二轮复习巧妙分析题意构造解题模型学案

高三二轮复习专题------数学解题方法巧妙分析题意建立解题模型--解题模型思想是一种解题方法，在高三二轮复习中有重要的作用，在解题的过程中，适当地对条件进行变形，发现函数模型，设置适当的函数，构造不等式，达到解题目的。本文主要通过几个例题讲述一种解题模型思想，注意在解题过程中的应用，才能发挥高三二轮复习的功能效益。例题1.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【思考】这是一个二元不等式问题，已知不等式，求出正确的不等式问题，分析已知条件模型，发现函数模型，试图构造函数，因为有超越函数，所以应该移项,左边是指数函数型，右边是对数函数模型.【解析】（1）由已知得，两边同时乘以字母a，得，移项得当0<b<1时，有，所以当b>1时，有，所以若例如，取，得所以选项A与C都不正确。下面证明：即证因为两边同时除以字母a得移项化简得........................................（1）注意两边有同一个结构，所以设函数求导得当x>1时，导数值非负，函数递增，又因为当，且，所以，即由（1）得由函数单调性得所以选项B正确.例题2.已知a>1，b>1，则下列关系不可能成立的是【答案】C【思考】从选支中的不等式出发，变形得到同构模型，抽象出函数，应用导数方法，研究函数单调性，实现问题的解答.【解析】选择CD选项作变更，这两个不等式由相同的结构，可以构造函数模型，于是构造函数对求导，得所以，由x>1,得对求导，得当0<x<1时，此时，g(x)是递增函数；当x>1时，此时，g(x)是递减函数.所以这样有f(b)>g(a)恒成立，得。即不可能恒成立.类似题目：已知b>a>0，且满足alnb=blna，e为自然对数的底数，则例题3.已知，.⑴求的最小值；⑵求取到最小值时的.【答案】【思考】本文考查三角代换与函数知识，属于中等难度题，构造对勾函数.【解析】设，，则，.再令，则，，，等号成立当且仅当，即.此时，，，，.又，故.拓展练习：例题4.设，，为非负实数，且满足方程，则的最大值和最小值（）A.互为倒数B.其和为C.其乘积为D.均不存在【答案】C【思考】构造方程思想。【解析】设，则原方程，即，或。或。（1）当时，，，，当最小时，，，，此时即。（2）当时，，，，当最大时，，，，此时即。综上：。例题5.【证明问题】构造不等式，证一个不等式设求证：.证明：先证一个引理：设则........................................................................................（1）引理的证明：................（2）令则所以（2）成立，引理得证.由基本不等式得，由及引理得即例题6：在一些选择题中，也可以构造不等式模型解题，导数模型求最值已知，且，则的最小值为AB64CD125方法1：权方和不等式：方法2：大柯西不等式：，则方法3：利用导数：，，，方法4：待定系数法均值不等式：等号成立的条件：。。练习（1）：已知，且，则的最大值为（）（2）：已知，且，则的最小值为（）已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D【解】对于①当时，在上恒成立，在上单调递增,不符合.当时，由，，解得，，解得在单调递减，在单调递增．在有极小值，函数有两个零点，，，①不正确；对于②因为，，取，，，，，②不正确；对于④函数的极小值点为要证，只要证因为函数在单调递减，故只需要证构造函数求导得到所以函数单调递增，恒成立，即，故得到进而得证：，.故④正确.对于③因为根据，可得到.③不正确.综上正确的只有一个，故选：.思考题已知函数，其中a为非零常数．（1）若函数在（0，）上单调递增，求a的取值范围；（2）设，且，证明：当时，函数在（0，）上恰有两个极值点．例题8--多选题模型已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（）A．B．曲线在点处的切线可能与直线垂直C．D．解：对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A正确；对于B选项，，∴，∴函数在上单调递减，又∵，，∴函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，结合A选项可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以，即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.故选：ABD.例题9--解答题模型（1）若，判断函数在区间内的单调性；（2）证明：对任意，，.（1）在单调递增；（2）证明见解析.解：（1）因为，所以.因为，所以，则.又，知，且时，故，所以在单调递增.（2）由（1）知，当时，，即，所以.令，所以，从而，所以，因为，，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以.思考题已知函数（1）求函数的极值；（2）①当时，恒成立，求正整数的最大值②证明：思考题答案：（1）定义域当时，，所以函数在上单调递增，无极值当时，，得得所以函数在上单调递减，在上单调递增此时函数的极小值无极大值综上，当时，函数无极值;当时，函数的极小值为，无极大值.（2）当时，恒成立，即只需成立即可由（1）可知当