关于多面体和旋转体的教学

关于多面体和旋转体的教学

第2章是根据《十年高中》课程第2卷章《空间图象》的相关内容编写的。本文主要研究各种常见的多面体和旋转体。本章分三大节:“多面体”、“旋转体”、“多面体和旋转体的体积”。授课时数为29课时。通过本章教学,使学生掌握一些最常见的柱、锥、台、球、球缺的概念、性质和画法,掌握它们的表面积和体积公式的推导方法,并能运用这些知识解决有关的问题;在教学过程中,进一步发展学生的空间想象能力、逻辑思维能力和计算能力。这次编写,对十年制课本这一部分的基本内容和体系都未作大的改动,只是根据重点中学教学计划和老师们几年来在教学过程中提出的意见和建议,在内容上作了适当的充实,又增加了“拟柱体”作为选学内容,在讲法和叙述上作了一些改进,并对习题作了适当调整。下面介绍一下我们在编写时的一些想法和做法。一多面体和旋转体的一般概念的细化和形式化在内容的安排和处理上,是遵循由特殊到一般的原则。例如,在“多面体”这一大节中,几种简单的多面体是我们研究的重点,先研究棱柱、棱锥、棱台(主要是直棱柱、正棱锥、正棱台),然后在这个基础上,提出了一般多面体的概念,并指出了它们之间的关系。又如,在第二大节“旋转体”中,也是先研究圆柱、圆锥、圆台(只限于讲直圆柱、直圆锥),然后再讲一般的旋转体。这样既有利于学生对多面体和旋转体概念的理解,又突出了重点。考虑到学生进一步学习的需要,这次编写时,对多面体和旋转体的一般概念,作了一些充实。课本在讲述每种简单几何体时,一般是从实例引入,通过观察分析,抽象出它们的定义,然后研究这些几何体的性质、画法等。各种几何体的性质,都可以根据定义和第一章线面关系定理推导出来,由于证明过程比较简单,课本没有一一写出。教师在讲课时,应说明或引导学生说出证明的根据,这样做,一方面可使学生了解图形性质的理论根据,另一方面又可以使学生加深对第一章内容的理解。几种简单多面体和旋转体的侧面积公式,是通过展开图求得的,因为展开图是平面图形,学生比较熟悉,所以把它们分散在各种几何体的内容中讲述。各种多面体和旋转体的体积,都是以祖暅原理为基础证明的,我们把它们集中讲述,统一处理。几年来的教学实践证明,这样安排比较紧凑,可节省时间。考虑到拟柱体是一种较重要的多面体,生产中也常用到,另外它的体积公式推导虽然较繁,但又不能象其他旋转体的体积那样放到微积分里在解决,而且它的体积公式又与柱、锥、台的体积公式有密切关系,所以这次把它作为选学內容列入本章。对于学生基础较差,时间比较紧的班级,可不选学,这不会影响学习后面的内容。二利用《课》的概念进行这一问题,发展学生不断在本章教学中,不仅要教给学生必要的基础知识,而且要培养学生的能力,应使学生的空间想象能力、逻辑思维能力和计算能力都有所发展。立体几何是培养学生空间想象能力的重要学科,通过第一章的学习,学生已初步形成了一定的空间想象力,在第二章,要通过研究各种简单几何体,进一步发展学生、的这种能力。对于每种几何体,我们总是先给出它们的图形,同时,习题中要求学生动手制作模型,通过观察图形和模型,训练学生看图想象实物的能力,然后再学习根据图形的性质画出它们的直观图,训练学生用直观图表达简单几何体的能力。因此,课本中直观图的画法的内容,以及习题中要求学生动手的题目,要给以重视。这次编写,我们又充实了一些简单几何体的某些截面性质,通过截面可以对几何体的特征加深认识,有助于空间想象能力的提高。但是,课本仅限于讨论简单几何体中垂直底面的截面和平行底面的截面,其他截面一般不作要求。本章概念比较多,给概念下定义的过程是培养学生抽象思维能力的过程。教学时可引导学生通过观察实物和模型,抓住这几种几何体的本质属性,得出它们的定义,必要时,也可以结合课本中的练习题,通过一些反例,帮助学生舍弃非本质属性,使定义更为准确。本章的定理,很多采取了先作探索性证明,而后得出结论,最后写出定理的叙述方法。例如,对于球的体积公式,过去是先提出定理,然后加以证明,按这种讲法,往往会使学生处于被动地位。这次编写时,我们首先在前面习题十中安排了一个习题,提前作了准备,证明时改用探求的方法,引导学生根据祖暅原理,一步步推出球的体积公式,这样学生学习就会主动一些,整个证明的思路也就清晰了。在本章的例题和习题中,又增加了一些需要先加以证明再计算的题目,用以提高学生的推理论证能力。我们想,通过以上的做法,加之老师们在教学中对学生的训练,学生的逻辑思维能力会有所发展。本章的计算题比较多,许多联系实际的应用题属于近似计算题,这一章的教学,负有对学生进行近似计算训练的任务。因为这一届学生在初中没有学过近似计算法则(十年制大纲未作要求),所以,目前我们把有关近似计算的几条法则,用附录形式附在高中代数(第一册)后面。通过本章例题的教学和课后练习,使学生能按近似计算的法则进行简单的近似数四则运算和乘方开方运算。为了便于教学,我们把这些题目分为三类,分别作不同要求。第一类是不涉及实际问题的准确数计算,结果仍是准确数(结果中可以保留“π”、“”或分数等)。第二类是实际问题,但题目中给出的数据是准确数(如设计数字),由于它属于实际问题,结果常要求用近似数表示。对于这一类题目,我们一般对结果的精确度提出了要求,为了达到这个要求,计算中得出的中间结果,一般要比结果应保留的数字多一位。第三类也是实际问题,但所给的数据是近似数,对于这一类题目,我们不提出精确度的要求,应该让学生根据法则进行计算。由于近似计算问题比较复杂,所以希望老师们不要作过多的补充,也不要提高要求,以免增加学生的负担。三从本课题的数量和种类来看,有两种主要这次编写,对十年制课本中这一部分的习题作了较大的调整。首先,在练习中增加了一些巩固基本概念的问题,习题中删去了一些意义不大,纯属于套公式的简单题,补充了一定数量的证明题,或需要先证明而后计算的计算题。其次,在基本题中,同一