基于状态观测器的高超音速飞行器反步控制方法

基于状态观测器的高超音速飞行器反步控制方法

由于高超音速飞机在飞翔过程中的高压加热，传统的大气数据传感器无法正常工作，因此无法正确测量气流角。虽然埋装式大气数据传感(FlushAirdataSensing,FADS)系统被认为是高超音速飞行器大气数据测量的可行方案,但是需要在机身上布置多个压力孔和传感器,极易受损,且代价十分昂贵。此外FADS系统精度依赖于对高超音速条件下各种气动热力过程的精确建模,而这有待进一步的研究。因此,研究对高超音速飞行器气流角可靠、经济的测量方法,成为亟待解决的问题。状态观测器被认为是有效的解决方案,使用观测器可以对难以测量的物理量进行估计。滑模观测器由于对系统形式没有特殊要求,鲁棒性只要求建模误差有界,故其已在高超音速飞行器飞行控制中得到应用。文献设计滑动模态观测器来估计高超音速飞行器的迎角和航迹倾角,并通过实时的极点配置计算,使观测器的增益能够根据观测器状态而改变,从而保证观测误差的动态特性在整个飞行包线内的一致性,但是没有考虑系统具有不确定项的情况。文献提出一种基于Lyapunov法的滑模观测器设计方法,用于解决高超音速飞行器迎角不能精确测量的问题,但是文中假设2的提出值得商榷,因为实际上假设2与迎角观测器稳定收敛条件是等价的。文献针对高超音速飞行器纵向非线性模型设计高阶滑模状态观测器,却没有考虑被控对象是全维运动方程的情况。借鉴上述文献的设计思想,本文提出了一种针对高超音速飞行器全维运动方程这类严格反馈不确定非线性MIMO系统的滑模状态观测器的设计方法,考虑系统具有不确定项的情况,利用角速率信号和系统建模信息实现对高超音速飞行器气流角的估计,并证明该状态观测器为最终一致有界收敛。基于反步法设计气流角跟踪控制律,分别采用指令滤波和动态面方法得到气流角指令和虚拟控制量的一阶导数,采用Lyapunov方法证明闭环系统的稳定性。1模型结构参数针对高超音速飞行器,考虑如下严格反馈不确定非线性MIMO系统{˙x1=f1(x1)+g1(x1)x2+Δ1˙x2=f2(x1,x2)+g2(x1,x2)u+Δ2y=x2(1)其中,x1=[α,β,μ]T为飞行器的气流角,分别为迎角、侧滑角和倾斜角,x2=[p,q,r]T为角速率,分别为滚转角速率、俯仰角速率和偏航角速率,u=[δx,δy,δz]T为控制量,分别为左升降副翼、右升降副翼和方向舵。f1,f2分别为与力和力矩相关的3×1维矩阵,g1,g2分别为与三轴角速率和舵面操纵导数相关的3×3维矩阵,其具体定义可见文献。用Δf1,Δf2,Δg1,Δg2表示建模误差,d1,d2表示外界干扰,则Δ1,Δ2为建模误差及干扰等产生的系统不确定项{Δ1=Δf1(x1)+Δg1(x1)x2+d1Δ2=Δf2(x1,x2)+Δg2(x1,x2)u+d2(2)由于x1不可测量,需要根据可测状态x2和建模信息f1,f2,g1,g2设计状态观测器以估计状态x1。需设计气流角指令跟踪控制律u,使系统状态x1稳定跟踪给定的指令信号x1d,且能有效抑制不确定项Δ1,Δ2对闭环系统的影响。2ki+创建2i+2i?假设1不确定项Δ1,Δ2有界,即|Δ1|≤Δ1Μ‚|Δ2|≤Δ2Μ。设计如下滑模观测器{˙ˆx1=f1(ˆx1)+g1(ˆx1)ˆx2+k1sgn(x2-ˆx2)˙ˆx2=f2(ˆx1,ˆx2)+g2(ˆx1,ˆx2)ˆu+k2sgn(x2-ˆx2)(3)其中,ˆx1,ˆx2分别为x1,x2的状态观测值,ˆu为舵面偏转角的测量值,状态x2可测量,参数k1=diag(k11,k12,k13),k2=diag(k21,k22,k23)为观测器增益矩阵,k1i,k2i>0(i=1,2,3),作如下定义{˜x1=x1-ˆx1˜x2=x2-ˆx2F1(x1,x2)=f1(x1)+g1(x1)x2F2(x1,x2,u)=f2(x1,x2)+g2(x1,x2)uΔF1=F1(x1,x2)-F1(ˆx1,ˆx2)ΔF2=F2(x1,x2,u)-F2(ˆx1,ˆx2,ˆu)(4)将式(1)与式(3)相减,并根据上述定义,可得{˙˜x1=ΔF1+Δ1-k1sgn(˜x2)˙˜x2=ΔF2+Δ2-k2sgn(˜x2)(5)选择滑模面si=˜x2i,其可达条件为si˙si=˜x2i[ΔF2i+Δ2i-k2isgn(˜x2i)]<0(6)故需要k2i>|ΔF2i+Δ2i|(7)可满足上式。但是ΔF2i,Δ2i都很难计算,所以有必要改进以上结果。充分考虑到状态x2可测量,且由式(1)和(4)知F2i(x1,x2,u)=˙x2i-Δ2i(8)则ΔF2i+Δ2i=F2i(x1,x2,u)-F2i(x^1,x^2,u^)+Δ2i=x˙2i-F2i(x^1,x^2,u^)(9)所以可以选取k2i>|x˙2i-F2i(x^1,x^2,u^)|(10)其中x2i可测量,F2i(x^1,x^2,u^)可计算。注1文献不考虑系统的不确定项,给出了参数k2i>|ΔF2i|选取准则,但是ΔF2i难以计算,势必导致选择较大的k2i,而式(10)的结果不仅考虑了系统不确定项,还降低了选取k2i的保守性。根据Filippov等效动态理论,将式(5)右侧等效为在滑模面两侧的2个系统的凸组合,即{x˜˙1i=ζ(ΔF1i+Δ1i+k1i)+(1-ζ)(ΔF1i+Δ1i-k1i)x˜˙2i=ζ(ΔF2i+Δ2i+k2i)+(1-ζ)(ΔF2i+Δ2i-k2i)ζ∈(11)当观测器进入滑模面后s˙i=0,即x˜˙2i=0,于是ζ(ΔF2i+Δ2i+k2i)+(1-ζ)(ΔF2i+Δ2i-k2i)=0(12)此时ζ=k2i-ΔF2i-Δ2i2k2i,将其带入式(11),可得x˜˙1i=ΔF1i+Δ1i-k1ik2i(ΔF2i+Δ2i)(13)参数k1的选取采用Jacobian线性化方法,将F1i和F2i在x^1i附近线性展开,则x˜˙1i=∂F1i∂x1ix˜1i+Δ1i-k1ik2i(∂F2i∂x1ix˜1i+Δ2i)=(∂F1i∂x1i-k1ik2i∂F2i∂x1i)x˜1i+Δ1i-k1ik2iΔ2i(14)将上式写成矩阵形式x˜˙1=(∂F1∂x1-k1k2-1∂F2∂x1)x˜1+Δ1-k1k2-1Δ2=Ax˜1+Δ1-k1k2-1Δ2(15)选择适当的k1值,使得A为Hurwitz矩阵,并且可根据期望的动态特性来配置A的极点。存在正定矩阵P和Q,满足AΤΡ+ΡA=-Q(16)定义Lyapunov函数V=x˜1ΤΡx˜1+x˜2Τx˜2(17)对其关于时间求一阶导数V˙=x˜˙1ΤΡx˜1+x˜1ΤΡx˜˙1+x˜˙2Τx˜2+x˜2Τx˜˙2(18)将式(15)代入上式,且x˜˙2i=0,所以V˙=[x˜1ΤAΤ+(Δ1-k1k2-1Δ2)Τ]Ρx˜1+x˜1ΤΡ(Ax˜1+Δ1-k1k2-1Δ2)=x˜1Τ(AΤΡ+ΡA)x˜1+(Δ1-k1k2-1Δ2)ΤΡx˜1+x˜1ΤΡ(Δ1-k1k2-1Δ2)=-x1ΤQx˜1+(Δ1-k1k2-1Δ2)ΤΡx˜1+x˜1ΤΡ(Δ1-k1k2-1Δ2)(19)其中|Δ1-k1k2-1Δ2|≤|Δ1|+λmax(k1)λmin(k2)|Δ2|,且由假设1可知|Δ1|+λmax(k1)λmin(k2)|Δ2|≤Δ1Μ+λmax(k1)λmin(k2)Δ2Μ(20)故|Δ1-k1k2-1Δ2|有界,设|Δ1-k1k2-1Δ2|≤ῶ,则V˙≤-λmin(Q)|x˜1|2+2ϖ|Ρ||x˜1|=|x˜1|(-λmin(Q)|x˜1|+2ϖ|Ρ|)(21)当|x˜1|≥2ϖ|Ρ|λmin(Q)时V˙≤0,即设计的滑模观测器是最终一致收敛的。根据文献的定理5.1,观测误差x˜1收敛于半径为λmax(Ρ)λmin(Ρ)2ϖ|Ρ|λmin(Q)的开球。注2由于观测误差x˜1最终与ῶ成正比,故在选取参数k1时不仅要考虑观测器的动态特性,还要使ῶ尽可能的小。3波器偏变控制量误差定义虚拟反馈误差{z1=x^1-x1dz2=x^2-α1(22)其中α1为虚拟控制量。Step1对z1求导,可得z˙1=x^˙1-x˙1d=f1(x^1)+g1(x^1)x^2+k1sgn(x2-x^2)-x˙1d(23)上式中x˙1d可由指令滤波器得到,如图1所示,指令滤波器可以直接得到气流角指令的一阶导数而不需要引入微分器,且可对指令的幅值、速率、阻尼ξ和频率ωn作限制。令理想虚拟控制量为α1=g1-1(x^1)[-c1z1-f1(x^1)-k1sgn(x˜2)+x˙1d](24)参数c1=diag(c11,c12,c13),且c1i>0,则z˙1=-c1z1+g1(x^1)z2(25)由于α1中含有sgn(x˜2)项,为使α˙1值平滑,采用动态面方法来计算α˙1,设计如下一阶滤波器{τα˙1+α1=α¯1α1(0)=α¯1(0)(26)其中τ为滤波器的时间常数。定义滤波后虚拟控制量误差ζ=α1-α¯1,易知ζ˙=-ζτ-α¯˙1(27)再定义z′2=x^2-α¯1,则z2=x^2-(α¯1+ζ)=z′2-ζ(28)Step2对z′2求导,可得z˙′2=x^˙2-α¯˙1=f2(x^1,x^2)+g2(x^1,x^2)u^+k2sgn(x^2)-α¯˙1(29)假设2舵面偏转角测量误差极小,控制律解算周期足够短,即可认为u^≈u。根据假设2和式(29),可令控制量为u=g2-1(x^1,x^2)[-c2z′2-f2(x^1,x^2)-k2sgn(x˜2)-g1(x^1)z1+α¯˙1](30)参数c2=diag(c21,c22,c23),且c2i>0,则z˙′2=-c2z′2-g1(x^1)z1(31)取Lyapunov函数V=12z1Τz1+12z′2Τz′2+12ζΤζ(32)对其关于时间求导V˙=z1Τz˙1+z′2Τz˙′2+ζΤζ˙(33)将式(25)、(27)和(31)代入上式,可得V˙=z1Τ[-c1z1+g1(x^1)z2]+z′2Τ[-c2z′2-g1(x^1)z1]+ζΤ(-ζτ-α¯˙1)=-z1Τc1z1-z′2Τc2z′2-ζΤ(g1(x^1)z1+ζτ+α¯˙1)=-z1Τc1z1-z′2Τc2z′2-1τζΤζ-ζΤ(g1(x^1)z1+α¯˙1)(34)假设3g1(x^1),α¯˙1有界,设|g1(x^1)|≤g1Μ‚|α¯˙1|≤α1Μ。由Young不等式和假设3,可知-ζΤg1(x^1)z1≤g1Μ(|ζ|22+|z1|22)(35)-ζΤα¯˙1≤(|ζ|22+|α¯˙1|22)(36)根据上式,则有V˙≤-[λmin(c1)-g1Μ2]z1Τz1-λmin(c2)z2Τz2-(1τ-g1Μ2-12)ζΤζ+|α¯˙1|22≤-φ2V+φ1(37)其中{φ1=α1Μ22φ2=min{λmin(c1)-g1Μ2,λmin(c2)‚1τ-g1Μ2-12}φ1,φ2>0(38)对式(37)两边从[0,t]积分V(t)≤[V(0)-φ1φ2]e-φ2t+φ1φ2(39)由式(32)易知z1Τz1≤2V(40)根据式(39)和(40)得|z1|≤2[V(0)-φ1φ2]e-φ2t+2φ1φ2(41)因而选择适当的参数c1,c2,使φ2>0,则所设计的控制律能够保证闭环系统跟踪误差最终一致收敛且有界。4气流角指令跟踪控制策略仿真采用NASA兰利研究中心提供的高超音速飞行器Winged-Cone。该模型为水平起飞、单级入轨的常规高超音速飞行器,气动力和气动力矩导数为迎角、马赫数以及舵面偏转的函数。Richard等人对其气动数据进行插值运算,得到高超音速气动数据的数值计算公式,便于建立其数学模型。高超音速飞行器非线性运动方程如式(1)描述,其具体气动参数计算较为复杂,可参见文献,不再赘述。仿真模型在Matlab/Simulink中用S函数实现。仿真飞行速度为15Ma,高度为33.5km,配平结果:迎角α0=1.32°,左右升降副翼δx0=δy0=-3.54°,油门δt0=0.276,其余配平值均为0。取迎角指令为矩形波函数,幅值Δαc=2°,周期为10s,加指令滤波器如图1所示,取阻尼ξ=0.7和频率ωn=2.0,使指令平滑而不发生阶跃突变,对指令幅值和速率不作限制。加入系统不确定项Δ11=0.1sin(t)+0.05,Δ12=0.03sin(2t)+0.01,Δ13=0.02sin(3t)+0.01。根据式(3)设计滑模状态观测器,观测器增益矩阵取为k1=diag(0.5,0.2,0.2),k2=diag(1.5,2.5,1.5)。根据式(24)和(30)设计气流角指令跟踪控制律,系统控制结构如图2所示,控制律参数选取为c1=diag(0.5,0.2,0.2),c2=diag(1.5,2.5,1.5)。本文设计状态观测器和控制律的相关参数较少,仿真中通过简单试凑便可获得满意的控制效果,而实际飞控系统中参数的选取宜通过大量试飞试验来确定。仿真得到气流角指令跟踪曲线如图3所示,图中αc表示迎角指令,α表示仿真的迎角跟踪信号,侧滑角和倾斜角的标注类似。由图4可知在系统具有不确定项的情况下,气流角仍能很好的跟踪指令。图3为气流角的观测误差,由该图知状态观测器可以有效的估计出系统状态量,观测误差较小,收敛速度很快。图5为气动舵面偏转,图中左右升降副翼偏转较大,这是由于在稀薄大气层飞行,舵面效率大为降低的缘故。此外,舵面的震荡是为抑制系统不确定项的影响。通过上述仿真表明,在系统存在不确定项且气流角不可测的条件下,滑模状态观测器可以有效估计高超音速飞行器的气流角,且动态面反步控制律可以实现气流角的稳定跟