教育信息化在高中数学课堂教学中的微渗透-椭圆及其标准方程（第一课时） 论文

教育信息化在高中数学课堂教学中的微渗透椭圆及其标准方程（第一课时）摘要：随着科技的发展，信息化的教学已成为新的趋势，特别是信息化教育所占比重越来越重。本文在信息技术能力提升工程2.0的学习基础上，通过对高中知识——《椭圆及其标准方程》为案例，利用“腾讯问卷”开展学情分析，从网络平台获取图片、视频等教学资源，通过图片、视频进行课堂导入，充分把信息技术应用到课堂教学中。关键词：信息技术，高中数学，课堂教学引 言：《标准（2017年版）》指出：“数学是研究研究数量关系和空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型建构等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。”[1]这说明数学是抽象的，因此青少年学生在理解数学概念、性质及其应用上能力不足。在这种形势下，教师要灵活运用多种教学手段，整合各种教育资源，了解学生情况，能够在平常的教学过程中，把抽象的数学具体化、直观化，促进学生的学习和理解。因此本文力求通过本文所举案例，运用信息化技术设计为手段，达到激发学生在学习中的兴趣，培养学生的数学学科核心素养。一、教学内容分析：本单元内容是在直线与圆的基础上，对坐标法的又一次实际运用，所要解决的仍然是解析几何的“两个基本问题”：建立曲线的方程，运用方程式认知曲线的几何形状。本节的主要内容是椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识，也是进一步研究椭圆几何性质的基础，与此时同，双曲线、抛物线的研究也是以此为基础。因此，椭圆知识是高中数学的重点内容之一，不仅承上，还要启下，是本章的重点，也是高考的重点和热点。另外，在解决问题的过程中，数形结合、类比、特殊化与一般化、转化与化归等也发挥着重要作用。这种教育教学方式，可以培养学生缜密的数学思维，并且可以培养学生严谨的科学态度，以及解决问题的逻辑思维，同时该节内容也变相要求学生要具备数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算和直观想象力的能力，这些数学学科核心素养的培养和提升并非一蹴而就的。二、学生学习情况分析：本节主要是学习椭圆有关知识，学生已学习了圆的概念及其方程，初步认识了解析几何课程的特征，即是一门借助坐标法研究几何的学科，并且已经初步体验了数形结合的基本思想；学生在研究直线和圆的知识时，已对本节内容产生学习兴趣，并且已经具备一定观察分析能力，建立了符合逻辑的推理能力；学生有建立圆的概念及其方程的经历。通过课前利用问卷对学生进行的学情分析，了解学生对椭圆的了解程度，督促学生通过查阅资料，复习回顾，预习新课，了解有关的椭圆的基本知识。准确把握学生情况，因材施教，因地制宜的制定符合实际情况的学习目标与任务。为课程进行做好铺垫。运用“腾讯问卷”软件编辑调查问卷和回答问题来进行调查和分析。问卷问题：1．在平面直角坐标系中，点B(3,0)，点

P为一动点，且|PA||PB|2a(a0),给出下列说法：①当a=2时，点P的轨迹不存在；②当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3；③当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6；④当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆。其中说法正确的是（ ）A.①② B.①③ C.②③ D.②④2．椭圆3x2y21的焦点坐标为（ ）3,0

,

3,366 6

6 6333333 33

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的焦点的坐标为，且椭圆经过点(5,0)；（2）ac2；（3）焦点在y轴上，且经过两个点和。三、教学目标：1．结合模型演示和信息技术的操作，经历从具体的情境中抽象出椭圆定义的过程，掌握椭圆的定义；2．通过与所学圆的方程进行类比，能选择适当的坐标系建立椭圆的方程；3．理解椭圆标准方程的特征及参数a、b、c的几何意义，灵活运用椭圆定义法与待定系数法，根据实际问题条件确定椭圆标准方程。四、教学重点与难点：重点：掌握椭圆的几何特征，理解椭圆的定义与标准方程。难点：利用已掌握的知识，进行椭圆标准方程的逻辑推导。五、教法与学法教法：操作演示法、教师讲授法学法：通过观察等方式了解所学内容，并通过不断实践掌握知识要点六、教具准备：多媒体课件、直尺、几何画板、Geogebra软件七、教学过程设计：1．课题引入，立足全章，建构知识储备从QQ浏览器上搜索希腊数学家阿波罗尼奥斯与法国数学家笛卡儿的图片，从国家中小学教育云平台上找到并录制平面截圆锥的视频，向学生介绍阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中对圆锥曲线的定义，播放平面截圆锥的视频，让学生了解数学史上的圆锥曲线。再到17世纪笛卡儿发明坐标系，人们开始用坐标法解决圆锥曲线的问题。问1：你能猜测这些变化的大致原因吗？（采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确地计算。）【设计意图】目的是明确本章内容的价值和意义，促进学生形成积极探究的心理倾向。问2：如果本章我们采用坐标法研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与圆的基础上，猜想符合逻辑推理的研究思路与研究框架吗？（基本思路：现实背景——曲线的概念——曲线的方程——曲线的性质——实际应用。）【设计意图】让学生从整体上把握本章的学习内容与基本框架，为后续学习提供知识储备，同时深化学生对坐标法研究问题的基本思路与基本方法的理解。展示从QQ浏览器上搜索的航天员照片，引入神舟十三号成功发射，载人飞船在飞离地面一段时间内绕地球沿椭圆轨迹航行，通过联系国家科研事业，引入本节课主题“椭圆”，也培养了学生的科研精神和爱国情怀，适时进行德育教育。2．探究新知问3：椭圆到底有怎样的几何性质？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？教师取出预先准备好的泡沫板演示教材探究，让学生直观观察到椭圆的形成过程，总结椭圆的概念。追问：在这一过程中，哪些是变化的？哪些是不变的？动点需要满足的几何条件是哪些？打开几何画板，现场教学演示，使学生清楚地认识到各个线段之间的关系。学生观察得到：绳长保持不变，即动点到两个定点的距离的和等于常数。总结：到两个定点和的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆。【设计意图】由实际操作，强化学生对椭圆几何特征的认识，并引导学生由此抽象出椭圆的定义，再用几何画板直观地让学生观察，加深学生的印象，从而培养学生的直观想象的能力，提升学生的核心素养。3．椭圆的定义我们把平面内与两个定点,的距离的和等于常数（大于||）的点的轨迹叫M12做椭圆（ellipse）。这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（M12图1熟读定义，确定关键词，对“大于||”进行分析。利用Geogebra软件演示：当常数等于或小于||时，点M的轨迹：当常数等于||时，点M的轨迹是线段；当常数小于||时，点M的轨迹不存在。【设计意图】让学生获得椭圆的定义及相关概念，通过强化椭圆概念的抽象与建立过程，提高学生思维性的严谨性与语言表达能力；利用Geogebra软件让学生观察动态演示过程，在教学的同时培养学生发散性的思维，提升其直观想象的学科核心素养。4．椭圆的标准方程类比研究圆的方程，运用同样的思维是否能建立椭圆方程？首先建立平面直角坐标系。问4：观察椭圆形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？首先要观察椭圆的几何形状，引导学生发现椭圆的对称轴（两条）且对称轴交于一点，引导学生以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy。yMOx图2设M(x,y)是椭圆上的任意一点，焦距为2c(c0)，则(c,0),(c,0),点M与焦点,的距离的和等于2a(2a2c0)。P

|||||2a根据椭圆定义得到动点M满足的几何条件，翻译为代数式子：(xc)2(xc)2y2(x-c)2y2观察等式，为了更便于处理数学运算，我们采用先移项：(xc)2(xc)2y2(x-c)2y2再两边同时取平方，整理得：a2-cx=a两边再同时平方，得：

(x-c)2+y2③(a2③

-c2

)x2

+a2y2

=a2

(a2

-c2)④两边同时除以a2(a2-c2)，得：④x2 y2+a2 a2-c2

⑤问5：你能在图中找出表示a,c,

a2-c2的线段吗？yMOx图32 2a2-a2-c2

xy ，得到 1(ab0)，我们称这个方程是椭圆的标准方程，它，得到a2 b21 2表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F(c,0),F(c,0)的椭圆，这里c2a21 2

-b2。2 2练习：如果椭圆xy1上的一点P与焦点F的距离等于7，那么点P与另一个100 36 1焦点的距离是 13 。【设计意图】（1）明确求曲线的方程的大致步骤，避免推导过程中思维的盲目性；（2）明确如何建立适当的直角坐标系，引导学生通过直角坐标系解决问题；（3）灵活运用推到椭圆标准方程的过程，引导学生掌握推导圆锥曲线方程的一般思路与方法。类比推理：若,在y轴上，坐标为c),，a,b的意义同上，请确定yyOxM1图422椭圆的标准方程为yx22a2 b2

1(ab0)问6：观察椭圆两种标准方程，怎样通过标准方程推断椭圆的焦点位置（坐标轴）？（哪个项的分母大，焦点在哪个坐标轴上。先定位，再定量）【设计意图】形成和完善椭圆标准方程的概念。练习：判断下列方程是椭圆的标准方程吗？如果不是，转化为椭圆的标准方程，并说出焦点的位置与a,b,c的值。（1）

x24y216； （2）9x2y281.【设计意图】让学生熟知椭圆标准方程的形式，会根据方程求椭圆方程的参数，判断椭圆的焦点位置、找到焦点坐标。5．例题研讨例52 2yOyO12xM图5让学生尝试自己解答，教师走动查看。52 2x2 y2a2 b2

1求解；②定义法：根据椭圆的定义及a,b,c之间的关系直接求。运用待定系数法解决，计算量稍大，但也为后面和双曲线的综合问题作铺垫。2 2解得标准方程是xy1。10 6【设计意图】加深学生对椭圆及其标准方程的概念理解。课堂练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）ab1,焦点在x轴上；（2）ac

15,焦点在y轴上；（3）ab10,c25.【设计意图】及时巩固椭圆及其标准方程的概念，以及a,b,c之间的关系。6．课堂小结问1：椭圆是怎样定义的呢？定义中，我们应该特别关注哪些要素？（我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于

||）的点的轨迹叫做椭圆。）问2：椭圆的标准方程，其形式是什么，依靠什么依据建立直角坐标系？x2 y2焦点在x轴上：a2 b2ab0)

y2 x2焦点在y轴上：a2 b2

1(ab0)问3：通过对椭圆方程式的推到对你有什么启迪？就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？核心素养：数学抽象、数学建模、直观想象、逻辑推理、数学运算【设计意图】及时梳理知识、提炼与升华所学的知识。7．课后作业（1）完成教材练习第1、2、3题。【设计意图】考查学生对椭圆及其标准方程的理解水平以及思维的严谨性。（2）预习提升：例2如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点的轨迹怎样研究？请说明理由（当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合。）yyPMODx图6例3如图，已知点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线AM,BM相交于点M，且y他们的斜率之积是4。求点M的轨迹方程。9 MA O B x图7【设计意图】考查学生求轨迹方程的掌握情况。（3）探究：习题第6题（播放视频用圆折出椭圆）【设计意图】考查学生对椭圆定义的理解，提升学生的数学修养，让学生了解圆锥曲线的不同的得到方式，感受数学中的美。§3.1.1椭圆及其标准方程（第一课时）§3.1.1椭圆及其标准方程（第一课时）一、课题引入 五、例题研讨二、探究新知 六、课堂练习三、椭圆的定义 七、课堂小结四、椭圆的标准方程 八、课后作业焦点在轴： ab0x2y2y2 x2a2 b2焦点在轴: ab0a2 b2八、教后反思：教学设计中由一串问题构成完整的知识体系，通过问题链构建，循序渐进地引导学生发现问题，研究问题，解决问题。通过这种方式，激发学生学习的主观能动性，不仅仅是教导传授知识，更重要的是让学生掌握学习主动权，充分展现了以“学生为主体”的教育理念。通过互动，培养学生的数学学科素养与动手能力，改变数学课堂中刻板枯燥的映像，丰富教育教学。不足之处是：椭圆的定义还未内化为学生的认知，椭圆标准方程的求解还不全面，形如Ax2By21(A