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文档简介

§3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.1空间向量基本定理学习目标了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解,能用空间向量基本定理解决简单问题,发展数学抽象、提高数学运算素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究空间向量基本定理如果a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在

.的三元有序实数组(x,y,z),使得p=

.我们把{a,b,c}叫作空间向量的一组基,a,b,c都叫作

.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基.xa+yb+zc

唯一基向量师生互动·合作探究探究点一空间向量基本定理方法总结基判断的基本思路及方法(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基;若不共面,则能构成基.(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基.②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基;若无解,则不共面,能作为基.解析:(1)由题意和空间向量的共面定理,结合p+q=(a+b)+(a-b)=2a,得a与p,q是共面向量,同理b与p,q是共面向量,所以a与b不能与p,q构成空间的一组基;又c与a和b不共面,所以c与p,q可以构成空间的一组基.故选C.[针对训练](1)(2021·河北石家庄期中)设向量{a,b,c}是空间的一组基,则一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空间的另一组基的向量是(

)A.a B.b C.c D.a或b探究点二用基向量表示空间向量方法总结用基表示向量的步骤(1)定基:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一组基.(2)找目标:用确定的基(或已知基)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间向量的一组基{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.探究点三空间向量基本定理的综合应用(2)判断点M是否在平面ABC内.解:(2)由(1)知向量,,共面,而它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,所以M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内.方法总结(2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个不共线的向量表示出来.(2)求证:EF⊥FG;(3)求证:E,F,G,H四点共面.当堂检测BBB3.设e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,则下列向量组不能作为空间的一组基的是(

)A.{e1+e2,e1+e3,e2+2e3}B.{e1-e3,e2+e3,e1+e2}C.{e1-e2,e2-2e3,e3-3e1}D.{e1+e3,e2+e3,e1+e2}ACD备用例题[例1]若向量{a,b,c}是空

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