面积。AAB上，AD⊥CP，BE⊥AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，已知DC=2，求BE的长。8．如图，在矩形ABCDC=180．BDC...ECD7．如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E作证：AD平分∠BAE.中考应用以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，CBC.1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC∠ABC120，∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC〔或它们的延长线〕于E，F．〔1〕当∠MBN绕B点旋转到AECF时〔如图1〕，易证AECFEF．〔2〕当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的AEBFNMDAEEMDFNABFCNDEM2、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系与AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．〔I〕如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系QL〔II〕如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想〔I〕问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；〔III〕如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=〔用x、L六、构造全等例1：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，ACEFDBGE⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕说明E⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕说明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=a，AC=b，求AE、BEB＝AD+BCC3：如图，已知在ABC内，BAC600CABQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：D之间的数量关系；〔2〕如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，AECFEF．〔2〕当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若GHFBBAFEB于点F，即可构造全等三.AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．2．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们AEDC3．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．4．已知：△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．AEF1D2BC等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．〔2〕利用角的平分线构造全等三角形：①过角平分线上一点作两边的垂线段练习：如图22，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：AE=ED．②以角的平分线为对称轴构造对称图形DDEHAFGC例：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．AEBDC分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD．CD分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB等例1：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90等例1：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，..ACEFDBG.AC=BC，D为BC的中点II〕如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=〔用x、L表示〕．六、构造全中，∠ACB=90，CDAB于点D,点E在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点C=180．BDC...ECD7．如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E作EBP.如图，在△ABC如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，例如图，在△ABC中，12DAB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．AAD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，DE=DC．A2．已知：如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．求证：〔1〕AD是∠BAC的平分线；〔2〕AB=AC．3．在△ABC中，∠BAC=60，∠C=40，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．求证：AB+BP=BQ+AQ．EBABFDCQCA4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．求证：∠C=2∠B．BDC5．已知，E为△ABC的∠A的平分线AD上一点，AB＞AC．求证：AB-AC＞EB-EC．A6．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC．求证：∠A+∠C=180．BDC．〔1〕如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE．〔1〕如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；〔2〕将图BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置...关系与数量关系成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AEB〔2〕利用角的平分线构造全等三角形：①过角平分线上一点作两边的垂线段练习：如图22，AB∥CD，E为2BF.ECD7．如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E作交AD于点D，交BC于点C．求证：AD+BC=AB．12A43BA8．已知，如图，△ABC中，∠ABC=901AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：CD=AE．A9．△ABC中，AB=AC，∠A=100，BD是∠B的平分线．求证：AD+BD=BC．A10．如图36，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点DE，若BD+CE=9，则线段DE的长为〔〕A．9B．8C．7D．6BEBDDCECA11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，且D是BC的中点．求证：AB=AC．FBDCM12．已知：如图，△ABC中，AD是∠BACA的平分线，E是BC的中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F．求证：BM=CF．BEDCRt△ABC中，Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=4，将△ADC绕点A顺时针旋转900E⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕说明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=a，AC=b，求AE、BE、N，D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上的长.G中考应用:D如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等.于F，M为EF中点，则AM的最小值为．〔2〕请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论.4.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90，CDAB于点D,点E在AC6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F已知DC=2，求BE的长。8．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于E.DFAECBAC，∠A=100，BD是∠BAC，∠A=100，BD是∠B的平分线．求证：AD+BD=BC．A10．如图36，∠B和∠C的平分线后，得到△AFB，连接ＥＦ，下列结