第1章 经典控制理论回顾3

控制工程基础5.系统的稳定性5.1系统稳定的条件5.2稳定性的代数判据5.3稳定性的几何判据5.4系统的相对稳定性5.控制系统的稳定性分析劳斯（Routh）-胡尔维茨（Hurwitz）判据:是依据闭环系统特征方程式对系统的稳定性做出判别，它是一种代数判据。奈奎斯特判据:是依据系统的开环奈奎斯特图与坐标上（-1，j0）点之间的位置关系对闭环系统的稳定性作出判别，这是一种几何判据。波德判据:实际上是奈奎斯特判据的另一种描述法，它们之间有着相互对应的关系。但在描述系统的相对稳定性与稳态裕度这些概念时，波德判据显得更为清晰、直观,从而获得广泛采用。控制工程基础5.1控制系统稳定性的基本概念

5.1.1

稳定性概念控制系统的稳定性是指系统在给定信号作用下，输出应能达到新的平衡状态，或在扰动去掉之后，系统的输出能以足够的精度恢复到原来的平衡状态。控制工程基础图5-1系统稳定性示意图控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输入信号的形式无关。

1+G(s)H(s)=0为闭环传递函数的特征方程式的解全部位于解平面的左半平面（具有负实部）。控制工程基础5.1.2系统稳定的条件充要条件5.2.1

胡尔维茨稳定判据胡尔维茨行列式：对于控制工程基础5.2劳斯-胡尔维茨稳定判据特征方程系数的劳斯阵列如下：（2）劳斯稳定判据的充要条件控制工程基础在上面的劳斯阵列中bi、ci、di、ei的计算公式如下：(5-6)

控制工程基础（2）劳斯稳定判据的充要条件把an，an-1，b1，c1，…，d1，e1

称为劳斯阵列中的第一列元素。劳斯稳定判据的充分且必要条件是：特征方程系数所组成的劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统稳定。否则系统不稳定。第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。（2）劳斯稳定判据的充要条件控制工程基础例设单位反馈控制系统的开环传递函数为试判断系统稳定时K的范围。解：其单位反馈系统的闭环传递函数为:特征方程式为:劳斯阵列为:由劳斯稳定条件得:课后习题：设有特征方程为试判断系统的稳定性和右根个数。

5.3.1奈奎斯特（Nyquist）稳定判据奈奎斯特（Nyquist）稳定判据简称为奈氏判据，它是利用系统开环奈奎斯特图判断闭环系统稳定性的频率域图解方法。它是一种几何判据。5.3奈奎斯特稳定判据1）利用奈氏判据也不必求取闭环系统的特征根，而是通过系统开环频率特性Ｇ(j

)H(j

)曲线来分析闭环系统的稳定性。2）由于系统的频率特性可以用实验方法得，所以奈氏判据对那些无法用分析法获得传递函数的系统来说，具有重要的意义。3）奈氏判据还能表明系统的稳定裕度即相对稳定性，进而指出改善系统稳定性的途径。控制工程基础（1）稳定性判据控制工程基础5.3奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据为：在开环传递函数G(s)H(s)中，令s=j

，当

在0至+∞范围内变化时，可画出系统的极坐标图（奈奎斯特图），它以反时针方向绕（-1，j0）点的圈数为N，假定开环极点在s右半平面的个数为P，当满足于N=P/2的关系时，闭环系统是稳定的。对于比较复杂的系统，可采用“穿越”的次数来判断。控制工程基础1）开环稳定闭环不一定是稳定的，反之开环不稳定闭环有可能是稳定的。2）当开环传递函数含有积分环节时（即有位于原点的极点），当

趋向0时奈氏曲线沿某一坐标轴趋向∞开环曲线不封闭，可以通过作辅助曲线（圆）后再进行判别，辅助曲线是一半径为∞的圆弧，从奈氏曲线的起始端开始反时针方向绕过N×90º和实轴相交后即可。注意：控制工程基础ReIm在实际系统中，用得最多的是最小相位系统，因而P=0，为此，这种闭环系统如若稳定，必须N=0。又因为

变化时，频率

由-∞变化到0，再由0变化到+∞时，所对应的奈奎斯特图是对称的，所以只取0到+∞时这一频率段研究即可。其判据又可叙述如下：如果系统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定稳定的充要条件是：它的开环极坐标图不包围（-1，j0）点，如图6-4a所示。反之，若曲线包围（-1，j0）点，则闭环系统将是不稳定的，如图6-4c所示。若曲线通过（-1，j0）点，则闭环系统处于临界状态，如图6-4b所示。控制工程基础（2）最小相位系统的稳定性判据（2）最小相位系统的稳定性判据控制工程基础5.4稳定裕度系统参数对系统稳定性是有影响的。适当选取系统某些参数，不但可以使系统获得稳定，而且可以使系统具有良好的动态响应。由奈奎斯特稳定判据可以推知：在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系统是否稳定。而对于系统稳定的程度如何及是否具有满意的动态过程，劳斯判据无法确定。1）对于开环稳定(p=0)的闭环稳定系统，开环频率特性的奈奎斯特曲线距点(-1，j0)越远，则闭环系统的稳定性越高；2）曲线距点(-1，j0)越近，则其闭环系统的稳定性越低。控制工程基础图6-8是系统开环奈奎斯特曲线对(-1，j0)点的位置与对应的系统单位阶跃响应示意图。图中各系统均为开环稳定(p=0)。控制工程基础1）当开环频率特性的极坐标曲线包围(-1，j0)点时，对应闭环系统单位阶跃响应发散，闭环不稳定(图6-8(a))；2）当开环奈奎斯特曲线通过(-1，j0)点时，对应闭环系统单位阶跃响应呈等幅振荡(图6-8(b))；3）当开环奈奎斯特曲线不包围(-1，j0)点时，闭环系统稳定(图6-8(c)、(d))。4）由图6-8(c)、(d)可见，开环奈奎斯特曲线距(-1，j0)点的远近程度不同，闭环系统稳定的程度也不同。这便是通常所说的系统的相对稳定性。通常以稳定裕度来表示系统的相对稳定性。控制工程基础（1）稳态裕度极坐标的表示相位裕度

和幅值裕度Ｋg来定量描述，如图6-9所示。控制工程基础5.4稳定裕量1)相位裕度

式中

c

：称为剪切频率或幅值穿越频率，这一频率对应的幅值为1。(5-7)相位裕度

的物理意义是，如果再滞后

时，系统才处于临界状态。因此，相位裕度

又可以称为相位稳定性储备。控制工程基础2)幅值裕度Ｋg

式中

g：相位穿越频率，对应这点的频率的相角为-180º。

幅值裕度Ｋg的物理意义是，如果将开环增益放大Ｋg倍，系统才处于临界稳定状态。因此，幅值裕度又称为增益裕度。控制工程基础Ｋg(dB)=(6～20)dB

=30°~60°对于闭环稳定系统，应有

＞0，且Ｋg＞1；对于不稳定系统，有

＜0，Ｋg＜1。系统的稳定程度由

，Ｋg两项指标来衡量，Ｋg(dB)、

越大系统的稳定性越好。但稳定裕度过大会影响系统的其它性能，如响应的快速性等。工程上一般取：控制工程基础（2）稳定裕度波德图表示

控制工程基础此时，幅值裕度Ｋg的分贝值为：(5-9)对于闭环稳定系统，应有

>0，且Kg>1即Kg(dB)>0。如图6-10(a)所示。在波德图上，

必在-180°线以上；Kg(dB)在0dB线以下。对于不稳定系统，有

<0，Kg<1即Kg(dB)<0。如图6-10(b)所示。此时，

在极坐标图的负实轴以上。在波德图上，

在180°线以下；Kg在0dB线以上。控制工程基础对于最小相位系统当

c<

g时，则闭环系统稳定(图6-10(a))；当

c>

g时，则闭环系统不稳定(图6-10(b));当

c=

g时，则闭环系统临界稳定。一般系统的开环系统多为最小相位系统，即p=0，故可按上述条件来判别其稳定性。控制工程基础（3）波德图判据控制工程基础6.系统的综合与校正6.1概述6.2串联校正*6.3反馈与顺馈校正6.1概述1.系统的性能指标(1)时域性能指标瞬态性能指标:上升时间tr

峰值时间tp

最大超调量Mp调整时间ts稳态性能指标:稳态误差ess(2)频域性能指标幅值裕度Kg相位裕度

零频值A(0)零频带宽

M复现带宽0～

M闭环谐振峰值Mr谐振频率

r截止频率

b截止带宽0～

b(3)综合性能指标（误差准则）02.校正的概念在系统中增加新的环节，以改善系统的性能。加入一些其参数可以根据需要而改变的机构和装置，使系统整个特性发生变化，从而满足各种给定的性能指标。系统的综合与校正是指按控制系统应具有的性能指标，寻求能够全面满足这些性能指标的校正方案以及合理地确定元件的参数值。设计的方法很多，按考虑问题的出发点之不同而异。1）按最终的性能指标一种是使系统达到最好的目标，即优化设计；另一种就是使系统达到所提出的某项或某几项指标，即特性设计。2）按校正装置的构成如用无源校正装置以改善系统的动态性能，称为无源校正。无源校正装置又可分为超前校正装置，滞后校正装置及超前-滞后校正装置。用有源校正装置改善系统的动态性能，称为有源校正。3.系统校正的分类3）按所采用的设计工具如用波德图或奈奎斯特图作为设计工具，称为频率特性设计法；如用根轨迹图，称为根轨迹设计法。4）按校正装置处于系统中的位置如果校正装置与前向通路传递函数串接，称为串联校正。校正装置置于反馈通路中，称为反馈校正或并联校正。①串联校正①增益调整②相位超前校正③相位滞后校正④相位滞后－超前校正⑤PID校正②并联校正①反馈校正②顺馈校正4系统设计的一般原则用频率法进行设计时，通常均在开环波德图上进行。1)低频段：反映系统稳态误差（准确性）情况。（系统型次和增益）希望提供尽可能高的增益，用最小的误差来跟踪输入。2)中频段（增益交点频率附近的频段）：反映系统的瞬态特性（快速性、稳定性）。幅频特性曲线应当限制在-20db/dec左右，以保证系统的稳定性。3)高频段：反应系统抗高频干扰的能力。开环幅频特性曲线尽可能快地衰减，以减小高频噪声对系统的干扰。但无论采用哪种方法进行系统设计，本质上，都是在稳定性、稳态精度以及瞬态响应这样三项指标上进行折衷的考虑。一个不满足性能指标要求,有待进行校正的系统,反映在它的开环对数幅频特性上是不满足预期要求的。因此,对系统的校正通常反映在要求对其开环对数幅频特性进行校正上，要进行校正的开环对数幅频特性可分为以下几类：1）系统是稳定的,并有满意的瞬态响应和频带宽度，但稳态精度是超差的。因此必须提高低频增益以减小稳态误差,同时维持曲线的高频部分。这种校正可用图(a)中的虚线表示。2）系