统计能量分析方法的模态理论研究

统计能量分析方法的模态理论研究

在分析复杂结构的动态特征时，很难求解复杂结构高频动态特征。在复杂结构的高频动态环境预测中，结构振动位于结构模式重建因子高的频率段，该系统的动态特征由许多模型决定，模型分析无效。结构详细的动态特征对动态特征的影响很大，但结构的细节很难确定。尤其是在设计方法开始时，只知道主要结构的形状。结构噪声分析不仅存在振动噪声分析和振动抑制问题，还存在振动抑制问题。麻省理工的lyonrh受室内噪声和统计力学的启发，在20世纪60年代提出了解决高频干扰问题的统计能量法，提取了研究对象的随机参数描述的所有特定细节，并忽视了研究对象的具体细节。它涉及时间、频率和空间的统计平均值。同时，采用“能量”的观点来解决结构振动和声音场的问题。由于统计能量法基于统计的观点，因此误差是不可避免的。然而，在许多情况下，一些误差是由原则错误造成的。对于统计能力分析，实验不能区分这两种误差。因此，需要进行深入的原则研究。在本文中，我们分析了输入功率和矩阵补偿因子的“统计”含义。该研究可以更清楚地理解统计能量法的前提和假设，准确确定统计能量法的范围，更好地预测预测结果，避免基本错误。1[1+1i]及耦合损耗因子用统计能量分析法解决问题的关键步骤之一就是求解功率流平衡方程,在此基础之上才能得出系统的响应.因此,首先建立稳态功率流平衡方程:ω[[η1+∑i≠1η1i]n1-η12n1⋯-η1kn1-η21n2[η2+∑i≠1η2i]n2⋯-η2kn2⋮⋮⋮-ηk1nk-ηk2nk⋯[ηk+∑i≠1ηki]nk][E1/n1⋮Ek/nk]=[Ρ1⋮Ρk](1)式中:Pi(i=1,2,…,k)为输入功率;Ei为每个子系统的平均能量;ηi为内损耗因子;ηij(j=1,2,…,k)为耦合损耗因子;ω为分析频段的中心频率;ni为模态密度.2输入功率的统计意义2.1受随机激励时的振动计算从统计学的基本理论可以看出,系统输入力的形式不同会产生不同的统计效果,其必然会影响到求解结果的精确度.因此,以下将应用模态理论研究单个系统受随机激励时的振动响应来阐述“统计”的含义.首先,根据模态理论推导出功率流的公式为:Ρ(ω)=<F2>ω2Μ∑iηωiϕ2i(ω2-ω2i)2+(ηωiω)2(2)式中:<F2>为输入力在时域上的平均值;ω为分析频段的中心频率;ωi为模态i的固有频率;ϕi为模态i的振型函数;M为系统的质量;η为系统的内损耗因子.下面针对几种不同形式的输入进行分析.(1)模态密度n假设激励力谱恒定且激励点是随机分布的,可由(2)式推出:Ρ=<F2>πη2Μ⋅ΝΔω(3)而N/Δω代表了模态密度n,所以统计意义上的输入功率可表示为:Ρ=<F2>πnη2Μ(4)很多研究都将统计能量法的理想状态理解为屋顶上雨点激励问题.很明显,在宽带力和分散布置力的作用下,(4)式恒成立,因此统计效果很好.(2)共有模态被激励起很明显,这时有:Ρ=<F2>ω2Μ∑iηωi(ω2-ω2i)2+(ηωiω)2=<F2>ΝΔω⋅1Μ[∑iηω2ωi(ω2-ω2i)2+(ηωiω)2⋅ΔωΝ](5)式中:N为共有N个模态被较显著地激励起;Δω为这些被激励起的模态中心频率的分布带宽;而N/Δω为模态密度的表达式.对于离散谱分布力,模态重叠因子较高时,响应随频率的波动程度逐渐减小.这主要是因为即使激励频率是离散的,也可能激励起多个模态参与振动,模态平均效果比较明显.此时,把上式中的共振频率ωi看成积分变量,经过积分,方括号中的项可化简为πη/2,则上式仍可化简为:Ρ=<F2>πη/2Μ则可按上一种情形进行分析,因此这种情形的统计效果比较好.(3)模态密度对统计能量分析结果的影响这时输入功率为:Ρ=<F2>πη2Μ⋅∑iϕ2iΔω(6)此时与统计能量分析法的假设有误差,这种误差随模态密度增大而减小.当激励起来的模态比较多时,可认为∑iϕ2i=Ν,但这样的式子并不一定成立.因此,在这种情况下,不一定能得到比较好的统计效果.(4)共振频率点对振型的选择作用对于一个固定系统,很明显由于各振型被激励起来的程度并不相同,所以共振频率点对振型具有选择作用.这时,平均效果很差,因此它是几种统计效果中最差的一种.2.2梁结构自适应变量与激励频率之间关系上面是对一个固定系统输入功率的描述.但对于一个实际系统,若我们无法知道其精确尺寸,而在被分析的高频段,高频单个模态对系统的尺寸敏感性很大,小的尺寸波动可能引起激励频率或振型大的变化.此时的平均效果又如何呢?下面以梁为例进行分析.假设梁的振型与激励频率互不相关,其振型函数为:ϕi=√2sin(iπx/L).式中:L为梁的长度.现假设x为L1和L2之间随机变化的量,而ΔL=L1-L2,则在ΔL内对振型进行平均,可得:1ΔL∫ΔLΦ2idx=1-1ΔL∫ΔLcos(2iπLx)dx(7)当ΔL与L/i相当时,后一个积分表达式等于0,则振型的平均值为1.因此,可以简单地推断模态阶数满足i>L/ΔL时,即使结构尺寸有波动,仍可达到振型平均的效果.同样在高频段,由于尺寸的变化,造成共振频率的变化,这种变化在一定范围内也可以达到频率平均的效果.由此可见,只要达到一定的条件使得振型处于一种统计特性,就可得到振型的平均值为1,从而满足了统计能量分析法的要求.3振子2到振子2的功率流耦合损耗因子是统计能量分析法中唯一表征耦合系统间功率流关系的参数,对其表达式的统计形式进行研究有利于更好地理解功率流平衡方程.下面从能量流关系式入手对其进行研究.首先作以下假设:①激励谱互不相关;②系统为保守耦合系统;③有足够宽的宽带激励.由此可以推导出2个振子之间的能量流满足以下关系:Ρ12=B(E1-E2)(8)式中:P12为振子1到振子2的功率流;E1、E2分别为振子1、2的振动能量;B为2个耦合振子间的能量传递比.通过保守耦合元件连接的连续振动体,也可以简化为单个振子之间的能量流关系.对于连续振动体,应用模态分析法仍然可以分解为简单振子间的能量关系.对于振子群1的一个振动模态α和振子群2的一个振动模态σ,仍然满足2个振子间的关系:Ρασ=<Bασ>(E1α-E2σ)(9)式中:<Bασ>表示2个振型关于ωα、ωσ的平均能量传递比.对于2个振子群之间的振动,很容易得到以下关系:Ρ12=∑α∑σ<Bασ>(E1α-E2σ)(10)我们忽略式中2个振子间的间接耦合损耗因子,但这种能量流关系在弱耦合的情况下是可以忽略的.对于窄带激励和单频激励,这时直接被激励的系统的各模态能量是不等的,根据2个模态在单频激励下功率流系数B可能为负数,所以可以简单地断定对于窄带激励和单频激励,不提倡采用统计能量分析法.因此,以下只对宽带激励的情形进行分析.假设各子系统在分析频段内均匀分布且同一个子系统中各个模态阻尼相等.下面,分2种情况讨论.(1)激励子系统的能量在宽带激励下,假设不受到激励点振型的影响,输入被激励连续体的各模态的能量相等,记为E1.由于<Bασ>是关于激励频率的平均值,尽管B与ωα、ωσ的相互距离密切相关,但在弱耦合假设下,连续体1对于连续体2的一个模态σ仍有关系式:Ρ1σ=∑α<Bασ>(E1-E2σ)≈E1∑α<Bασ>(11)显然,对于均匀分布的模态,∑α<Bασ>对于不同模态σ的值相等,因此输入每个模态的能量相等.由于连续体2的模态阻尼相等,则根据P1σ=ωηE2α,所以连续体2的每个模态的能量是相等的,记为E2.所以,可得关系式为:Ρ12=(E1-E2)∑α∑σ<Bασ>(12)假设激励子系统1在激励频段有N1个模态,子系统2在激励频段有N2个模态.则子系统1、2在激励频段的总能量分别为E1,tot=N1·E1和E2,tot=N2·E2.所以,最后有关系:Ρ12=E1,tot∑α∑σ<Bασ>Ν1-E2,tot∑α∑σ<Bασ>Ν2(13)令η12=∑α∑σ<Bασ>ωΝ1;η12=∑α∑σ<Bασ>ωΝ2(14)可得∶Ρ12=ωE1,totη12-ωE2,totη21(15)此即为2个振型群间的稳态功率流关系式,其中:η12、η21分别为子系统1到2和2到1的耦合损耗因子.(2)比较能量的相似条件很明显,宽带激励保证各模态的能量相等,但是这种假设仍然要受到振型的影响.假设各子系统的激励为宽带恒力激励,输入的功率为所有输入各子系统的能量乘以振型系数ψ(x)2.所以输入不同模态的能量并不相等,很明显接收各个模态的能量也各不相同,此时不再满足各个模态能量相同的条件.但仍可以得到:Ρ12=∑α∑σ[<Bασ>(E1α-E2σ)]=∑α[E1α∑σ<Bασ>]-∑σ[E2σ∑α<Bασ>]=E1,tot∑α∑σ<Bασ>Ν1-E2,tot∑α∑σ<Bασ>Ν2(16)则即使各子系统模态能量不相等,仍然可得到关系(15)式.此时E1,tot=∑α<Bασ>,E2,tot=∑σ<Bασ>.因此,在模态数目较多,且均匀分布的情况下可以消除由于激励位置不确定而引起的误差.以上推导都忽略了连接位置振型的影响,实际上连接点振型是连接点位置的函数,因此不同位置、不同模态的B数值并不相同.这时,无论激励模态频率能量是否相等,都会造成接收子系统各个模态的能量不同.很明显,考虑诸多因素的影响时,必须作出适当的假设将振型的影响消除.这就是基于模态群的分析理论,即认为统计能量分析法是用来解决一类相似系统的问题.4其它影响因素通过以上的分析可以看出,统计能量法的成功应用,必须满足一定条件.统计能量分析法是为了研究一类相似系统群的共同特性和隔振降噪效果的.因此,运用统计能量分析法研究耦合振子时,它是基于一类系统的,研究的是这一类系统的共同行为.而其它一些具体影响因素如下:(1)大特征尺寸是成功应用统计能量法的条件随着物件主要特征尺寸的增大,模态密度增大,则统计能量法适用的最