第1章 数字信号处理基础

实时数字信号处理系统

的设计与实现电子工程与光电技术学院数字信号处理基础实时数字信号处理概述高速实时数据采集技术高速实时周边器件和MEM高速实时数据通信硬件设计可编程器件与数字信号处理器折衷设计DSP技术及实时数字信号处理目录参考教材：1、《实时信号处理系统设计》，西电出版社2、《Real-TimeSignalProcessing:DesignandImplementationofSignalProcessingSystems

》，电子工业出版社1.1引言

傅里叶变换（FT）是一种将信号从时域变换到频域的变换形式。它在声学、电信、电力系统、信号处理等领域有广泛的应用。希望在计算机上实现信号的频谱分析或其它工作，而计算机要求信号在时域和频域都是离散的，且都是有限长的。傅里叶变换（FT）仅能处理连续信号，DFT就是应这种需要而诞生的。它是傅里叶变换在离散域的表示形式。DFT的运算量是非常大的。在1965年首次提出快速傅里叶变换算法FFT之前，其应用领域一直难以拓展，是FFT的提出使DFT的实现变得接近实时，DFT的应用领域也得以迅速拓展。除了一些速度要求非常高的场合之外，FFT算法基本上可以满足工业应用的要求。由于数字信号处理的其它运算都可以由DFT来实现，因此FFT算法是数字信号处理的重要基石。1数字信号处理基础数字信号处理的重要基石：FFT、数字滤波数字滤波器优点：可满足对幅度和相位特性的严格要求，精确度高；没有电压、温度漂移及噪声等问题，不受环境影响，稳定性好；具有高度的可编程性，灵活性非常好。数字滤波器应用领域：雷达、语音处理、图像处理、模式识别、频谱分析、医学仪器等等。根据不同的标准，数字滤波器可以进行多种不同的分类。数字滤波器：经典数字滤波器和现代数字滤波器。经典滤波器：FIR，IIR等处理有用信号与噪声处在不同频带的系统。现代滤波器：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器等处理有用信号和噪声处在同一频带的数据处理场合。DSP开发系统：对C语言的支持能力越来越强，可以将C，C＋＋，甚至部分MATLAB语言的算法直接移植到DSP芯片上运行（如MatlabLinkforCCSDevelopmentTools）。FPGA开发工具：AccelDSP™（基于高级MATLAB语言的工具）用于设计针对XilinxFPGA的DSP块，可生成定点C＋＋模型或由MATLAB算法得到SystemGenerator块。下面简介DFT、FFT和数字滤波器的相关知识。

1.2DFT/FFT的基本原理其中，W为旋转因子。由此公式不难发现，求出一点X（k）需要N次复数乘法、N—l次复数加法。N点X（k）需要N2次复数乘法、N（N－1）次复数加法。当N很大时，计算量非常可观。如1024点复数DFT需要进行1048576次复数乘法运算。即使在计算速度飞速发展的今天，这在实时运算场合也是无法容忍的。利用旋转因子的对称性和周期性，发明了FFT算法，把复数乘法的运算量降低到了N/2lgN次。1024点复数序列FFT仅需做5120次复数乘法运算，其工作量仅为DFT的4.8％。1.2.1

常用FFT算法六十年代提出时间抽取FFT算法以来，有关FFT的算法不断涌现。不过常用的算法还是基2时间抽取、基2频率抽取、基4时间抽取和频率抽取以及分裂基算法。近年来，由于微电子技术的发展，硬件的快速发展使人们暂时忽略了软件或算法的改进。总的来说，由于上述算法比较简单，是最常用的FFT算法。图1.2.1基2时间抽取(DIT）FFT算法图1.2.2基2频率抽取(DIF）FFT算法1.2.2

其它FFT算法及应用1、基4、基8的FFT算法、混合基算法等；2、采用窗函数进行FFT的加权处理；3、实序列的FFT运算（频谱）：①用一个N点复数FFT运算两个N点实序列FFT②一个N点复数FFT运算2N点实序列FFT4、WFTA、ZFFT、CZT等；5、快速相关、快速卷积、重叠相加(保留)法等等；6、DFT/FFT等效成窄带滤波器组。

基本概念：连续时间信号、离散时间信号、数字信号、频谱泄漏、频谱宽度等。1.3FIR滤波器1.3.1

基本原理

FIR滤波器的差分方程为：式中，x（n）输入序列，y（n）为输出序列，h(n)为滤波器系数，N是滤波器的阶数。对此式进行Z变换，整理后可得FIR滤波器的传递函数：

FIR的一般结构在一般结构中，除了需要有N个乘法器外，还需要有一个N个相加的加法器，从运算效果来说，等效于在原来乘法器的基础上增加一个[N位×（X位+h位）]的乘法器，当乘法器数目比较多时，增加的加法器运算量比乘法器运算量还要大，这不利于提高器件运算速度。DDhN-1…...Dh0Xi为此，将这种结构加以改良，构成另一种处理结构。这个结构是将一个N个数的加法器变成为N个分散的两位数加法器，由于各个加法器之间通过寄存器相互隔离。如果将这个加法器同原来乘法器相互结合在一起，则运算结果等于在原来乘法器基础上被乘数多增加一位而已，不影响原来乘法器的快速算法实现。

DDhN-1…...DXih0FIR的转置型结构1.3.2

FIR滤波器的优点1可以在幅度特性随意设计的同时，保证精确、严格的线性相位；2由于FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长序列，因此FIR滤波器没有不稳定的问题；3由于FIR滤波器一般为非递归结构，因此在有限精度运算下，不会出现递归型结构中的极限震荡等不稳定现象，误差较小；4利用系数对称性，可使运算量减少近一半；5FIR滤波器可采用FFT算法实现，从而提高运算效率。

1.3.3FIR滤波器的设计方法

FIR滤波器的设计方法主要有窗函数法和频率抽样设计法。FIR滤波器设计中，重要的计算就是加窗。矩形窗最直接和简便，但主旁瓣比仅为13dB。因此实际设计中，一般采用其他窗函数，比较常用的窗函数有Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Kaiser窗等。采用Hanning窗使能量集中在主瓣内，主旁瓣比为31dB，但主瓣的宽度增加了1倍。采用Hamming窗使99.9％以上的能量集中在主瓣，主旁瓣比达43dB，主瓣的宽度也是矩形窗的2倍。Blackman窗进一步抑制旁瓣，使主旁瓣比达到58dB，但主瓣的宽度是矩形的3倍。上述三种窗函数都是以增加主瓣宽度为代价换取一定程度的旁瓣抑制。而Kasier窗可以通过调整参数值来折中选择主瓣宽度和主旁瓣比，采用Kaiser窗设计FIR滤波器具有很大的灵活性。1.3.4FIR滤波器的MATLAB实现

在MATLAB中，提供了两种FIR滤波器设计方法。窗函数设计法(FIR1,缺省为Hamming窗)和任意形状设计法(FIR2)。1设计低通滤波器（Hamming窗）：B＝FIR1(N,Wn)

其中，N为滤波器的阶数，Wn为归一化截止频率，0.0＜Wn＜1.0，1.0对应于半抽样速率。返回值B为一个N＋l维矢量，即滤波器系数。B＝FIR1(N,Wn，‘high’)；B＝FIR1(N,Wn，‘stop’)2采用其他窗函数设计低滤波器：

其他窗函数如Boxcar、Hanning、Bartlett、Blackman、Kasier和Chebwin。例如采用Bartlett窗设计低通滤波器：B＝FIR1（N,Wn,Bartlett（N＋））

1.4IIR滤波器1.4.1基本原理IIR滤波器差分方程的一般形式为：式中，x（n）、y（n）、h(n)和N的含义同前。IIR滤波器具有无限长的单位脉冲响应，在结构上存在反馈回路，即是递归型的。也就是说，IIR滤波器的输出不仅与输入有关，而且与过去的输出有关。IIR滤波器的传递函数：

IIR滤波器由于具有结构简单、运算量小的特点，因而得到了较广泛的应用。IIR滤波器结构具有多种形式，归纳起来主要有以下几种：（l）直接I型（也称直接型）；（2）直接II型（也称正准型）；（3）级联型；（4）并联型；（5）格型（lattice）。直接I型结构需要2N级延迟单元，直接II型结构与直接I型结构相比节省了一半延迟，即需要N级延迟单元，是最常用的IIR滤波器结构之一。

级联型结构采用多个二阶基本节级联而成，每一个二阶基本节可采用直接II型结构实现，这种结构便于准确实现滤波器的零极点，也便于性能调整。

1.4.2IIR滤波器的设计方法

IIR滤波器的设计一般有以下两种方法：（1）先设计一个模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。由于模拟滤波器的设计方法很成熟，有许多简单和现成的设计公式，设计参数已经表格化，因而这种方法比较方便；（2)计算机辅助设计法。这是一种最优化的设计方法，先确定一种最佳准则，然后求在此准则下滤波器系统函数的系数。

1.4.3IIR滤波器的MATLAB实现以Chebshev－2型IIR低通滤波器为例说明用MATLAB设计IIR滤波器的方法。设滤波器的通带为0～Wp，阻带为Ws～1.0，1.0对应于半抽样频率，要求通带内波动小于RpdB，阻带内衰减大于RsdB。则用MATLAB设计该滤波器的过程如下：1调用函数cheb2ord（），确定滤波器的阶数和截止频率：［N，Wn］＝cheb2ord（Wp，Ws，Rp，Rs）返回值N为满足要求的Chebshev－2型数字滤波器的最小阶数；2调用函数cheby2（）［B，A］=cheby2(N，RS，Wn）返回值B为一个N＋1维矢量，是分子多项式系数;A也是一个N＋1维矢量，为分母多项式系数。与FIR1类似，设计Chebshev－2型IIR高通、带通和带阻的方法分别是：高通：[B，A]=chebg2（N,Rs，Wn，‘high’）带通：[B，A]＝cheby2（N,Rs，Wn），Wn＝［W1W2］带阻：[B，A]=cheby2（N,Rs，Wn，‘stop’），Wn＝[W1W2]除了cheby2以外，还有cheby1、butter等类型。1.5量化与有限字长(Matlab定点仿真)

1.5.1概述

FIR和IIR数字滤波器的一些特征使它们相互之间能够区分，同时它们在执行时，需要进行一些专门考虑，包括相位特性、稳定性和系数量化影