第8章 相关与回归分析

第八

章相关与回归分析8.1

相关与回归基本问题

8.2

相关分析

8.3

一元线性回归分析

8.4

多元线性回归分析

学习目标1.

相关系数的分析方法线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行估计和预测8.1相关与回归的基本问题

经济变量间的统计关系及其分类

相关分析的主要内容

回归分析的主要内容

相关分析与回归分析二者的联系

变量间的关系主要有两种:1.函数关系2.相关关系函数关系是一一对应的确定关系设有两个变量x

和

y，变量y

随变量x

一起变化，并完全依赖于x

，当变量x

取某个数值时，

y

依确定的关系取相应的值，则称y是x

的函数，记为y=f(x)，其中

x

称为自变量，y称为因变量各观测点落在一条线上

xy函数关系

(几个例子)

函数关系的例子某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为y=px

(p为单价)圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=

R2

企业的原材料消耗额y与产量x1

、单位产量消耗x2

、原材料价格x3之间的关系可表示为

y=x1x2x3

相关关系

(correlation)变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量

x取某个值时，变量y的取值可能有几个各观测点分布在直线周围

xy相关关系

(几个例子)

相关关系的例子父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系粮食亩产量y与施肥量x1

、降雨量x2

、温度x3之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系相关关系

(分类)

根据影响因素多少分单相关：两个变量间相关复相关（多重相关和偏相关）根据相关关系的表现形式分线性相关非线性相关根据相关关系的方向分正相关负相关根据相关密切程度分完全相关不完全相关不相关相关关系的主要内容

确定现象之间有无关系及相关关系的表现形式确定相关关系的密切程度相关关系的检验回归分析的主要内容

进行参数估计进行统计显著性检验进行预测与控制回归分析与相关分析的联系相关分析与回归分析都是研究和处理变量之间相关关系的数理统计方法回归分析是建立在相关分析的基础上，对于具有密切相关的两个变量进行深入分析，建立它们之间的数学关系式，并进行统计推断，是相关分析的拓展相关分析是回归分析的前提，对于相关程度很低的两个变量进行回归分析是没有实际意义的

回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x

变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x

可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制8.2相关分析

定性分析

相关图表

相关系数

相关分析检验相关关系的判定

定性认识受判断者的经验、学识、能力等因素的影响

相关表和相关图简单相关表和相关图（资料没有分组时用）分组相关表和相关图（资料分组时用）单变量分组双变量分组相关表相关表是根据现象变动样本资料编制出来的反映变量间相关关系的统计表，根据样本资料是否分组，相关表分为简单相关表和分组相关表

简单相关表只将自变量的取值按照从小到大的顺序并配合因变量的取值一一对应平等排列起来的表其编制程序是：将相关资料中的两个变量，分为自变量和因变量，其次将两个变量值一一对应，按自变量的值从小到大顺序排列即成相关表分组相关表是指将原始资料进行分组而形成的相关表。可分为单变量分组相关表和双变量分组相关表单变量分组相关表对自变量进行分组并计算次数，而对因变量分组，只计算其平均值双变量分组相关表是自变量和因变量都进行分组而形成的相关表，又称为棋盘式相关表相关图自变量置于横轴上，因变量置于纵轴上，将两变量相对应的变量值用坐标点形式描绘出来，用以表明相关关系的图形，称为相关图利用相关图可以：判断现象之间有无相关关系观察相关关系的类型观察相关关系的密切程度

相关图

不相关

负线性相关

正线性相关

非线性相关

完全负线性相关完全正线性相关

相关图

(例题分析)【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据相关图

(例题分析)相关图

(例题分析)相关系数

(correlationcoefficient)对变量之间关系密切程度的度量对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为

若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为

r相关系数

(计算公式)

样本相关系数的计算公式或化简为相关系数的性质

r

的取值范围是[-1,1]

|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关

r=0，不存在线性相关关系

-1

r<0，为负相关

0<r

1，为正相关

|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切相关系数的性质-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关系数检验相关系数检验相关系数是根据样本数据计算出来的，两个不相关的变量，其样本相关系数也可能较高，这在统计上称为虚假相关

相关系数描述与之间的密切程度与样本个数有关，当较小时，相关系数的绝对值容易接近１，特别地当n＝2，相关系数的绝对值一定为１我们并不能根据相关系数的绝对值大小直接衡量x与y之间关系是否真正密切，还必须通过相关系数临界值进行比较相关系数的显著性检验

(检验的步骤)提出假设：H0：

；H1：

0构造相关系数统计量取定显著性水平α，查相关系数临界表得rα(n-m)，其中m＝k+1(k为自变量的个数)为变量的个数或估计的参数个数。（在单相关中m=2)作出统计决策：若|r|≥rα(n-m),则认为x与y之间线性相关关系显著，否则，不显著8.3一元线性回归分析

一元线性回归模型

一元线性回归模型中随机项的假定

一元线性样本回归方程

普通最小平方法

统计显著性检验

预测

案例回归分析的基本概述

“回归”问题最早来源于生物界，英国生物学家兼统计学家高尔顿（Galton,1822-1911）发现同一种族中儿子的平均高度介于其父亲的高度与种族平均高度之间。儿子的身高有返归于种族平均身高的趋势，即回归于种族的平均身高。

回归分析是指对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法。回归模型的类型一元线性回归模型一元线性回归涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示回归模型

(regressionmodel)回答“变量之间是什么样的关系？”方程中运用1个数字的因变量(响应变量)被预测的变量1个或多个数字的或分类的自变量(解释变量)用于预测的变量3. 主要用于预测和估计回归模型的一般形式总体回归模型：y=f(x)+u,其中x为自变量，y为因变量，u为随机项样本回归模型：yi=f(xi)+ui随机项u来自以下几个方面：自变量的省略

统计误差模型的设定误差随机误差

一元线性回归模型描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项u

的方程称为回归模型一元线性总体回归模型可表示为

y=b0+b1x+uy是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项u

是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性

0

和

1

称为模型的参数一元线性回归模型

(基本假定)误差项u是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=

0+

1x对于所有的x值，u的方差σ2都相同误差项u是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即u~N(0,σ2)独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的u与其他x值所对应的u不相关对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关回归方程

(regressionequation)描述y的平均值或期望值如何依赖于x的方程称为回归方程一元线性回归方程的形式如下

E(y)=

0+

1x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程

0是回归直线在y轴上的截距，是当x=0时y的期望值

1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值估计的回归方程

(estimatedregressionequation)一元线性回归中估计的回归方程为用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程总体回归参数和

是未知的，必须利用样本数据去估计其中：是估计的回归直线在y

轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x

的值，是y

的估计值，也表示x

每变动一个单位时，y的平均变动值

参数的最小二乘估计最小二乘估计用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得和的方法。即最小二乘估计

(图示)最小二乘法

(

和的计算公式)

根据最小二乘法的要求，可得求解和的公式如下统计显著性检验T

检验检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的影响是否显著理论基础是回归系数

的抽样分布属于回归系数的统计显著性检验T

检验

(检验步骤)提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量

确定显著性水平

，并进行决策

t>t

，拒绝H0；t<t

，不能拒绝H0T

检验

(样本统计量的分布)

是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布的分布具有如下性质分布形式：正态分布数学期望：标准差：由于

未知，需用其估计量sy来代替得到的估计的标准差回归直线的拟合优度变差因变量

y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示变差的分解

(图示)xyy{}}

离差平方和的分解

(三个平方和的关系)SST=SSE+SSR总平方和(SST){回归平方和(SSE){残差平方和(SSR){离差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST)反映因变量的n个观察值与其均值的总离差回归平方和(SSE)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSR)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和判定系数r2

(coefficientofdetermination)回归平方和占总离差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

R2

1，说明回归方程拟合的越好；R2

0，说明回归方程拟合的越差估计标准误差

(standarderrorofestimate)实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况对误差项u的标准差

的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小

计算公式为F检验属于回归方程的显著性检验将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数p)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-p-1)F检验

(检验的步骤)提出假设H0：

0=

1=0线性关系不显著计算检验统计量F确定显著性水平

，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F

作出决策：若F>F

,拒绝H0；若F<F

,不能拒绝H0R的检验

(检验的步骤)提出假设：H0：

；H1：

0构造相关系数统计量取定显著性水平α，查相关系数临界表得rα(n-m)，其中m＝k+1(k为自变量的个数)为变量的个数或估计的参数个数作出统计决策：若|r|≥rα(n-m),则认为x与y之间线性相关关系显著，否则，不显著三种检验的关系对于一元线性回归方程来说，三种检验是等价的

利用回归方程进行预测根据自变量x

的取值预测因变量y的取值预测的类型点预测y的个别值的点预测y的平均值的点预测区间估计y的个别值的预测区间预测y的平均值的置信区间预测点预测点预测2.点预测值有y的个别值的点预测y的平均值的点预测在点预测条件下，平均值的点预测和个别值的的点预测是一样的，但在区间预测中则不同对于自变量

x

的一个给定值x0

，根据回归方程得到因变量y的一个估计值点预测

利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计值，就是个别值的点预测

利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点预测区间估计区间预测点预测不能给出估计的精度，点预测值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计对于自变量

x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计区间区间预测有两种类型预测区间预测(predictionintervalestimate)置信区间预测(confidenceintervalestimate)个别值的区间预测利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(predictioninterval)

y0在1-

置信水平下的预测区间为平均值的区间预测利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间(confidenceinterval)

E(y0)

在1-

置信水平下的置信区间为影响区间宽度的因素1.置信水平(1-

)区间宽度随置信水平的增大而增大2.数据的离散程度s区间宽度随离散程度的增大而增大3. 样本容量区间宽度随样本容量的增大而减小4. 用于预测的xp与

x的差异程度区间宽度随xp与

x的差异程度的增大而增大置信区间、预测区间、回归方程xpyx

x预测上限置信上限预测下限置信下限案例：一元线性回归模型的应用表8.3.1某地1978年~2003年的国内生产总值GDP与货运周转量的数据

用Excel绘制散点图(步骤)选择“插入”下拉菜单选择“图表”选项选择XY散点图输入数据区域(B2:C27)输入图表标题“散点图”、数值X轴“国内生产总值GDP”、数值Y轴“货运周转量”选择新工作表插入还是作为其中的对象插入相关分析（案例）用Excel进行回归分析第1步：选择“工具”下拉菜单第2步：选择“数据分析”选项第3步：在分析工具中选择“回归”，然后选择“确定”第4步：当对话框出现时

在“Y值输入区域”设置框内键入Y的数据区域在“X值输入区域”设置框内键入X的数据区域在“置信度”选项中给出所需的数值(此例取95％)

在“输出选项”中选择输出区域

用Excel进行回归分析回归分析（案例）Excel输出的部分回归结果R2）结果分析于是我们认为，国内生产总值与货运周转量之间的线性相关关系显著，统计显著性检验通过

回归方程：

检验SignificanceF=1.395E-21；P-value=1.395E-21<5%预测

点预测：例若2005年的GDP为80亿元，则货运周转量为区间预测个别值的区间预测由公式计算的GDP为80时：50.177~58.569均值的区间预测由公式计算的GDP为80时：52.788~55.95758.4多元线性回归分析

多元线性回归模型及其假设

参数估计

统计显著性检验

解释变量的选择

利用多元线性回归方程进行预测

案例：多元线性回归模型的应用举例多元回归模型与回归方程多元回归模型

(multipleregressionmodel)一个因变量与两个及两个以上自变量的回归描述因变量y如何依赖于自变量x1

，x2

，…，

xk

和误差项u

的方程，称为多元回归模型涉及k个自变量的多元回归模型可表示为

b0

，b1，b2

，，bk是参数

u

是被称为误差项的随机变量

y是x1,，x2

，

，xk

的线性函数加上误差项u

u包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解释的变异性多元回归模型

(矩阵形式)＝+XB+UY＝多元回归模型

(基本假定)误差项u是一个期望值为0的随机变量，即E(u)=0对于自变量x1，x2，…，xk的所有值，u的方差

2都相同误差项u是一个服从正态分布的随机变量，即u~N(0,

2)，且相互独立多元回归方程

(multipleregressionequation)描述因变量y的平均值或期望值如何依赖于自变量x1，x2

，…，xk的方程多元线性回归方程的形式为

E(y)=

0+

1x1

+

2x2

+…+

k

xkb1，b2，，bk称为偏回归系数

bi

表示假定其他变量不变，当xi

每变动一个单位时，y的平均平均变动值二元回归方程的直观解释二元线性回归模型(观察到的y)回归面

0uix1yx2(x1,x2)}估计的多元回归方程估计的多元回归的方程

(estimatedmultipleregressionequation)

是估计值是y

的估计值用样本统计量估计回归方程中的参数

时得到的方程由最小二乘法求得一般形式为参数的最小二乘估计参数的最小二乘法求解各回归参数的标准方程如下使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得

。即估计标准误差

Sy对误差项u的标准差

的一个估计值衡量多元回归方程的拟合优度计算公式为决定系数检验决定系数

(multiplecoefficientofdetermination)

回归平方和占总平方和的比例计算公式为因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例修正决定系数

(adjustedmultiplecoefficientofdetermination)

用样本容量n和自变量的个数k去修正R2得到计算公式为避免增加自变量而高估R2意义与R2类似数值小于R2线性关系检验线性关系检验检验因变量与所有自变量之间的线性关系是否显著也被称为总体的显著性检验检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系线性关系检验提出假设H0：

1

2

k=0线性关系不显著H1：

1，

2，，

k至少有一个不等于02.计算检验统计量F确定显著性水平

和分子自由度p、分母自由度

n-k-1找出临界值F

4.作出决策：若F>F

，拒绝H0回归系数检验和推断回归系数的检验线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多的第一类错误(弃真错误)对每一个自变量都要单独进行检验应用t检验统计量回归系数的检验

(步骤)提出假设H0：bi=0(自变量xi

与

因变量y没有线性关系)H1：bi

0(自变量xi

与

因变量y有线性关系)计算检验的统计量t

确定显著性水平

，并进行决策

t>t

，拒绝H0；t<t

，不能拒绝H0相关系数分析复相关系数简单相关系数R=偏相关系数解释变量的选择前进法对全部个自变量，分别对因变量y建立k个一元线性回归方程，并分别计算这个一元回归方程的F检验值，记为｛F11，F21，F31，…，Fk1｝；选其最大的记为：

Fj1＝max｛F11，F21，F31，…，Fk1｝给定显著性水平α，若Fj1≥Fα(1，n-2），则首先引入方程，不妨设就是x1。前进法因变量分别与(x1，x2)，(x1，x3)…，(x1，xk)，建立k-1个二元线