构造正方形 探究网格图 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选构造正方形 探究网格图摘2022年天津中考题第18格中无刻度直尺作图问题.关键词：无刻度直尺；网格作图；构造正方形；垂直问题；作圆心引言：近些年来，网格题不再是千篇一律的简单平移、翻折与旋转，网格题从一般的无刻度直尺作图题，逐渐演变出利用无刻度直尺在网格中解题.其创新性的题目在与旋转作图，转变为用翻折与旋转为工具而生长出模型，再通过模型解决问题.2022年天津中考中的第18题要求在网格内无刻度直尺作图，并通过巧妙构造正方形，利用旋转建立模型，从而达到解决题目中垂直问题的目的.对此类问题分析研究后，笔者发现构造正方形，建立模型能够解决一系列的垂直问题.同时笔者在探究题目的生长过程中发现，如果某个圆有一点在网格点上，那么在网格图中就能画出该圆的圆心.一、题目呈现DABPEFC如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点DABPEFC（1）线段EF的长等于 ；分别在射线上，满足∠MBN=90°且1并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）.图1二、追根溯源1、正方形相关的旋转模型60是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.12022年安徽省中小学教育教学论文评选图2教材的例题是“旋转的性质”的一些简单应用.2022年天津中考网格作图题中，通中的图形来.2022年天津中考网格题考察了学生的构造能力和迁移能力，除了要正确构到问题的源头.2、“一线三等角”模型在网格中寻找“一线三等角”模型.如图3，∠D=∠B=∠EAC=90°，则AE=AC.ECAD 图3 B如图4，在网格中我们找到格点BA=AD，并且∠E=∠F=90°，通过全等得出∠C=∠D，构造出格点正方形.从而利用正方形的性质拓展延伸得出相应的模型，从而解决相应的垂直问题.CBDF A E图4对称图形，具有很好的几何直观，易于辨别.在教学实践中，通过对正方形的构造，大22022年安徽省中小学教育教学论文评选大提高了学生在网格图中构造垂直的准确率.同时也培养了学生的发散思维能力，让学生在几何学习中有大观念、大思考.三、解法探究如图2022年天津中考数学第18题第2不妨先动手画出相应的草图，从而缩小探究范围.通过对BM=BN的思考，先构造一个B旋转90°得出逆向思考构造△BQM≌△BFN得出，BM=BN.具体解法如下：连接AC，与网格线相交于点O；取格点Q，连接EQ、BQ，设EQ与射线PD相交于点M；连接MB与⊙O相交于点G；连接GO并延长，与⊙O相交于点H；连接BH并延长，与射线PF相交于点N，则点M，N即为所求.QDABMGPOEFHN图5此题运用了圆的性质、正方形相关的旋转模型，在PD是动线的情况下，通过构造正方形及相关的旋转模型，利用逆向思维证全等，巧妙得出结论.天津中考题第18题无更具创新性的题目的探究思想.其中构建正方形为此题的题眼，同时直观地反映了图形中的全等.对于构造正方形所得出的垂直也是网格中的热点.在用无刻度直尺网格作图题中，它不仅能通过几何直观解决一般的旋转能通过构造两个过这个格点的正方形，作出圆的圆心.下面我就从这几个方面的研究来展现构造正方形的魅力.342022年安徽省中小学教育教学论文评选4四、生长引申1、解决旋转90°问题(2021年安徽中考)如图4，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上.（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1.A1B1 C1DA2B2图6 图790°问题.在能得出两边垂直.正方形作为特殊的平行四边形，是对称的，是美的.通过对正方形的构造，同学们构造正方形模型将正方形与一线三等角等模型有机的联系起来，把知识能力进行应用和迁移，是对于正方形的直观与美的写照，更是大观念，即知识能力、道德价值和人文价值的追求.新课标理念下，新课标的四大关键概念：大观念、大任务、真实性、实践性.2、利用网格作垂直平分线（20197×6的顶点均在格点上.2022年安徽省中小学教育教学论文评选试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可.图8 EF垂直平分AB 图9解析：此问有一定难度，图9中如果我们把AB看作正方形的对角线构造正方形AEBF，那么就可以作出AB的垂直平分线EF.3、利用网格构造正方形，利用垂直作等腰三角形（2019年天津二模卷第2问）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B均为格点.C是以ABD在边ACS△ABD=1S△ABC.请在如图6所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段D2的位置是如何找到的.（不要求证明）图10 图1110，以AB为边作正方形ABEF，连接对角线AE，BF，则对角线交点即为点C，则△ABC满足条件.设正方形相邻两边分别与网格线有两个交点G，H，且为两边中点，连接GH与AE交于点D，连接BD，则BD即为所求.第（2）问的难点在于构造等腰直角三角形，因为只能使用无刻度直尺，所以通过△D △构造正方形可以解决问题，由题意中S =1S 得出点D是△D △2中容易得出点G、点H分别为AB，AF的中点，则GH是△ABC的中位线，从而我们52022年安徽省中小学教育教学论文评选可以作出点 决问题.由 D M

此可见，建模心中扎根，构图自然而来.EW A4、利用 网格构造正方形，利用垂直求最值问题如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C均为格点.若P为边BCA的对应点分别为点B＇，C＇，P＇.（1）画出△AB＇C＇；（2）当CP＇最小时，画出点P＇，并简要说明你是怎样找到点P＇的.H FGB′JEC P′ CI KDA C′ AB B图12 图13解析：由题意知，∠ACB=90°，延长BA交小正方形格点中心点D，构造格点正方形HG的中点的中点交于点B＇K并延长，交AD于点C＇，连接CJ交B＇K与点P＇.本题中构造正方形，帮助我们找到了点B＇，同时通过构造垂直，得出点C＇，最后通过构造垂直，得出CP＇最短.5、利用网格构造正方形，利用垂直逆向找圆心（2022年天津中考第18题改编）如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A及∠DPF的一边上的点均在格点上.若点分别在射线上，满足∠XAY=90°且1并简要说明点X，Y的位置是如何找到的（不要求证明）.H62022年安徽省中小学教育教学论文评选XSP OC TBU YF N G I图14AEFG和正方形和WU、MN交于点O，点O即为过格点A的圆的圆心.作CD交PH于点X，延长AX交圆于点S.连接SO并延长交于点T，连接AT并延长交PI于点Y，则AX⊥AY，AX=AY.由2022年天津中考题第18作两个直角，根据圆的性质直角对直径，从而得到两条直径的交点为圆心.通过研究发现，如图14，经过格点A的圆无论如何变化，只要同时满足AX⊥AY和点都不发生变化.即在∠HPI上存在点AX=AY且AX⊥AY，则点X与点Y存在且唯一.通过对2022年天津中考第18的观察力、丰富的联想力、高超的创造力.宁史中说过：在大多数情况下，数学的结果是“看”出来，而不是“证”出来的.因此，在教学中，我们需加强对无刻度直尺网格学生创新意识，提升学生数学核心素养.参考文献[1]石先兵：重本夯基，追本溯源，固本开新[J].中学数学,2022(5):69