人教版九年级数学上册 （二次函数与一元二次方程）二次函数 课件

二次函数与一元二次方程第二十二章二次函数

1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.

（难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.

（重点）

3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.

学习目标新课导入知识回顾一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系?方程的解是函数在x轴上的截距新课导入课时导入

以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面的问题．1

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：新课讲解知识点1二次函数与一元二次方程的关系例新课讲解知识点(1)球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴当球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.解：解方程15=20t-5t2，

t2-4t+3=0，

t1=1，t2=3.为什么在两个时间球的高度为15m？新课讲解(2)球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？Oht202解方程：20=20t-5t2，t2-4t+4=0，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.为什么只在一个时间球的高度为20m？新课讲解(3)球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht20.5解方程：20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0，因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根.即球的飞行高度达不到20.5m.为什么球不能达到20.5m的高度?新课讲解(4)球从飞出到落地要用多少时间？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面.解：新课讲解从上面发现，一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.所以二次函数与一元二次方程关系密切．

例如，已知二次函数y=-x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2＋4x=3(即x2－4x+3=0)．

反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．新课讲解

新课讲解练一练已知二次函数y=-x2+2x+m

的部分图象如图所示，则关于x

的一元二次方程-x2+2x=-m的解为

.x1=-1，x2=3分析：由图可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点的横坐标为3，所以另一个交点的横坐标为2×1-3=-1，所以关于x的一元二次方程-x2+2x=-m，即-x2+2x+m=0的解为x1=-1，x2=3．新课讲解知识点2公共点的问题2下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1)y=x2-x+1；(2)y=x2-6x+9；(3)y=x2+x-2.例新课讲解1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20个1个2个x2-x+1=0无实数根3x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1新课讲解知识点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个重合的公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有公共点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系新课讲解知识点利用二次函数的图象解一元二次方程基本步骤：1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；2.观察图形，确定抛物线与x

轴的公共点的坐标；3.公共点的横坐标就是对应一元二次方程的解.新课讲解练一练利用函数图象求方程

x2－2x－2＝0的实数根(结果保留小数点后一位)．画出函数

y＝x2－2x－2的图象(如图)，它与

x轴的交点的横坐标大约是－0.7，2.7.所以方程

x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.解：新课讲解知识点3图象法解一元二次方程

－222464－48－2－4Ox我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．3解：画出函数

y=x2-2x-2

图像如图所示与x轴交点横坐标大约是0.7,2.7所以方程的实根为x10.7，x22.7例新课讲解知识点4二次函数与一元二次不等式的关系

1O

新课讲解

无交点

无交点

全体实数无解无解

无解无解

全体实数1O1O课堂小结二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系

有两个交点根据函数图象求一元二次方程的近似解

一个交点无交点有两个不相等的实数根有两个相等的实数根无实数根当堂小练1.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是(

)A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0D.x1=1,x2=32.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),则这条抛物线的对称轴是(

)A.直线x=-1B.直线x=0C.直线x=1D.直线x=3BC当堂小练3.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是多少；(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：图象如图所示.(1)方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3.(2)x>3或x<-1时，函数值大于0.(3)-1<x<3时，函数值小于0.3yO-33x拓展与延伸把下列各题中解析式的编号①②③④与图象的编号A、B、C、D对应起来．

①y=x2+bx+2；

②y=ax(x-3)；

③y=a(x+2)(x-3)；

④y=-x2+bx-3．

①④③②A.

；B.

；C.

；D.

.

函数与一元二次方程人教版九年级上册数学

回顾旧知二次函数的一般式：（a≠0）______是自变量，____是____的函数。xyx

当y=0时，ax²+bx+c=0ax²+bx+c=0这是什么方程？上一章中我们学习了“一元二次方程”一元二次方程与二次函数有什么关系？教学目标【知识与能力】总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。教学目标【过程与方法】【情感态度与价值观】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想。教学重难点二次函数与一元二次方程之间的关系。利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。实际问题

以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系：h=20t–5t2

考虑下列问题:

（1）球的飞行高度能否达到15m?若能，需要多少时间?

（2）球的飞行高度能否达到20m?若能，需要多少时间?

（3）球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?实际问题解：（1）当h=15时，20t–5t2=15t2－4t

＋3=0t1=1，t2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.1s3s15m实际问题

（2）当h=20时，20t–5t2=20t2－4t

＋4=0t1=t2=2当球飞行2s时，它的高度为20m.2s20m实际问题

（3）当h=20.5时，20t–5t2=20.5t2－4t

＋4.1=0因为(－4)2－4×4.1<0，所以方程无实根。球的飞行高度达不到20.5m.20.5m实际问题

（4）当h=0时，20t–5t2=0t2－4t=0t1=0，t2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面。0s4s0m探究

下列二次函数的图象与x

轴有交点吗?若有，求出交点坐标.

（1）y=2x2＋x－3

（2）y=4x2

－4x+1

（3）y=x2–x+1xyo令y=0，解一元二次方程的根探究（1）y=2x2＋x－3解：当y=0时，2x2＋x－3

=0（2x＋3）（x