【研究生应用数学基础】4.线性赋范空间

第一章集合上的数学结构（抽象空间）4.线性赋范空间一、线性赋范空间概念与性质二、有限维线性赋范空间有限维线性赋范空间的基本性质:有限维线性赋范空间都是完备的1整理ppt一、线性赋范空间的概念和性质定义4.1设V是数域F上的线性空间.如果

xV,对应一个非负实数‖‖,即VR是一泛函,满足:(1)xV,‖x‖≥0;‖x‖=0x=.(2)kF,xV,‖kx‖=|k|‖x‖.(3)x,yV,‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,则称‖x‖(xV)为x的范数,V成为F上的线性赋范空间.2整理ppt设V是线性赋范空间。定义映射：

：VVR，(x,y)=‖x–y‖(x,y∈V)容易验证：是V上的度量，从而{V，}是度量空间，因而，V是（度量）拓扑空间。于是，V上有开集、闭集、极限点、导集、闭包、收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念。完备的线性赋范空间称为Banach空间。线性赋范空间V中序列{xn}称为范数收敛于xV,如果3整理ppt由于线性赋范空间V是线性空间，有加法和数乘运算，故可讨论序列{xn}的级数及其收敛的概念。称级数收敛于sV,如果这里定理4.1线性赋范空间V是完备的

V中每个绝对收敛的级数都收敛.4整理ppt证明:)设V完备.级数实际上,‖Sn–Sm‖=‖xm+1++xn‖≤‖xm+1‖+…+‖xn‖(n>m),于是{Sn}是V中Cauchy列,所以)任取V中Cauchy列{xn},则可找到自然数n1<n2<,使因此5整理ppt从而,{xn}收敛.例4.1x=(x1,x2,,xn)T

Rn,定义范数

则Rn是线性赋范空间,而且是Banach空间.xC[a,b],定义范数则C[a,b]是Banach空间.6整理pptxLp[a,b],定义范数则Lp[a,b]是Banach空间.x=(x1,x2,,xn)Tlp(1≤p<),定义范数则lp是Banach空间.线性赋范空间有一些简单性质.例如,7整理ppt线性赋范空间V中收敛序列{xn}是有界的,而且极限是唯一的;线性赋范空间V中范数是连续的,即线性赋范空间V中加法是连续的,即若xnx,yny(n),则xn+ynx+y(n).8整理ppt线性赋范空间V中数乘是连续的,即若n,xnx(n,n,F,xn,xV),则

nxnx(n);定义4.2设‖x‖1和‖x‖2(x∈V)是x的两个范数,如果存在两个正数A和B,使A‖x‖1≤‖x‖2≤B‖x‖1则称‖x‖1和‖x‖2是V上两个等价范数.9整理ppt二、有限维线性赋范空间定理4.2设X是n维线性赋范间,{e1,e2,,en}是X的一组基,则

xX,则存在两个正数A和B,使10整理ppt证明:由于其中11整理ppt另一方面,即由于|f()f()|=|‖y‖―‖x‖|≤‖y―x‖所以,f()是Rn上连续泛函,从而在Rn中单位球面S上连续.由于S是有界闭集,故f()在S上达到最小值,设为f(0)(0S).于是,S,有f()≥f(0).12整理ppt下面证明:f(

0)>0.显然,f(0)≥0.只要证f(0)0.由于0S,故0不是零向量.从而,于是,f(

0)=‖x0‖0。xX,且x,则x的坐标是Rn中非零向量。所以，是S上的向量。13整理ppt故f(′)≥f(0)，即记则有由此推出，有限维线性空间的任意两种范数都是等价的。两个线性赋范空间X和Y称为线性同胚的，如果存在线性双射T：X→Y，使T和T-1都是连续的。14整理ppt定理4.3任何一个实数域R上的n维线性赋范空间

X都与n维欧氏空间Rn线性同胚，即存在线性双射T：X

Rn,且T与T–1连续。

证明：设{e1,e2,,en}是X的一组基。xX有其中=（1，2，，

n)T为x的坐标。15整理ppt定义映射T：XRn:Tx=（1，2，，

n)TT显然是线性的。而且T–1存在。实际上，任给=（1，2，，

n)TRn,于是16整理ppt由于向量坐标的唯一性，所以对应的y是唯一的，而且=Ty，从而，T–1存在。最后证明T和T–1的连续性。由上面的定理，存在正数A和B，使从而17整理ppt由此推出T的连续性。又由于由此推出T–1的连续性。定理4.4任意的有限维线性赋范空间必为Banach空间;无限维线性赋范空间的有限维子空间必为闭子空间.证明:设X是n维线性赋范空间,{e1,e2,,en}是18整理pptX的一组基.又设{xn}为X的任一Cauchy列.由上面的定理,存在线性同胚T:XRn,使Txn=PnRn,T–1Pn=xn(n=1,2,)容易证明:{Pn}是Rn中Cauchy列.实际上,由T连续,>0,存在>0,当‖x–y‖<时有‖Tx–Ty‖<.注意到{xn}是Cauchy列,存在自然数N,当m,n>N时,有‖xn―xm‖<19整理ppt于是‖Txn―Txm‖<,即‖Pn―Pm‖<.因此,{Pn}是Rn中Cauchy列,